正弦定理、余弦定理解三角形及综合应用专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理的综合应用专项训练 正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理的综合应用专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 正余弦定理的综合应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 例2．（25-26高三上·云南昭通·期末）已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 例3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·广东深圳·一模）在中，已知，，，则______. 例5．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则________． 例6．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知中，，，，则______，______． 变式1．（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 变式2．（2026高二上·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________． 变式5．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是__________. 变式6．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度为______. 考点二 余弦定理解三角形 例1．（25-26高三上·山西晋中·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 例2．（25-26高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 例4．（25-26高三上·四川自贡·期末）在中，，，，则BC边上的高为______. 例5．（25-26高二上·广东清远·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______；外接圆的面积为______． 例6．（2025·浙江金华·一模）的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为______． 变式1．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 变式3．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·辽宁·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为____________. 变式5．（24-25高二下·内蒙古·期末）在锐角中，角的对边分别是．若，则__________． 变式6．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足，________ 考点三 正余弦定理的综合应用 例1．（25-26高三上·广西·期末·多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 例2．（24-25高二下·浙江·月考·多选）在中，角，，所对的边分别是，，，其中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则为直角三角形 D．若，则面积为 例3．（24-25高一下·贵州·月考·多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（   ） A． B． C．是钝角三角形 D．是锐角三角形 例4．（2026·四川遂宁·一模）在中，角所对的边分别为.其中 (1)当为锐角三角形，且，求的面积； (2)若，求. 例5．（25-26高三上·江苏淮安·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 例6．（25-26高三上·山西·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 变式1．（24-25高一下·河南·期中·多选）在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式2．（24-25高一下·江苏·期中·多选）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则为等腰三角形． 变式3．（24-25高一下·河南驻马店·月考·多选）在中，已知.则（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C． D． 变式4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）在中，已知，为边上一点，，，. (1)求； (2)求. 变式5．（25-26高三上·江苏连云港·期末）在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 变式6．（25-26高三上·吉林长春·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)若，，求； (2)若，，求的周长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理的综合应用专项训练 正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理的综合应用专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 正余弦定理的综合应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】在中，，， 由正弦定理得：， 则， 因为，所以，则， 故选：C 例2．（25-26高三上·云南昭通·期末）已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据正弦定理可得：，即，解得. 因为，所以，所以， 故选：B. 例3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 例4．（2026·广东深圳·一模）在中，已知，，，则______. 【答案】 【详解】由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 例5．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则________． 【答案】 【详解】已知，，， 所以由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 故答案为： 例6．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知中，，，，则______，______． 【答案】 / / 【详解】由正弦定理可知，可知， 且，所以，所以， ，所以， ，. 故答案为：； 变式1．（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理，得，即． 又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意． 故选：D． 变式2．（2026高二上·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 故选：C 变式3．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 变式4．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________． 【答案】 【详解】由正弦定理，解得． 所以外接圆的面积为． 故答案为： 变式5．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是__________. 【答案】 【详解】在中，由，即， 因为，由正弦定理得，可得， 又因为，且，可得， 所以的面积为. 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度为______. 【答案】 【详解】因为，所以， 由正弦定理，，所以， 故答案为：. 考点二 余弦定理解三角形 例1．（25-26高三上·山西晋中·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 例2．（25-26高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 例3．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由面积公式可知，即，解得， 由余弦定理可知，， 所以. 故选：C 例4．（25-26高三上·四川自贡·期末）在中，，，，则BC边上的高为______. 【答案】 【详解】由余弦定理得， 则. 设BC边上的高为，由等面积法可得， 则. 故答案为： 例5．（25-26高二上·广东清远·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______；外接圆的面积为______． 【答案】 【详解】因为，，， 所以． 设外接圆的半径为R， 因为，所以， 所以外接圆的面积为． 故答案为：； 例6．（2025·浙江金华·一模）的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为______． 【答案】1 【详解】由余弦定理可得：，又， 得，解得，所以的面积为； 故答案为： 变式1．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 变式2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 变式3．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据余弦定理得. 故选：C 变式4．（25-26高三上·辽宁·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为____________. 【答案】/ 【详解】因为，，， 由余弦定理，得，即， 故，解得， 故的周长为. 故答案为：. 变式5．（24-25高二下·内蒙古·期末）在锐角中，角的对边分别是．若，则__________． 【答案】8 【详解】因为为锐角三角形，，所以， 所以由余弦定理得， 化简整理得解得或（舍去）． 故答案为：8 变式6．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足，________ 【答案】 【详解】由，且为锐角，得， 由余弦定理，得，解得， 由余弦定理得. 故答案为： 考点三 正余弦定理的综合应用 例1．（25-26高三上·广西·期末·多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 例2．（24-25高二下·浙江·月考·多选）在中，角，，所对的边分别是，，，其中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则为直角三角形 D．若，则面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由正弦定理，得，即，B正确； 对于C，当时，由余弦定理得：， ，为直角三角形，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 例3．（24-25高一下·贵州·月考·多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（   ） A． B． C．是钝角三角形 D．是锐角三角形 【答案】BD 【详解】根据正弦定理，则，A错误； 根据正弦定理可知最大，余弦定理，则为锐角，所以是锐角三角形，C错误，D正确. ,为锐角，，因为都为锐角，所以，B正确. 故选：BD. 例4．（2026·四川遂宁·一模）在中，角所对的边分别为.其中 (1)当为锐角三角形，且，求的面积； (2)若，求. 【答案】(1)14 (2)8 【详解】（1）因为，，，由正弦定理， 因为B为锐角，则， 则. . （2）由化简得：； ，因为，所以，所以； 由余弦定理，代入，，，可以解得或（舍去）， 故. 例5．（25-26高三上·江苏淮安·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由，且，则， 所以． （2）由余弦定理，，则， 又由正弦定理，则．. 例6．（25-26高三上·山西·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理，得， 又，所以，则， 所以， 由正弦定理，得． （2）法一：由（1）可知，， 又，所以，， 由，得， 解得，则， 故的面积． 法二：由正弦定理及，得， 所以， 由（1）知，又，即，， 所以，． 因为，，所以，，为直角三角形， 则，所以，，， 所以的面积． 变式1．（24-25高一下·河南·期中·多选）在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【详解】因为，，，由余弦定理得， 所以，即，方程无解，故A错误； 因为，，，由余弦定理得， 所以，即， 所以，且有两个正根，所以有两个解，故B正确； 因为，，所以，又， 所以有两个解，故C正确； 因为，，， 由余弦定理得， 所以，所以有1个解，故D错误． 故选：BC． 变式2．（24-25高一下·江苏·期中·多选）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则为等腰三角形． 【答案】ACD 【详解】对于A，，而，故A选项错误， 对于B，中，若，则， 由正弦定理得：（为的外接圆半径）， 故，B选项正确， 对于C，由正弦定理，得，由，则或，C选项错误， 对于D，若，则，即， 而，故或，故或， 为等腰三角形或直角三角形，D选项错误. 故选：ACD 变式3．（24-25高一下·河南驻马店·月考·多选）在中，已知.则（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，因为，则角最大， 由余弦定理可得， 即角为锐角，所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，由A可得，则， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理可得，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，即，故D错误； 故选：AB 变式4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）在中，已知，为边上一点，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， 而，则，所以. （2）在中，由正弦定理，得， 所以. 变式5．（25-26高三上·江苏连云港·期末）在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）由正弦定理可知，而， 所以， 又因为，于是或； （2）当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 所以的周长为， 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 又因为， 所以此时不构成三角形， 综上所述：的周长为. 变式6．（25-26高三上·吉林长春·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)若，，求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由余弦定理，又，， 即，化简得， 解得或（舍去）. （2）因为，由正弦定理可得． 因为，所以，可得. 因为，，则，所以有两解（为锐角或钝角． 当为锐角时，． 所以. 再由正弦定理，可得. 由正弦定理，可得. 此时三角形周长为. 当为钝角时，． 所以. 由正弦定理，可得. 由正弦定理，可得， 此时三角形周长为. 综上所述，的周长为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $