专题9.3 旋转（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题9.3 旋转 教学目标 1.理理解旋转的定义，掌握旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 掌握旋转的性质：旋转前后图形的形状、大小不变；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 能找出旋转过程中的对应点、对应线段、对应角，会画出简单图形旋转后的图形。 教学重难点 1.重点 （1）旋转的概念与三要素； （2）旋转的基本性质； （3）简单平面图形的旋转作图； 2.难点 （1）准确确定旋转中心和旋转角； （2）理解并运用旋转性质解决几何证明与计算问题； （3）规范画出旋转后的图形，特别是绕不同点旋转的情况。 知识点01 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 2．如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A．  B．     C．    D．   知识点02 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 知识点03 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 【即学即练】 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．点A的对称点是点 D． 6．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 知识点04 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 【即学即练】 7．（25-26七年级上·江苏·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   8．（2025·江苏无锡·模拟预测）线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 题型01 生活中的旋转现象 【典例】下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 【变式1】下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 【变式3】我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 【典例】香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【变式1】2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【变式2】如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【变式3】如图①，把沿直线平移线段的长度，得到；如图②，以为轴，把沿翻折，可以得到；如图③，以点为中心，把旋转，可以得到．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： (1)在图④中，可以使通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到? (2)图中线段与相等吗?为什么? 题型03 找旋转中心、旋转角 【典例】如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式2】如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【变式3】如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 题型04 旋转的规律性问题 【典例】如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【变式1】如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时计转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 【变式2】如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【变式3】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型05 根据旋转的性质求解 【典例】如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将三角形绕点O逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是________． 【变式2】如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【变式3】如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 题型06 画旋转图形 【典例】如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． 【变式1】如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．点为网格线的交点． (1)画出关于点的对称的图形； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的； 【变式2】如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的对应 【变式3】如图，一个网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)把绕点旋转得到，画出旋转后的． 题型07 旋转对称图形识别 【典例】以下是回收、绿色包装、节水，低碳四个标志，其中可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，小明用两种不同规格的全等三角形设计了一个“大风车”的平面图形．对该图形的说法不正确的是（   ） A．最小旋转角是 B．轴对称图形 C．中心对称图形 D．旋转对称图形 【变式2】下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是的有________．（填序号） 【变式3】如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 题型08 求旋转对称图形的旋转角度 【典例】如图所示的阴影图案是由绕点旋转形成的，则旋转角的度数可能为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度，则的最小值为______． 【变式3】如图，等边绕点B旋转角度，得到．    (1)若顺时针旋转，则多大？ (2)旋转完成后，与谁重合？ 题型09 画已知图形关于某点对称的图形 【典例】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段（其中点的对应点为），画出线段； (2)画出线段关于点对称的线段（其中点的对应点为）． 【变式1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)若与关于格点成中心对称，请在网格中画出； (2)在网格中画出绕格点按顺时针方向旋转后，得到的； (3)由旋转可知，_____________．（填“>”、“<”或“=”） 【变式2】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点O、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)平移，使点A移动到点位置，画出平移后的； (2)画出绕点O顺时针旋转得到的； (3)画出关于点O对称的． 【变式3】如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线对称； (2)画出，使与关于点对称； (3)画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 题型10 画对称中心 【典例】如图，在方格图中． (1)作出将图中的向上平移6格后的； (2)以直线m为对称轴，作出的对称图形； (3)和关于点O成中心对称，在图中画出对称中心 【变式1】如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【变式2】如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【变式3】如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 题型11 中心对称图形 【典例】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是_____．（填序号） 【变式3】观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有______． 是中心对称图形的有_______． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有_____． 题型12 根据中心对称的性质求解 【典例】如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【变式1】如图，与关于点O成中心对称．若，那么的长是多少？ 【变式2】如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度． 【变式3】一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 题型13 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例】用四块如图所示的瓷砖拼成一个正方形，使所得正方形（包括色彩部分）满足下列要求： ①只是轴对称图形而不是中心对称图形； ②既是轴对称图形又是中心对称图形画出符合要求的图形各两个． 【变式1】如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． (1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； (2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 【变式2】在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 【变式3】图①，图②，图③均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：    (1)在图①中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)在图③中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 题型14 旋转的综合题 【典例】综合与探究 【问题情境】如图，直线与相交于点，，将一直角三角尺的直角顶点与重合，直角边与重合，在直线的上方． 【拓展延伸】将三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为． （1）旋转前，的度数为_________； （2）当时，直线与所夹角的度数是_________； （3）在旋转过程中，①当直角边恰好平分时，求的值？此时是否平分？请说明理由； ②是否存在某个时刻，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； (2)如图2，，若，求的度数． 【变式2】数学是研究数量关系和空间形式的科学．某节数学活动课上，同学们用一副三角尺开展如下探究活动． 【动手实践】 （1）如图1，三角尺和三角尺的边，重合，求的度数； 【深入探究】 如图2，三角尺从图1的位置出发，绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，三角尺的位置不变，设运动时间为t秒． （2）当平分时，求t的值； （3）若与满足：其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，求t的值． 【变式3】直线上有一条射线，在O处放一个直角三角板，，如图将三角板绕O点逆时针旋转，速度为每秒，旋转停止． (1)若，当射线平分时，求旋转时间． (2)当平分时，也平分么？说明理由． (3)若，当与相交时，画出图形并求与的关系． 1．（25-26九年级上·河南·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D． 斐波那契螺旋线 2．（2025·浙江湖州·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交于点F，G，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为（   ） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 6．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，三角形的顶点都在格点上，将三角形绕点O按顺时针方向旋转得到三角形，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·重庆·月考）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点___________． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是________． 11．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么______° 12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则________． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则=___________． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），此时t的值为 _________． 15．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第______________ 秒时， 边 恰好与边 平行 ． 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在网格点上． (1)画出将三角形向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度后的三角形； (2)画出将三角形绕点按逆时针方向旋转后的三角形． 17．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）（1）如图1，点A、B、C都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点C画直线； ②在上画点P，使的长度最小． （2）如图2，已知，点P在边上．利用直尺和圆规在上作一点Q，使．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 19．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，正方形中，点E是线段延长线上一点，连接，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为 ． (2)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 20．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图1，点O为直线上一点，两个完全相同的直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______； (2)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，此时，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 旋转 教学目标 1.理理解旋转的定义，掌握旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 掌握旋转的性质：旋转前后图形的形状、大小不变；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 能找出旋转过程中的对应点、对应线段、对应角，会画出简单图形旋转后的图形。 教学重难点 1.重点 （1）旋转的概念与三要素； （2）旋转的基本性质； （3）简单平面图形的旋转作图； 2.难点 （1）准确确定旋转中心和旋转角； （2）理解并运用旋转性质解决几何证明与计算问题； （3）规范画出旋转后的图形，特别是绕不同点旋转的情况。 知识点01 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 2．如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A．  B．     C．    D．   【答案】D 【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可． 【详解】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到． 选项A，其中绕点逆时针旋转可以得到， 选项D，其中绕点逆时针旋转可以得到． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 知识点02 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 知识点03 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 【即学即练】 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．点A的对称点是点 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与'关于O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，B ，C正确，D不正确． 故选：D． 6．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 知识点04 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 【即学即练】 7．（25-26七年级上·江苏·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 选项B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 选项C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； 选项D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 【答案】线段，正方形，圆，正六边形，正八边形 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断每个图形是否符合条件，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：线段是轴对称图形（有对称轴）和中心对称图形（绕中点旋转180度重合）； 正方形是轴对称图形（有4条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 圆是轴对称图形（有无数条对称轴）和中心对称图形（绕圆心旋转180度重合）； 正六边形是轴对称图形（有6条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 正八边形是轴对称图形（有8条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）． 等腰三角形、等腰梯形、、等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故它们不符合题意． 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段，正方形，圆，正六边形，正八边形， 故答案为：线段，正方形，圆，正六边形，正八边形． 题型01 生活中的旋转现象 【典例】下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定．根据旋转的定义分别判断即可． 【详解】解：A、在笔直公路上行驶的汽车，属于平移，故此选项不符合题意； B、在空中直线上升的氢气球，属于平移，故此选项不符合题意； C、风力发电机叶片的转动，属于旋转，故此选项符合题意； D、传送带上物品位置的移动，属于平移，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：①地下水位逐年下降，不是旋转现象； ②传送带的移动，不是旋转现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④水龙头的转动，是旋转现象， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的判断，解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【变式2】在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 【答案】 脚跟 逆时针 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；逆时针；． 【变式3】我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2）解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 【典例】香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 【变式1】2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键．根据翻折、旋转、平移的定义进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图绕图案中心点旋转后可得到图，通过平移或者翻折不可以得到， 这次运动可以是旋转， 故选：C． 【变式2】如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 【变式3】如图①，把沿直线平移线段的长度，得到；如图②，以为轴，把沿翻折，可以得到；如图③，以点为中心，把旋转，可以得到．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： (1)在图④中，可以使通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到? (2)图中线段与相等吗?为什么? 【答案】(1)旋转 (2)相等，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的定义得出结果； （2）利用旋转的性质得到． 【详解】（1）解：因为△ABE绕点按逆时针方向旋转后得到△ADF， 故答案为旋转． （2）． 理由： 因为△ABE绕点按逆时针方向旋转后得到△ADF， 根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小， 所以． 【点睛】本题考查旋转的定义以及性质，掌握旋转前后的对应关系是解决问题的关键． 题型03 找旋转中心、旋转角 【典例】如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点旋转，得到， ， 当旋转方向为顺时针时，旋转角度为； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为． 故选：A． 【变式2】如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【变式3】如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【答案】(1)点A (2) (3)点C转到了点E的位置 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角． （1）直接根据旋转的性质求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，然后由旋转的性质可得旋转角的度数； （3）直接根据旋转的性质求解即可． 【详解】（1）由旋转的性质可知，旋转中心是点A； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质可知，旋转了； （3）由旋转的性质可知，点C转到了点E的位置． 题型04 旋转的规律性问题 【典例】如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 【变式1】如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时计转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 【答案】A 【分析】本题主要查了图形类规律题．根据题意得到转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上，再由，可得从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上，即可求解． 【详解】解：根据题意得：转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上， ∵， ∴从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上， ∵点A在数轴上的对应的数为， ∴点D对应的数是． 则A选项符合题意． 故选：A． 【变式2】如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 【变式3】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 题型05 根据旋转的性质求解 【典例】如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质， 根据旋转可知，，，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 由旋转可知，，， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，将三角形绕点O逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的变换以及几何图形中角度计算，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 根据旋转的性质可得，再结合，利用求解即可． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质． 由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用除以即可． 【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2， 即旋转角的度数最小为． 故答案为：． 【变式3】如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 题型06 画旋转图形 【典例】如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了画轴对称图形，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质画出点的对应点分别为，即可画出 （2）根据旋转的性质找出每个顶点绕点逆时针旋转后得到的对应点，再连线得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示：即为所求． 【变式1】如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．点为网格线的交点． (1)画出关于点的对称的图形； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—旋转作图和中心对称作图，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； 【变式2】如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的对应 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 【变式3】如图，一个网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)把绕点旋转得到，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解此题的关键． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B，C的对应点，即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出写出点A、B，C的对应点的坐标，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 题型07 旋转对称图形识别 【典例】以下是回收、绿色包装、节水，低碳四个标志，其中可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 根据旋转对称图形的定义与性质逐项分析即可． 【详解】解：A．旋转角为：，故符合题意； B．该图不是旋转对称图形，故不符合题意； C．该图不是旋转对称图形，故不符合题意； D．该图不是旋转对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【变式1】如图，小明用两种不同规格的全等三角形设计了一个“大风车”的平面图形．对该图形的说法不正确的是（   ） A．最小旋转角是 B．轴对称图形 C．中心对称图形 D．旋转对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．根据旋转对称图形，中心对称图形与轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据题意，， ∴最小旋转角是，故A选项不符合题意； 观察图形，得不是轴对称图形，故B选项符合题意； 观察图形，得是中心对称图形，故C选项不符合题意； 观察图形，得是旋转对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B 【变式2】下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是的有________．（填序号） 【答案】（1）（3）（5） 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转对称图形的定义对六个图形进行分析即可． 【详解】解：（1）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （2）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （3）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （4）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （5）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； （6）不是旋转对称图形； 故答案为：（1）（3）（5）． 【变式3】如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 题型08 求旋转对称图形的旋转角度 【典例】如图所示的阴影图案是由绕点旋转形成的，则旋转角的度数可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 根据旋转对称图形的定义（指绕平面内某定点旋转特定角度后与原图形重合的平面图形，该定点称为旋转中心，最小重合角度称为旋转角）即可求解． 【详解】解：∵阴影图案是由绕点旋转形成的， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形，涉及正多边形与圆，解题的关键是掌握旋转对称图形定义． 【详解】解：∵正三角形的三个顶点等分圆周， ∴， ∴把这个图形绕着圆心逆时针至少旋转后能与自身重合， 故选：C． 【变式2】如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．由题意依据每次旋转相同角度，旋转了次，旋转一周后（包含原始位置）共，进行分析即可得出答案． 【详解】解：每次旋转相同角度， 该图案可由绕点旋转次，旋转一周后（包含原始位置）共， ． 故答案为：． 【变式3】如图，等边绕点B旋转角度，得到．    (1)若顺时针旋转，则多大？ (2)旋转完成后，与谁重合？ 【答案】(1) (2)与重合． 【分析】（1）由旋转的性质可得，可得； （2）由旋转的性质可得． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 等边绕点旋转角度，得到， ， ，； （2）， 与重合． 题型09 画已知图形关于某点对称的图形 【典例】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段（其中点的对应点为），画出线段； (2)画出线段关于点对称的线段（其中点的对应点为）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了作旋转图形，作关于某点对称的图形， 对于（1），将点A，B绕点C顺时针旋转得到点D，E，连接，则即为所求作； 对于（2），作点D，E关于点C的对称点F，G，再连接，则即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作； （2）解：如图所示，即为所求作． ． 【变式1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)若与关于格点成中心对称，请在网格中画出； (2)在网格中画出绕格点按顺时针方向旋转后，得到的； (3)由旋转可知，_____________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)= 【分析】本题考查了画中心对称图形、画旋转图形、中心对称与旋转的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称和旋转的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：由中心对称的性质得，， 由旋转的性质得，， ∴， 故答案为：=． 【变式2】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点O、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)平移，使点A移动到点位置，画出平移后的； (2)画出绕点O顺时针旋转得到的； (3)画出关于点O对称的． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了平移作图、旋转作图、画中心对称图形，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据点可得平移方式是先向右平移3个网格，再向上平移1个网格，再据此画出点，顺次连接点即可得； （2）根据旋转的性质画出点，再顺次连接即可得； （3）先根据中心对称的性质画出点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ． （2）解：如图，即为所求． ． （3）解：如图，即为所求． ． 【变式3】如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线对称； (2)画出，使与关于点对称； (3)画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形以及图形的旋转，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形以及图形的旋转的概念是解决本题的关键． （1）根据轴对称图形的概念，即可画出使与关于直线对称的图形； （2）根据中心对称图形的概念，即可画出使与关于直线对称的图形； （3）根据图形的旋转的概念，即可画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 【详解】（1）解：使与关于直线对称，如图， （2）解：使与关于点对称，如图， （3）解：将绕点按逆时针方向旋转后的图形，如图， 题型10 画对称中心 【典例】如图，在方格图中． (1)作出将图中的向上平移6格后的； (2)以直线m为对称轴，作出的对称图形； (3)和关于点O成中心对称，在图中画出对称中心 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了图形的平移变换、轴对称变换以及中心对称图形中对称中心的确定，解题的关键是熟练掌握这三种图形变换的基本性质和作图方法。 （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）分别连接，，，相交于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，分别连接，，，相交于点O， 则点O即为所求． 【变式1】如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 【变式2】如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 (4)是，见解析 【分析】本题考查了作图：轴对称变换及旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用关于直线m对称的点的坐标特征分别标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别标出、、，然后顺次连接即可； （3）根据轴对称的性质进行判断即可； （4）根据轴对称的性质进行判断并求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：与成轴对称，对称轴l如图所示； （4）解：与成中心对称，对称中心O如图所示． 【变式3】如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 题型11 中心对称图形 【典例】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意． 【变式1】七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意． 【变式2】在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是_____．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是①④． 故答案为：①④． 【变式3】观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有______． 是中心对称图形的有_______． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有_____． 【答案】 （2）、（3）、（5）、（6） （1）、（3）、（4） （3） （7）、（8） 【分析】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是掌握相关概念．轴对称图形：把图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转后能够与原图形重合，则这个图形称为中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：是轴对称图形的有（2）、（3）、（5）、（6）； 是中心对称图形的有（1）、（3）、（4）； 既是轴对称图形又是中心对称图形的有（3）； 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有（7）、（8）；． 故答案为：（2）、（3）、（5）、（6）；（1）、（3）、（4）；（3）；（7）、（8） 题型12 根据中心对称的性质求解 【典例】如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 【变式1】如图，与关于点O成中心对称．若，那么的长是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质． 利用中心对称的性质求解即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ， ， ． 【变式2】如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度． 【答案】， 【分析】本题主要考查了中心对称的性质．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．根据中心对称的性质求解即可． 【详解】∵与成中心对称，点O是它们的对称中心， ∴，． 【变式3】一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)中心对称，，对称中心 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义填写即可； （2）（3）根据题干的提示，利用中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，中心对称图形绕其对称中心旋转后能与原图形重合，因此过其对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． （2）如图，即为所求；    （3）如图，即为所求．    【点睛】本题考查了中心对称的应用，解题的关键是根据中心对称的性质得到过对称中心的直线将图形面积分为两个相等的部分． 题型13 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例】用四块如图所示的瓷砖拼成一个正方形，使所得正方形（包括色彩部分）满足下列要求： ①只是轴对称图形而不是中心对称图形； ②既是轴对称图形又是中心对称图形画出符合要求的图形各两个． 【答案】                    【分析】本题考查了利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，轴对称及中心对称的知识，属于开放型，注意掌握轴对称及中心对称图形的特点． 根据轴对称及中心对称的定义及特点按要求画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 【变式1】如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． (1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； (2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）画一个平行四边形即可； （2）画一个等腰梯形即可． 【详解】（1）解：由题意画图如下： （2）解：由题意，画图如下： 【变式2】在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键． （1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图． 【详解】（1）如图所示（答案不唯一） （2）如图2所示 【变式3】图①，图②，图③均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：    (1)在图①中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)在图③中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了轴对称、中心对称的作图，熟练掌握中心对称和轴对称的性质是求解的关键； （1）根据题意将其中三个正三角形看成一部分，根据题意作图即可； （2）根据题意可以先找对称轴再作图； （3）根据题意作出的图形是特殊四边形； 【详解】（1）解：如下图为所作图形：    （2）解：如下图为所作图形：    （3）解：如下图为所作图形：    题型14 旋转的综合题 【典例】综合与探究 【问题情境】如图，直线与相交于点，，将一直角三角尺的直角顶点与重合，直角边与重合，在直线的上方． 【拓展延伸】将三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为． （1）旋转前，的度数为_________； （2）当时，直线与所夹角的度数是_________； （3）在旋转过程中，①当直角边恰好平分时，求的值？此时是否平分？请说明理由； ②是否存在某个时刻，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①，平分， 理由见详解；②不存在，理由见详解 【分析】本题考查几何图形中求角度，涉及旋转性质、角平分线定义等知识，数形结合，表示出相关角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． （1）数形结合，由已知角度直接计算即可得到答案； （2）由题中条件得到当时，三角尺顺时针旋转了，如图所示，数形结合，表示出相关角度即可得到答案； （3）①根据题意，当直角边恰好平分时，如图所示，得到此时三角尺顺时针旋转了，即可求出值，进而由角平分线定义判断平分；②根据题意，当时，得到与重合，三角尺顺时针旋转了，如图所示，此时与重合，与在直线的上方矛盾，从而确定答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，， ， 故答案为：； （2）解：三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转， 当时，三角尺顺时针旋转了，如图所示： ，， ， 则， ， ， 则直线与所夹角的度数是， 故答案为：； （3）解：①， ， 当直角边恰好平分时，如图所示： ， 则三角尺顺时针旋转了， ； 平分， 理由如下： ，， ， 则平分； ②不存在， 理由如下： 如图所示： ， ， ， ，， 则， ， ， 即与重合，三角尺顺时针旋转了，如图所示： 此时与重合，与在直线的上方矛盾， 故不存在某个时刻，使得． 【变式1】如图，将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； (2)如图2，，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了图形的旋转性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些性质和定理进行线段长度和角度的计算． （1）根据旋转性质得到，，再通过线段的和差关系求； （2）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质和旋转性质求出． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故的长为：4； （2）解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 的度数为． 【变式2】数学是研究数量关系和空间形式的科学．某节数学活动课上，同学们用一副三角尺开展如下探究活动． 【动手实践】 （1）如图1，三角尺和三角尺的边，重合，求的度数； 【深入探究】 如图2，三角尺从图1的位置出发，绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，三角尺的位置不变，设运动时间为t秒． （2）当平分时，求t的值； （3）若与满足：其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，求t的值． 【答案】（1），（2），（3）或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角尺的角度特征，角的和差运算及分类讨论． （1）根据题意利用三角尺的角度特征可得的度数； （2）根据角平分线的定义求得，再根据题中的信息可设，进而求得t的值； （3）先设，再利用三角尺的角度特征分别求得和的度数，最后分类讨论即可求得t的值． 【详解】解：（1）∵，重合，，， ∴， 即为； （2）∵平分， ∴， 又∵绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴，解得， 即t的值为30； （3）由（2）知，， ∴，， ①当时， ，解得， ②当时， ，解得， 综上所述，t的值为30或． 【变式3】直线上有一条射线，在O处放一个直角三角板，，如图将三角板绕O点逆时针旋转，速度为每秒，旋转停止． (1)若，当射线平分时，求旋转时间． (2)当平分时，也平分么？说明理由． (3)若，当与相交时，画出图形并求与的关系． 【答案】(1)13 (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，设旋转时间为，则列方程为，解方程即可； （2）根据角平分线的性质可得，进而得到，从而得到结论平分； （3）当处于下方时，此时与相交，根据和，进行解答即可． 【详解】（1）解：射线平分， ， 设旋转时间为， 则， 解得， 因此，旋转时间为13秒； （2）解：也平分，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：如图，此时与相交， ， ， ， ， ， ． 1．（25-26九年级上·河南·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D． 斐波那契螺旋线 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法是解题的关键． 根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知， A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意， B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意， C、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意， D、原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意． 故选：C． 2．（2025·浙江湖州·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交于点F，G，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转前后对应角相等，可得，结合，可得，可证结论D正确． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到， ，， 又， ， ， 故选项D结论一定正确， 现有条件，不能证明选项A，B，C中结论一定正确， 故选D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B选项不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意； D选项是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为（   ） A．1秒或9秒 B．9秒或11秒 C．1秒或3秒或9秒 D．3秒或9秒或11秒 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为3秒或9秒或11秒， 故选：D． 6．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，三角形的顶点都在格点上，将三角形绕点O按顺时针方向旋转得到三角形，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转角的概念，根据旋转角的概念找到旋转角是解题的关键． 先根据旋转角的概念找到是旋转角，再根据图形确定度数即可． 【详解】解：如图：由旋转角的定义可：对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，即旋转角是， 由图可知：． 故选：D． 7．（24-25七年级下·重庆·月考）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的性质与判定依次判断可求解． 【详解】解：由三角板可知，，，，， （1）当平分，则， ，故（1）错误； （2）若，且在的上方，则， ，故（2）错误； （3）若时，且在的下方时，则，故（3）错误； （4）若，且，则，故（4）正确， 故选：A． 8．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质以，涉及三角形内角和定理，设，依据旋转的性质，可得，，再根据三角形内角和定理列方程求解即可得出．熟记旋转前、后的图形是全等图形是解决问题的关键． 【详解】解：设，由旋转的性质，可得 ， ， 又， ， 又中，， ， ，即， 故选：A． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点___________． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是________． 【答案】8 【分析】本题考查七巧板，轴对称图形，中心对称图形．先根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断出四边形的形状为正方形，再拼出图形，即可求解． 【详解】解：七块七巧板拼成的正方形边长为4， 这个大正方形的面积为16， 如图，用2块大直角三角形之外的5块七巧板拼成正方形， 这个四边形的面积是， 故答案为：8． 11．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么______° 【答案】125 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握：旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．据此解答即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则________． 【答案】70 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得， ， ∵， ∴． 故答案为：70． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则=___________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键．观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加． 又∵， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），此时t的值为 _________． 【答案】3或9或21 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，关键在于数形结合，分类讨论． 分情况讨论：当时；当时；当时；结合图形求出的度数，即可求出t的值． 【详解】解：①如图，当时，    ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，    ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，延长交于， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或9或21， 故答案为：3或9或21． 15．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第______________ 秒时， 边 恰好与边 平行 ． 【答案】5.5 或 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的角度关系及直角三角形的角度计算，解题的关键是确定和的初始倾斜角，分析旋转过程中倾斜角的变化规律，再根据平行线倾斜角相等或相差的条件列方程求解旋转时间． 以为x轴建立坐标系，确定与x轴的夹角（倾斜角）为；根据初始位置得出的初始倾斜角为；分析顺时针旋转度后倾斜角为；分别按同向平行（倾斜角相等）和反向平行（倾斜角相差列方程求，结合旋转速度计算时间，筛选旋转一周内的有效解． 【详解】解：设为x轴（点O为原点）， ∵，点D在上， ∴为x轴，即与垂直． 在中，，故与轴）的夹角为，即的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为． 在中，，，点D在上，初始时的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为（由题意可知）． 设旋转时间为t秒，三角形顺时针旋转的角度为度，旋转后的倾斜角为． 当与平行时，分两种情况： 同向平行（倾斜角相等）：，解得，则秒； 反向平行（倾斜角相差：，解得（等效于顺时针旋转，因旋转一周为，则秒． 两种情况均在旋转一周秒）内，均为有效解． 故答案为：或． 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在网格点上． (1)画出将三角形向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度后的三角形； (2)画出将三角形绕点按逆时针方向旋转后的三角形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查平移作图，旋转作图．熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键． （1）根据平移规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 17．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）（1）如图1，点A、B、C都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点C画直线； ②在上画点P，使的长度最小． （2）如图2，已知，点P在边上．利用直尺和圆规在上作一点Q，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查尺规作图，旋转与平移作图； （1）①把平移到，使和重合，则和重合，此时； ②将绕逆时针旋转得到，则与的交点为点P，此时，则的长度最小． （2）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤作图即可． 【详解】解：（1）①过点C画直线，如图所示； ②在上画点P，使的长度最小，如图所示． （2）如图所示： 18．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转一次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【详解】（1）解：答案见图2，图3； （2）解：观察图形可知，旋转一次循环， ， 所以风叶①到达了图4位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． 故答案为：； （4）解：由如图5可知，最少翻折次，也能到达第（2）问中位置． 故答案为：． 19．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，正方形中，点E是线段延长线上一点，连接，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为 ． (2)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． （1）根据平移的性质和平行四边形的面积公式计算即可； （2）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】（1）解：线段扫过的平面部分的面积为：， 故答案为：； （2）解：①如图，旋转中心：边的中点O，顺时针旋转； ②如图，旋转中心：点D，顺时针旋转； ③如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转； ④如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转． 20．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图1，点O为直线上一点，两个完全相同的直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______； (2)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，此时，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 【答案】(1)150° (2)15秒或35秒时，所在的直线平分 (3)27秒或63秒或99秒时，所在的直线平分 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角的和差、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由角的和差可得，由旋转的性质可得，再根据角的和差即可解答； （2）由题意可得：三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周需40秒；然后分两种情况，分别分解旋转的性质以及角平分线的定义求解即可； （3）由题意可得：三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，需120秒；然后分当三角板绕点O沿逆时针方向旋转、、三种情况，分别运用旋转的性质、角平分线的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，则旋转时间为（秒）． 如图，当旋转至时，平分，则， ∴， ∴，即15秒时，所在的直线平分； 如图，当旋转至时，所在直线平分，交于点E， ∴，即35秒时，所在的直线平分． 综上，15秒或35秒时，所在的直线平分． （3）解：三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，则旋转时间为（秒）， 三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转，旋转的角度为， 设旋转时间为t秒， ①如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：； ②如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：． ③如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：． 综上所述，27秒或63秒或99秒时，所在的直线平分． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $