专题03 等比数列及前n项和九大题型（高效培优专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题03 等比数列及前n项和九大题型 题型一：等比数列的基本量求解 题型二：等比中项 题型三：等比数列的判定与证明 题型四：等比数列的单调性 题型五：等比数列的性质 题型六：等比数列的前n项和性质 题型七：等比数列的实际应用及数学文化 题型八：利用前n项和求通项公式 题型九：等差、等比数列的综合应用 题型一：等比数列的基本量求解 1．已知数列是正项等比数列，且，则（    ） A．64 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】设数列的公比为，所以， 所以，由，得， 即，因为， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以． 2．等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．48 B．36 C．42 D．31 【答案】D 【详解】由等比数列的性质可得： ， 又因为，所以解得或， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 解得，， 根据等比数列的求和公式可得： ． 故选：D. 3．记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 4．若等比数列的前项和为，公比为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为，公比为，且，， 则 ，解得， 又因为，所以，故. 5．（多选）记为等比数列的前n项和，q为的公比，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A，，， ， 又，，，故A正确； 对B，则，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，， ， 则不恒等于8，故D错误. 故选：ABC. 6．（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以，所以. 因为，所以，所以，故A正确； 又，所以，所以， 所以，故B，C错误； 所以，故D正确 . 题型二：等比中项 7．记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 则由题可得，即，解得， 所以， 故选：A. 8．正项等比数列中，，，则_______． 【答案】3 【详解】因为，又为正项等比数列， 所以， 又，故， 则. 9．数列为等比数列，它的前三项为，则________． 【答案】3 【详解】由题意知，整理得，解得或. 当时，第二项，不符合等比数列定义，舍去. 故答案为：3 10．设是实数，若成等比数列，且成等差数列，则的值为________． 【答案】2 【详解】由成等比数列，成等差数列， 得即，即得< 故，即． 所以． 故答案为：. 11．（多选）已知等差数列的公差，前n项和为，若，，成等比数列，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为成等比数列，所以，即，化简得， 所以，A正确. ，B正确. 若，则，，， 若，则，，，C错误，D正确. 12．（多选）已知数列的前项和为，且，则以下结论错误的有（   ） A．，，成等比数列 B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D．，，成等差数列 【答案】ACD 【详解】由，得，解得. 当时，， 则，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. ，， . 对于选项A，，，所以，故选项A错误； 对于选项B，，，所以，故选项B正确； 对于选项C，，，所以，故选项C错误； 对于选项D，，，所以，故选项D错误. 故选：ACD 题型三：等比数列的判定与证明 13．已知数列满足，，则（   ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】D 【详解】数列满足，可得，则有， 所以，又， 根据等比数列的定义可知，数列是首项为2公比为3的等比数列，D选项正确； 所以，，则有，，， ， ，不是等差数列，A选项错误； ，，不是等差数列，B选项错误； ，，不是等比数列，C选项错误. 故选：D. 14．（多选）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【答案】AC 【详解】选项A，由等比数列性质得，由，解得或， 若，则，不合题意， 若，则，满足题意，A正确； 选项B，由选项A得，， 等比数列的通项公式应为形式，因此不是等比数列，B错； 选项C，由选项B得，，C正确； 选项D，由上知，， ，所以数列是公差为的等差数列，D错． 15．已知数列是首项为，公差为的等差数列，令，求证数列是等比数列，并求其通项公式． 【答案】证明见解析， 【详解】依题意，于是． 则，又， 数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为． 16．已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 所以. 17．已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 即， 又因为，所以，即. 所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 则，所以. （2）设数列公差为， 由（1）知，， 因为为与的等差中项，所以， 又因为，则. 所以. 解法一： 当时，， 当时，， . 综上，数列的前项和. 解法二： 记数列前项和为，则 . 又因为， 当时，. 当时， . 综上，数列的前项和 18．设为数列的前项和，已知，． (1)证明：数列为等比数列； (2)判断，，是否成等差数列并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，成等差数列，理由见解析 【分析】 【详解】（1）证明：由可得：， 又 则为首项为，公比为的等比数列； （2）由可得，即有， ， 假设，，成等差数列，， 可得，，成等差数列． 题型四：等比数列的单调性 19．在等比数列中，“”是“数列递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，设公比为q，则， 若，则，即，此时，显然数列是递减数列， 若，则，即，此时，数列也是递减数列， 反之，当数列是递减数列时，显然． 故“”是“等比数列递减”的充要条件． 故选：C． 20．已知等比数列满足，则数列的前项积时，的最大值为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由等比数列下标和性质，， 由于，则， 设等比数列公比为，则， 于是等比数列是正项数列，前项比大，从第项开始比小，且是正项数列. 结合等比数列下标和，等比中项性质， ， ， 故时的最大值是. 故选：C 21．（多选）已知数列满足，其前项和为，且，则（   ） A． B．是递减数列 C． D．是等差数列 【答案】ACD 【详解】因为数列满足，所以，， 所以，故，A对， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 故数列是单调递增数列，B错， ，C对， ，故数列是等差数列，D对. 故选：ACD. 22．（多选）已知等比数列的公比，且，前n项和为，前n项积为，那么下列结论正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．若是递增数列，则是递增数列 D．若是递增数列，则是递增数列 【答案】AD 【详解】选项A：已知，，则有两种情况： 当时，，那么， 当时，，那么， 等比数列的通项公式为，则， 当，时，，所以， 当，时，，所以.故A正确. 选项B：由选项A的分析可知，当时，，此时数列是递增数列， 即，所以， 当时，，此时数列也是递增数列， 即，所以， 因此，不存在，使得，故B错误. 选项C：若是递增数列，则，所以，则，， 但不一定是递增数列，例如，当，时，则， 所以不满足，故不满足递增.故C错误. 选项D：若是递增数列，则，即，化为， 故或， 若，则，则，故是递增数列； 若，则，此时，则， 这与是递增数列矛盾，此类情形不存在； 综上，是递增数列.故D正确. 故选：AD. 23．（多选）已知为常数，则下列关于数列的说法正确的是（   ） A．为等比数列 B．使得为等差数列 C．为摆动数列 D．