专题02 函数与导数（6大考点）（重庆专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 函数与导数 6大考点概览 考点01指对幂函数 考点02比较大小问题 考点03函数的性质 考点04函数的应用 考点05利用导数研究单调性、极值、最值、零点问题 考点06导数证明问题 指对幂函数 考点1 1．（2026·重庆·一模）若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质求解. 【详解】，， ，. 故选：A. 2．（2026·重庆第二外国语·一诊），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求解不等式得到集合，再根据交集的定义进行运算即可得解. 【详解】要使函数有意义，须满足，即， 即，解得，所以. 因为，所以，即. 故选：C 3．（26·四川外国语附外·一模）（多选）已知，函数，若恒成立，则（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据函数，的单调性，条件可转化为共零点，由此可得。结合基本不等式判断各选项. 【详解】因为单调递增，单调递增，恒成立， 所以与零点相等， 令可得， 令可得 所以函数的零点为，函数的零点为， 所以​ 对于A选项：， 可知， 故，所以， 当且仅当，即​取等号，所以A正确； 对于B选项：，可知，即，显然， 所以， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C选项：由可知，易知，， 故， 所以​， 故​，当且仅当，即取等号，所以C正确； 对于D选项：由​可知，​， 由A选项可知，所以，当且仅当取最小值，所以D错误. 故选：AC. 4．（26·四川外国语附外·一模）已知函数，则__________． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，代入直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 比较大小问题 考点2 1．（2026·重庆九龙坡·一模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数与对数的互化及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由可得，. 因为，所以，即. . 由可得，. 因为，所以，所以. 综上，. 故选：D. 函数的性质 考点3 1．（2026·重庆·一模）（多选）已知函数和均为上的偶函数，则（    ） A．在单调递增 B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先根据偶函数的性质求出 的表达式，再逐一分析选项：选项A，通过求导判断函数 的单调性；选项B，根据基本不等式判断 的取值范围；选项C和D，分别计算 ，，并与 进行比较即可. 【详解】因为 得：， 又因为 ，代入得：， 整理移项：， 因为 ， 当时， ，此时， 经验证，此表达式在时也成立，故， 所以， 即 . 选项A：因为，所以， 当 时，，故 ，因此 在 单调递增，A正确. 选项B：因为， 由均值不等式 ，令 ， 则，所以， 当且仅当 即 时取等号，故 ，B错误. 选项C：因为，所以，C正确. 选项D：因为， 所以，则显然二者不相等，D错误. 故选：AC. 2．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 3．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，则 _____. 【答案】 【分析】先得到，根据函数为奇函数得到，求出答案. 【详解】是定义在上的奇函数，故， 又当时，，故， 所以. 故答案为： 4．（2026·重庆·一模）若函数满足:对任意的，都有，且，则______. 【答案】/0.125 【分析】由，通过累加即可求解. 【详解】由， 得， 即， ，... ， 累加可得：， 又， 得， 故答案为： 5．（2026·重庆九龙坡·一模）函数部分图象如图，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据（1）定义域：处无定义，函数在该点断开；（2）奇偶性：图象关于原点对称，函数为奇函数；（3）零点：、处函数值为0；（4）极限趋势：时，函数值趋向于无穷大；逐个分析判断正误即可. 【详解】选项A：奇偶性：，是偶函数，与图象的奇函数特征矛盾.A错误. 选项B：奇偶性：，是奇函数，符合； 零点：，对应、，与图象零点一致； 极限趋势：时，时， 与图象趋势一致；定义域：，符合图象特征. 综上B正确. 选项C：零点：，时，，与图象中为零点矛盾. C错误. 选项D：定义域：（处有定义，），与图象处无定义矛盾. D错误. 故选：B. 函数的应用 考点4 1．（2026·重庆·一模）我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5纳米芯片，并且随着技术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目与以后第个月的关系满足，单个晶体管的价格与的关系为，每18个月芯片的晶体管数目会变为之前的2倍，每12个月单个晶体管的价格会变成原来的一半，芯片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积，则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格是首款芯片价格的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据单个晶体管的数目和价格变化情况列出方程，解得，再分别表示出首款芯片与改进型号芯片的价格，即可得解. 【详解】由题可知，若，则，得，即； 若，则，得，即. 设首款芯片价格为， 则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格， 则， 故选：B. 2．（26·四川外国语附外·一模）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 利用导数研究单调性、极值、最值、零点问题 考点5 1．（2026·重庆九龙坡·一模）已知实数a，b均不为0，函数在某个关于原点对称的区间上恰有两个极值点x1，x2，则（   ） A．2a B．-2a C．2b D．-2b 【答案】D 【分析】先化简，再求导找极值点，然后分析极值点，最后代入计算. 【详解】依题意，，则， 求导得， 由，得，而函数在关于原点对称的区间上恰有两个极值点，， 则这两个极值点满足（因为是偶函数）, ，， 所以 . 故选：D 2．（2026·重庆·一模）若方程的三个根成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】分离参数，转化问题为直线与图象的交点问题，结合导数作出函数图象，进而求解即可. 【详解】由，得，所以. 设. 方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标. 因为函数的导数为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又时，，时，， 作出的大致图象，如下图： 则（*）， 因为成等比数列，设公比为， 所以，， 代入（*）式得， 由，得，即， 所以，解得， 代入，可得， 整理得，解得或（舍去），则公比为. 3．（2026·重庆·一模）关于的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 4．（2026·重庆第二外国语·一诊）已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为________. 【答案】 【分析】变形条件转化为，构造函数，判断单调性，转化为恒成立，求解最小值可得答案. 【详解】等价于，即，变形为. 设，，所以在上单调递增， 当时， ，由可得，即对任意都成立， 设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以，即a的最大值为. 故答案为： 5．（26·西南大学附中·一诊）已知函数有两个极值点，则的最小整数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知在内存在两个变号零点，令，可得出，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出即在内有两个不同的根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 问题等价于在内存在两个变号零点， 即在内有两个变号零点， 因为，令， 问题可以转化为关于的方程在内有两个不同的解， 又方程可化为，即， 令，，则在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. 又，所以，即，所以问题等价于， 即在内有两个不同的根， 令，则， 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且其横坐标分别为、， 又，所以，所以的最小整数值为， 故选：B. 6．（2026·重庆九龙坡·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．函数存在唯一零点 B．若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C．存在唯一，使得 D．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于选项A：对求导后根据的正负判断单调递增后易得存在唯一零点； 对于选项B：对求导后根据的正负判断的增减性，求出极小值即最小值不在选项范围内；对于选项C：设，再根据形式化简后求导并判断的增减性，求出极小值即最小值为0，即存在唯一零点；对于选项D：讨论的范围后参变分离，构造新函数求导分析即可求得的取值范围. 【详解】对于选项A：由题易得，则在上单调递增， 且当时，，且当时，， 由零点存在定理，在上有且仅有1个零点，故A选项正确； 对于选项B：由题得，令，则， 故在上， ，单调递减，在上，，单调递增， 故在处取极小值，即最小值， 且易得当时，， 则有若在上有唯一解，则或，故B选项错误； 对于选项C：设，， 则， 故，则，令，， 故在上， ，单调递减， 则在上，，单调递增，故在处取极小值即最小值， 则有在上有且仅有1个零点，由选项A易得在上单调递增， 故有且仅有1个解使，即 有且仅有1个零点，故C选项正确； 对于选项D：若有在R上恒成立，讨论的范围后参变分离： ①若，则有，显然成立 ②若，则有，令，则， 令，或（舍），易得当时，在处取极小值即最小值，因此； ③若，则有， 令，则， 令，（舍）或， 易得当时，在处取极大值即最大值，因此； 综上，的取值范围是 故选项D正确. 故选：ACD 7．（26·四川外国语附外·一模）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为. 【分析】（1）利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义即可求解； （2）根据（1）的结论，求出函数，利用导数法求函数的极值的步骤即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， ， 切线过点， , 由导数的几何意义可知，斜率, . （2）由（1）知，，可得， ， 令，则，解得或， 当或时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而可知是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为. 所以函数的极大值为，极小值为. 8．（2026·重庆名校联盟·一模）已知函数（）. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； （2）（ⅰ）由题意可得和是的零点，结合韦达定理与导数的几何意义计算即可得解；（ⅱ）借助导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，从而可表示出，结合、的关系计算即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，又，故， 当时，，又，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）（ⅰ）当时，， 根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根， 故，，则，， 且有，则， ， 则， 同理 ， 故函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）由（ⅰ）知， 故在点处的切线为，， 令，则， 又，故， 故，又，且， 所以， 令，则，又， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为. 导数证明问题 考点6 1．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数为的导数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)对，都有，求的取值范围； (3)设，若在上有零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，结合导数的正负分、两种情况讨论求解即可； （3）设在上的零点为，由题意可得，则点为直线上一点，表示点到原点的距离，进而得到，设，，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由，得， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，则， 即对于恒成立， 设，，则， 设，， 则，函数在上单调递增，且， 当，即时，，则函数在上单调递增， 所以，则函数在上单调递增， 则，即对于恒成立； 当，即时，令，得， 令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，， 此时函数在上单调递减，则，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. （3）由，， 令，即， 设在上的零点为，则， 则点为直线上一点， 所以表示点到原点的距离， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，又， 则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 2．（2026·重庆·一模）设定义在上的可导函数满足，且. (1)用表示，并求的单调区间； (2)若，记在点处的切线为，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； (3)证明:当时，. 【答案】(1)，函数的递减区间为，没有递增区间. (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）由等式得，令并求的值，通过导数即可求得的值域，从而得到的范围，即可求得函数的单调区间. （2）写出切线方程，然后令，求导数，通过函数的导数，求得函数单调性，从而得到的单调区间，即可求得的值域，从而得证； （3）令，求导数，在令，通过导数得到在单调性，从而求得的值域，即可求得的值域，从而得到函数的值域，即可得证. 【详解】（1）∵，∴， 令函数， 则， 当时，，即，函数单调递增，∴， 当时，，即，函数单调递减，∴， ∴， ∴， 即函数的递减区间为，没有递增区间. （2）在切线， 即， 令函数， 则，则， 由（1）可知，令， 则， 当时，，，∴且， ∴，即函数单调递增； ∴当时，，即，∴单调递减， 当时，，即，∴单调递增， ∴，即， ∴除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； （3）令函数，则， ，∵， ∴， 令，则， 当时，，，故，即函数单调递增， ∴， 即当时，， ∴，即， ∴. 3．（2026·重庆第二外国语·一诊）已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 【答案】(1)1个，证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）首先得到的解析式，并通过导数研究它在上的单调性，判断值的正负，由零点存在性定理即可得到在上零点的个数； （2）将原不等式转化为证明，借助导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以，则. 令，得或，由，得或； 故当在上变化时，，的变化情况如下表： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据上表知的极大值为， 又因为， ， 所以由零点存在性定理可知，函数g在上零点的个数为1个； （2）要证明，即证明. 令，则.令可得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 设函数，则. 令，则， 易知在上单调递增. 因为，所以存在，使得， 从而函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，， 故存在，使得， 即当时，；当时，， 从而函数在上单调递减；在上单调递增. 因为，，故当时，. 因为，所以 ，所以. 4．（26·西南大学附中·一诊）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与导数 6大考点概览 考点01指对幂函数 考点02比较大小问题 考点03函数的性质 考点04函数的应用 考点05利用导数研究单调性、极值、最值、零点问题 考点06导数证明问题 指对幂函数 考点1 1．（2026·重庆·一模）若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（2026·重庆第二外国语·一诊），，则（    ） A． B． C． D． 3．（26·四川外国语附外·一模）（多选）已知，函数，若恒成立，则（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（26·四川外国语附外·一模）已知函数，则__________． 比较大小问题 考点2 1．（2026·重庆九龙坡·一模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 函数的性质 考点3 1．（2026·重庆·一模）（多选）已知函数和均为上的偶函数，则（    ） A．在单调递增 B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，则 _____. 4．（2026·重庆·一模）若函数满足:对任意的，都有，且，则______. 5．（2026·重庆九龙坡·一模）函数部分图象如图，则可能是（   ） A． B． C． D． 函数的应用 考点4 1．（2026·重庆·一模）我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5纳米芯片，并且随着技术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目与以后第个月的关系满足，单个晶体管的价格与的关系为，每18个月芯片的晶体管数目会变为之前的2倍，每12个月单个晶体管的价格会变成原来的一半，芯片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积，则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格是首款芯片价格的（    ）倍. A． B． C． D． 2．（26·四川外国语附外·一模）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 利用导数研究单调性、极值、最值、零点问题 考点5 1．（2026·重庆九龙坡·一模）已知实数a，b均不为0，函数在某个关于原点对称的区间上恰有两个极值点x1，x2，则（   ） A．2a B．-2a C．2b D．-2b 2．（2026·重庆·一模）若方程的三个根成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D．3 3．（2026·重庆·一模）关于的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆第二外国语·一诊）已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为________. 5．（26·西南大学附中·一诊）已知函数有两个极值点，则的最小整数值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆九龙坡·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．函数存在唯一零点 B．若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C．存在唯一，使得 D．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 7．（26·四川外国语附外·一模）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 8．（2026·重庆名校联盟·一模）已知函数（）. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 导数证明问题 考点6 1．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数为的导数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)对，都有，求的取值范围； (3)设，若在上有零点，求证：. 2．（2026·重庆·一模）设定义在上的可导函数满足，且. (1)用表示，并求的单调区间； (2)若，记在点处的切线为，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； (3)证明:当时，. 3．（2026·重庆第二外国语·一诊）已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 4．（26·西南大学附中·一诊）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02函数与导数 考点1 指对幂函数 1.A 2.C 3.AC 4.3. 考点2 比较大小问题 1.D 考点3 函数的性质 1.AC. 2.D 3.-66 1 4.g0125 5.B 考点4 函数的应用 1.B 2.C 考点5 利用导数研究单调性、极值、最值、零点问题 1.D 2.A 3.D 4.e 5.B 6.ACD 7.【详解】(1)因为f(x)=x2+ax+b)e, 1/9 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]e, f(0)=(02+ax0+bje°=b,f'(0)=[02+(a+2)x0+a+b]e°=a+b, :切线6x+y+3=0过点P, f(0)=b=-3, 由导数的几何意义可知，斜率k=f'（0)=a+b=6, a=b=-3 (2)由(1)知，a=b=-3,可得f(x=x2-3x-3e, ∴.f'(x)=x2-x-6e=(x+2)(x-3)e, 令f'(x)=0,则(x+2)(x-3)e=0,解得x=-2或x=3, 当x<-2或x>3时，f"'(x)>0, 当-2<x<3时，∫'(x<0, 所以f(x在(-0，-2)和3，+o上单调递增，在(-2,3)上单调递减， 从而可知x=-2是函数的极大值点，极大值为f(-2)=7e2, x=3是函数的极小值点，极小值为f(3)=-33 所以函数f(x的极大值为7e2,极小值为-33 8.【详解】(1)当a=2时，f(x)=x2-2x+1nx, 则r--nxa--f4-》 令A到=2nx+1-士则公到-是+>0，故国在0，切上递增， 21 又h(1=21n1+1-1=0,则xe(0,时，h(x)<0,又x-1<0,故f'x>0, 当xe(1,+0时，hx>0,又x-1>0,故f'x>0, 故∫'(x)≥0恒成立，故∫(x)在(0，+∞)上单调递增， 即函数∫(x)的单调递增区间为0，+0)，无单调递减区间； 2/9 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)(i)当lnx=0时，x=1, 根据题意，零点x,x2分别在区间(0,1)和(L,+o)内，不等于1，因此x,x2是方程x2-ax+1=0的两个根， 故+=a,=l,则=0-，6=， 且有x2-a+1=0,则ax1=x2+1, f(x)=(2x-a)Inx+x-ax+1 则f川x)=2x-anx+f-+1=2x-anx, 2n-= =(x-a+x)Inx=(2x-a)Inx=f'(x), 故函数f(x)在两点(x,0),(x2,0)处的切线平行； (ii)由(i）知f'(x)=(2x-a)lnx, 故y=fx在点(x,0)处的切线为y=(2x,-a)lnxx-x,0<x<1, 令x=0,则y=(2x-a)lnx(-x=ax-2x2)lnx, 又ax,=x2+1,故y=(1-)nx, 放s=-n小又5=，且0<写<1k6, 所s2《）=之m三士m一 X2-X1 1 令1=f0,则3=m0=-,又m=+h小， X2-X1 当0<t<上时m()>0,当<f<1时m'()<0, 所以a上单调递培，在。上调宽该，则国≤日衣 11 所以 ,的最大值为农 x2-x 3/9 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点6 导数证明问题 1.【程解】0由/=e-m,得0-1. 而f'(x)=e-ax,则f'(0)=1, 所以曲线y=(x在点(0，f(0)处的切线方程为y=x+1, 2由>r+41,则ed>m+1. 2 即e-a2-x-1>0对于xe(0,+o）恒成立， 设h(x=e*-ax2-x-1,xe(0,+o）,则h'(x=e-2ax-1, m(x)=e*-2ax-1,xE(0,+oo), 则m'(x=e*-2a,函数m'(x在0，+0）上单调递增，且m'(0)=1-2a, 当1-2a≥0，即a≤时，m>0,则函数m(到在(0+)上单调递增， 所以h'(x=m(x>m(0)=0,则函数h(x)在(0，+o)上单调递增， 则hx>h(0)=0,即e-ax2-x-1>0对于xe(0,+o)恒成立； 当1-2a<0,即a>时，令mk0,得0<<h(2a, 令m'(x)>0,得x>ln(2a, 所以函数m(x在(0，ln(2a)上单调递减，在(n(2a),+oo上单调递增， 则x∈(0，ln(2a月时，h'(x)=m(x<m(0)=0, 此时函数h(x在(0，ln(2a)上单调递减，则h(x<h(0)=0,不符合题意. 综上所述，a的取值范围为 (3)g(x)=f'(x)-bsin x=e*-ax-bsinx,xE(0,+o0), 令gx)=e-ax-bsinx=0,即ar+bsinx-e=0, 设gx在(0，+o)上的零点为t>0,则at+bsint-e'=0, 则点(a,b)为直线x+ysint-e'=0上一点， 4/9 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以√a2+b2表示点(a,b)到原点的距离， 则Va2+b≥ e ,即a2+b2≥ e24 t2+sin2t 2+sin2t' 设u(t=sint-t,t>0,则u'(t=cost-1≤0， 所以函数u(t在0，+o）上单调递减，则ut)=sint-t<u(0)=0, 即sint<t,又sint∈[-l,l, 则a2+b2 e2r e2r 22+sin21>2+2-2' 设og>0,则v0少e 令'(t<0,得0<t<1,令'(t>0,得1>1， 所以函数v(t)在(0，上单调递减，在(1，+∞）上单调递增， 则小2=氵即+6> 2 2.【详解】1)：产f'到+对=lnx,fy-血x-因， x2 令函数h(x=lnx-xfx),he=lne-ef(e=1-1=0 则-士到-因1-n, x2 当xe(0,e)时，1-lnx>0,即h'(x>0,函数hx单调递增，h(x<h(e=0, 当xe(e,+o)时，1-lnx<0,即h'(x<0,函数hx单调递减，h(x<h(e)=0, ..h(x)Inx-xf(x)sh(e)=0, f=hx-四s0, x2 即函数f(x)的递减区间为0，+)，没有递增区间， (2)在(xo:f(x)切线I:y-f(xo=f'(x)(x-xo), 即1：y=f'(xx-f'(xx+f(xo), 令函数g(x=f(x-y=f(x-∫'(xx+f'(xox。-fxo), g(xo)=f(x)-f'(xo)x+f"（x)x。-fxo）=0 5/9 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则g'(x=f'(x)-f'(x),则g'xo)=f'(x)-'(x)=0, 由1)可知对-国，令m到=fx, r2 m(x)-(x)-2h(x)_1-Inx-2h(x) x x 当xe(0,e)时，1-lnx>0,hx<he=0,1-lnx-2hx>0且x3>0, .m'x>0,即函数∫'(x单调递增； .当0<x<x时，f'(x)<f'(x),即g'（x<g'x)=f'x)-f'(x)=0,.gx单调递减， 当x<x<e时，f'(x>'(),即g'(x>g'(xo)=f"'x-f'(x)=0,.gx单调递增， .gx=fx-y≥gxo)=0,即f(x)≥y, 除切点外，曲线y=f(x)在(0，©上的图象位于切线上方； (3)令函数G(x=x+cfx-2,则G(e)=(e+efe)-2=1x2e-2=0, e G=(x+ef+f,f=血x-因， x2 G(x)=(xte)lnx-exf(x) x2 )-(x+e)x-ex()()-mx+er(x)-ex(x)e+(x-c)inx 当x>e时，nr>1,x-e>0,故(>+e+-e=2>0,即函数(x)单调递增， x ..t(x)>t(e)=(e+e)Ine-e2f(e)=e>0, 即当x>e时，G=x+enx-er(d,0, x2 .Gx)>G(e=0,即(x+ef(x-2>0, f()>2 x+e 3.【详解】(1)因为f(x)=nx-)+x.1=nx, 所以8(=血x+2x2-5x+2,则g=4r-5r+1_x-4- 令g国=0，得或=1，由ge>0,得0<x<或>1： 故当x在(0，+∞)上变化时，g(x),8(x)的变化情况如下表： 6/9 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 g(x) × 0 0 g(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 1 根据上表知gx)的极大值为g 7 =In 115 +2= 、4 P -2ln2<0, 484 又因为g1=-1,g2)=ln2>0, 所以由零点存在性定理可知，函数gx)在(0，+∞)上零点的个数为1个； (2)要证明 y+x>P-x-1,即证明xnx>e(x2-x- h(x) 1 令tx)=xlnx,则t(x=lnx+1.令t(x=0可得x= e 所以函数（到在0）上单调递减，在怎上单调递增，所以(=日=-日 设函数G(x)=(x3-x-1e,则G(x)=(x3+3x2-x-2)e 令p(x)=x3+3x2-x-2,则p'(x)=3x2+6x-1=3x+12-4, 易知p'(x)在(0,1上单调递增 因为p'(0)p')=-8<0,所以存在x∈(0,1)，使得p'（x。)=0, 从而函数p(x)在(0，x)上单调递减，在(x,上单调递增 所以p(x)<p(0=-2,p①)=1>0， 故存在x∈0，)，使得G'（x,)=0, 即当x∈(0，x)时，G'(x)<0;当xe(x,l时，G(x)>0, 从而函数G(x)在0，x)上单调递减；在(x,上单调递增 因为G(0)=-1,G)=-e,故当x∈(0,1)时，G(x<G(0)=-1. 因为。>1，所以xh>e--),所以八+>-x-1 h(x) 7/9 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.【详解】(1)由fx)≤0得a1-)-lnx≤0， 令8)-a0--nxx0.则g0号2， ①当a≤0时，g(x)<0恒成立，g(x)在(0，+o)上单调递减，且g(I)=0,不符题意； ②当a>0时，g(x)在(0，a上单调递增，在(a,+0)上单调递减， 故g(x)max=g(a)=a-1-lna≤0， 令l@=a-l-lna,则h(a）=l-L=a-l aa 故h(a在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增， 则h(a)mn=h()=0,即a-1-lna≥0，又a-1-lna≤0， 所以a-1-lna=0,解得a=1. (2)由(1)知f(x)=x-1-xlnx,f'(x)=-lnx, 要证x)>f)-,即证-1nx>5-+血-n五 X2-x1 X2-X1 进一步安形为正55>0，年注如空-国-列 X2-X1 ->0 X2-X1 因为0<5<，令1=点>1，则需证1-1-山>0(4>1， t-1 即证血t-（t-1)>0(t>1) g(t)=tlnt-(t-1),t>1,g'(t)Int+1-1=Int, 当t>1时，g'(t)>0,g(t)在(1，+0）单调递增，所以gt)>g1)=0,得证. (3)由(1)知f(x=x-1-xnx,且f(x)≤0， 当x>0时，x-1-xlnr<0,即nr>r-」 k+1-1 1 令尖(keN.则n名司 k 要证1+1 n+2n+3 +…+1 <n2,即证∑+<h2, 2n+1 因为n《+l1 所4豆品立兴 -> 8/9 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 而21nk+=n+2+1nn+3++in2n+l-n2n+=ln2-） n1k "n+1“n+2 <ln2,得证 2nn+1(n+1 9/9