，为递增数列 【答案】BC 【详解】时，为常数列，是等差数列，但不是等比数列，故A错误； 时，，为常数列，是等差数列，故B正确； 时，为摆动数列；故C正确； 时，为递增数列，时， 为递减数列，时，为常数列，故D错误. 故选：BC 24．已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 【答案】3 【详解】， 设数列公比为， 则，解得，即或（舍去） ∴，∴，∴， 设，则， 当时，，当时，， 故当时，取最大值， 故答案为：3 题型五：等比数列的性质 25．数列为单调递减的等比数列，且，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且为单调递减的等比数列， 联立，解得， 所以，故． 26．在正项等比数列中，，，则当取得最小值时，（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】由，可得，即， 又，所以，则， 所以当时，； 当时，， 所以当取得最小值时，． 故选：A. 27．等比数列中，为方程的两根，则等于（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．-6 【答案】B 【详解】由等比数列中，为方程的两根，得，， 因此，，， 所以. 故选：B 28．（多选）已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．当最小时， 【答案】AC 【详解】正项等比数列的公比为，前项的积为, ，， ， ，，，故选项A正确； ，，，，，故选项B错误； ，故选项C正确； ，，，， 当时，， ，，， 当最小时，或，故选项D错误. 故选：AC. 29．在等比数列中，已知，且公比q为整数，则________． 【答案】 【详解】已知等比数列公比q为整数， 则， ， ， 解得或， 又公比q为整数， ，故， ． 故答案为：． 30．在等比数列中，，若，则________． 【答案】128 【详解】，又，所以， ． 故答案为：128 题型六：等比数列的前n项和性质 31．已知正项等比数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】设，则成等比数列， 即． 32．等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 33．已知等比数列的前项和，，则__________. 【答案】75 【详解】∵等比数列的前项和， ∴，，，仍成等比数列. ∵，， ∴. ∴，则. ∴，则. 故答案为： 34．已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为， 则， 所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：. 35．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 【答案】/ 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 题型七：等比数列的实际应用及数学文化 36．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂为4个并死去1个，两小时后分裂为6个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 所以由， 而，故，故 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ，． 37．从年起到年，某人每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 到年月日将所有存款及利息全部取出: . 故选：D. 38．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．求年内的总投入与年内旅游业的总收入． 【答案】年内的总投入为万元，年内旅游业的总收入为万元 【详解】解：由题意知第1年投入800万元，第2年投入万元， …… 第年投入万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列． 所以年内的总投入（万元）． 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为万元， …… 第年旅游业的收入为万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为的等比数列． 所以年内旅游业的总收入（万元）． 故年内的总投入为万元， 年内旅游业的总收入为万元． 39．云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 40．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设塔的顶层灯数为， 由上至下每一层的灯数形成以为公比的等比数列， 由题可得，解得， 所以塔的顶层的灯数是. 故选：B. 41．《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为______. 【答案】 【详解】设5块矩形田地的宽构成等比数列，其中首项为，公比为，前和为， 不妨设公比，矩形的长为， 因为田地的总面积为620m2，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍， 可得，即，解得， 所以最小的矩形田地的面积为. 故答案为：. 题型八：利用前n项和求通项公式 42．已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 43．已知等比数列的前项和，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】时，， 又，数列等比数列， ∴，即，解得． 故选：D． 44．记为等比数列的前项和，若（为常数），则___________． 【答案】2 【详解】因为，所以， ， 因为为等比数列， 所以，即，解得. 故答案为：2 45．（多选）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 【答案】ABD 【详解】对于B，当时，． 又为等比数列，则，故B正确， 对于A，则，所以，解得，故A正确， 对于C，而 ，故C错误， 对于D，又， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ABD 46．（多选）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C．数列可能为等比数列 D．数列不可能为常数列 【答案】ABD 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列， 而不是关于的一次函数，所以，数列不可能为常数列，故D正确； 因为，所以，又， 所以，故B正确； ，故A正确； 因为，也均不为0，所以不可能为一常数， 即数列不可能为等比数列，故C错误. 故选：ABD 题型九：等差、等比数列的综合应用 47．设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为． 若，则，不符合题意， 所以，解得． 又因为和的等差中项为，所以，则，解得． 所以，， 当时，，当时，，当时，， 所以的最大值为． 故选：B. 48．在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝________. 【答案】189 【详解】  由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，得， 因为是和的等差中项，所以， 所以 故答案为：. 49．在等比数列中，，是与的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题设，则，而， 令的公比为，则，可得， 所以是首项、公比为的等比数列，则； （2）由（1）， 所以 . 50．已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 【答案】(1), (2)11302 【分析】 【详解】（1）数列是公比为4的等比数列，则，即， 即是公差为2的等差数列. ，，成等比数列，故，即，解得. 故. 是和的等差中项，则， 当时，，解得； 当时，，，两式相减得到，即， 故是首项为1公比为2的等比数列，，验证时满足. 故. （2）令，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为. 故数列的前100项和为. 51．已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，又， 设的公比为， 故，相加得，则①， 两式相除得②， 又，所以③， 由①③得④， 由②④得，解得， 解得或0（舍去）， 由得，， 所以，所以， 其中，故， （2）， 其中， ， 故 52．已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为q（）， 由题意，和，得，则， 故数列的通项公式为． 由题意是和的等差中项，是和的等比中项，得， 由，，，得，则， 由且，得，故数列的通项公式为. （2）由题意和（1），得，，…，构成了首项为，公差为的等差数列， ，，…，构成了首项为，公比为的等比数列， 记数列的前n项和为， 则 . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等比数列及前n项和九大题型 题型一：等比数列的基本量求解 题型二：等比中项 题型三：等比数列的判定与证明 题型四：等比数列的单调性 题型五：等比数列的性质 题型六：等比数列的前n项和性质 题型七：等比数列的实际应用及数学文化 题型八：利用前n项和求通项公式 题型九：等差、等比数列的综合应用 题型一：等比数列的基本量求解 1．已知数列是正项等比数列，且，则（    ） A．64 B．256 C．512 D．1024 2．等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．48 B．36 C．42 D．31 3．记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．若等比数列的前项和为，公比为，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）记为等比数列的前n项和，q为的公比，，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：等比中项 7．记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．正项等比数列中，，，则_______． 9．数列为等比数列，它的前三项为，则________． 10．设是实数，若成等比数列，且成等差数列，则的值为________． 11．（多选）已知等差数列的公差，前n项和为，若，，成等比数列，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知数列的前项和为，且，则以下结论错误的有（   ） A．，，成等比数列 B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D．，，成等差数列 题型三：等比数列的判定与证明 13．已知数列满足，，则（   ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 14．（多选）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 15．已知数列是首项为，公差为的等差数列，令，求证数列是等比数列，并求其通项公式． 16．已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 17．已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．设为数列的前项和，已知，． (1)证明：数列为等比数列； (2)判断，，是否成等差数列并说明理由． 题型四：等比数列的单调性 19．在等比数列中，“”是“数列递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知等比数列满足，则数列的前项积时，的最大值为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 21．（多选）已知数列满足，其前项和为，且，则（   ） A． B．是递减数列 C． D．是等差数列 22．（多选）已知等比数列的公比，且，前n项和为，前n项积为，那么下列结论正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．若是递增数列，则是递增数列 D．若是递增数列，则是递增数列 23．（多选）已知为常数，则下列关于数列的说法正确的是（   ） A．为等比数列 B．使得为等差数列 C．为摆动数列 D．，为递增数列 24．已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 题型五：等比数列的性质 25．数列为单调递减的等比数列，且，则公比（    ） A． B． C． D． 26．在正项等比数列中，，，则当取得最小值时，（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 27．等比数列中，为方程的两根，则等于（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．-6 28．（多选）已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．当最小时， 29．在等比数列中，已知，且公比q为整数，则________． 30．在等比数列中，，若，则________． 题型六：等比数列的前n项和性质 31．已知正项等比数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 32．等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 33．已知等比数列的前项和，，则__________. 34．已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______． 35．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 题型七：等比数列的实际应用及数学文化 36．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂为4个并死去1个，两小时后分裂为6个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为（    ） A． B． C． D． 37．从年起到年，某人每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（    ） A． B． C． D． 38．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．求年内的总投入与年内旅游业的总收入． 39．云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 40．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为______. 题型八：利用前n项和求通项公式 42．已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 43．已知等比数列的前项和，则（    ） A． B．1 C． D．2 44．记为等比数列的前项和，若（为常数），则___________． 45．（多选）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 46．（多选）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C．数列可能为等比数列 D．数列不可能为常数列 题型九：等差、等比数列的综合应用 47．设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 48．在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝________. 49．在等比数列中，，是与的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 50．已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 51．已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 52．已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $