5.2复数的四则运算课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§2 复数的四则运算 第五章 复数 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 复数的加法与减法 1 复数的加法法则 对任意两个复数和 ，我们规定：两个复数的和仍是一 个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚 部的和.也就是: . . . 6 2 复数的相反数 给定复数，若存在复数，使得，则称是 的相反数，记作 . 设的相反数是，则 ， 解得，，即 . 7 3 复数的减法法则 对任意的复数和非零复数 ，规定复数的减法： ，即减去一个复数，等于加上这个复数的相反数，也就是： . 由此可见,两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差， 两个复数的差的虚部是它们的虚部的差.#1.1 . . 8 特别提醒 1.两个复数的和或差仍是复数，但不一定是虚数,如 . 2.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式，则复数的加法、减法运算类似于多 项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了. 3.复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形,即各复数的实部分 别相加（减），虚部分别相加（减）. 4.若,则, . 5.，这一结论可以推广到 个复数的运算： . 6. .#1.2.5 9 4 复数加法的运算律 对任意,, ,有 （1）结合律： ； （2）交换律： . （加法运算律在实数集、复数集中均成立.） 10 典例详解 例1-1 已知是虚数单位，则复数 的虚部是( ) C A.1 B. C. D. 【解析】 . 故复数的虚部为 ． 例1-2 (2025·吉林省通化市期中)已知复数，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ． 11 例1-3 ［教材改编P183 T1］计算 . 【解析】 . 例1-4 (2025·安徽省淮北市期末)已知复数满足，则 的虚部是( ) B A.2 B. C. D. 【解析】设 ， 由，得，所以，即 ． 12 知识点2 复数加、减法的几何意义 1 复数加法的几何意义 图5-2-1 如图5-2-1,设, 分别 与向量， 对应.根据平面向量的坐标 运算，得 . 这说明两个向量， 的和就是与复数 对应的向量.因此，复数的加法可以按照向 量的加法来进行，这是复数加法的几何意义. 13 2 复数减法的几何意义 两个复数, 在复平面内对应的向量分别是 ,，那么这两个复数的差对应的向量是,即向量 . 图5-2-2 如果作,那么点对应的复数就是 （如图5-2-2所示）. 这说明两个向量与的差 就是与复数 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 14 典例详解 例2-5 ［教材改编P182例4］设向量,分别与复数, 对应， 计算,并在复平面内作出 对应的向量. 【解析】 . 在复平面内作出对应的向量 ,如图5-2-3所示. 图5-2-3 15 例2-6 (2025·湖北省黄石市期中)已知复数, 在复平面内对应的向量分别为 ，为坐标原点,则 对应的点在( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 由题知，，，故 在 复平面内对应的点 在第二象限． ,在复平面内对应的向量 ，故 在复平面内对应的点为 ，在第二象限． 16 知识点3 复数的乘法 1 复数的乘法法则 设和 是任意两个复数，我们定义复数的乘法如下： . 也就是说，两个复数的积仍然是一个复数.复数的乘法与多项式的乘法是类似的， 但在运算过程中，需要用 进行化简，然后把实部与虚部分别合并.因此多项式 的乘法公式在复数运算中仍适用,例如, , ， . . . 17 2 复数乘法的运算律 对任意,, ,有 （1）结合律： ； （2）交换律： ； （3）乘法对加法的分配律： . 对于复数，定义它的乘方 .根据乘法的运算律，实数范围内正整 数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对任意复数,,和正整数， ， 有，， . 18 特别提醒 实数集内乘法的一些重要结论在复数集内不一定成立. （1）当时，有;当时，.而，故和 未必相 等.例如，当时，,,此时 . （2）当,时，有;当, 时， 且,但, . 需注意：的充要条件是或 .这是因为 或 . 19 3 复数乘法中有关共轭复数的重要结论 （1）互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数） 模的平方.即若，则 .（利用此结论 在复数集中可以将分解为 ） （2） . . . 20 典例详解 例3-7 (2025·安徽省皖南八校期中)复数 在复平面内对应的点位于 ( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】，故复数 在复平面内对应的 点的坐标为 ，位于第一象限． 例3-8 复数的实部与虚部相等，则实数 ( ) B A. B.0 C.1 D.2 【解析】 ,又该复数实部与虚部相等, ，解得 ． 21 例3-9 [教材改编P183例6]计算 ． 【解析】 ． 22 例3-10 (2025·云南省云天化中学期中)复数的共轭复数为，且满足 ， 则 ( ) C A.2 B. C.5 D. 【解析】设，则 ， ， 所以有, ， 解得, ， 即, , 所以 . （【另解】 ） 23 知识点4 复数的除法 1 复数的倒数 给定复数，若存在复数，使得，则称是的倒数，记作 .设 和 ，则 ，所以 解得 所以的倒数（这里要求， 不能同时为0， 即 ）. 24 2 复数的除法法则 对任意的复数和非零复数 ，规定复数 的除法： ，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数.因此 . 在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母的共轭复数 ，化简 后得： .由此可见，在进行复数除法运算时，实际 上是将分母“实数化”.与分母“有理化”类似.#1.2 . . . . 25 特别提醒 1.复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的，因此,定义本身提供了求 两个复数的商的另外一种方法——待定系数法，即设 ， 则,由此依据复数相等的充要条件求出， 即可. ， .#1.4 26 典例详解 例4-11 ［教材改编P190 T11］设,则 ( ) C A.2 B. C. D.1 【解析】 ， 故 . . 27 例4-12 (2025·天津市塘沽一中期中)若复数，为虚数单位 是纯虚数，则 实数 的值为( ) A A. B. C.4 D.6 【解析】 因为为纯虚数，所以 解得 ． 由题意可设且 ， 则 ，（转化为乘法） 根据复数相等，得 解得 . 28 重难拓展 知识点5 的几何意义 1设复数, 在复平面内对应的点分别是 ,,则，即 表示复数 , 在复平面内对应的点之间的距离. 2 的几何意义的应用. （1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的 点为圆心， 为半径的圆. （2）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 , 的对应点, 为端点的线段的垂直平分线.#2.2 29 （3）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段. （4）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点,为端点的两条射线（以 为端 点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）. 说明POINT 该知识点常见于各类数学竞赛及强基计划，学有余力的同学可学习掌握.#3.1 30 典例详解 例5-13 设 为非零实数，则 （1）满足的复数 一定是纯虚数吗？ 【解析】满足的复数在复平面内对应的点组成的集合是以点 与点为端点的线段的垂直平分线，即复数 对应的点在虚轴上. 故这样的复数 可能是纯虚数也可能是零.（易忽略坐标原点也在虚轴上） （2）满足的复数 一定是实数吗？ 【解析】满足的复数在复平面内对应的点组成的集合是以点 与点 为端点的线段的垂直平分线， 即复数对应的点在实轴上，故复数 一定是实数. . . 31 知识点6 复数乘法几何意义初探 在复平面内，设复数所对应的向量为 . 若所对应的向量为，则是 与 的数乘，即 是将沿原方向伸长或压缩 倍得到的. 所对应的向量为，则是将逆时针旋转 得到的. 32 典例详解 例6-14 在复平面内有一个正方形，其顶点按逆时针方向依次为，，， 为坐标原点.已知点，求点 的坐标. 【解析】点对应的复数为，向量可由逆时针旋转得到，所以点 对应的复数为 ， 所以点的坐标为 . 33 题型解析 03 题型1 复数的四则运算 1 直接运算 例15 计算： （1） ; 【解析】 . （2） ； 【解析】原式 . 35 （3） . 【解析】， ,则原式 . 36 名师点评 在复数的乘方运算中,经常要计算的乘方, 的乘方有如下规律: ，,,， 一般地，对任意自然数 ，有 ,,, . 37 2 基于方程思想下的运算 例16（1）(2025·山东省聊城市期中)设复数满足，则 ( ) A A.1 B. C. D.2 【解析】由题意得 , 则,故 . （2）(2025·江苏省南通市期末)已知为虚数单位，则复数 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得 , 则 . 38 名师点评 复数常见运算小结论： . 39 解决复数四则运算问题的思路 （1）两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）. 复数的减法是复数的加法的逆运算.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有 实部相加（减），所有虚部相加（减）. （2）复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 ，并将实 部、虚部分别合并. （3）复数的除法一般先写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母 同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 40 【变式题】 1.(2025·江苏省南通市期中)已知是虚数单位，若，则 的 值是( ) B A. B. C. D.1 【解析】 ， ，， ． 41 2.［多选题］已知复数，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是 ( ) AB A. B.的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 42 【解析】 , ，A正确; ,的虚部为 ,B正确； ,C错误; , 在复平面内对应的点在第三象限，D错误. （【拓展】复数 具有如下性质： （1）,;（2） ; （3） ） 43 题型2 复数加、减法的几何意义的应用 例17 如图5-2-4所示，在复平面内，平行四边形的顶点,, 分别对应复数0, , .求： 图5-2-4 （1）向量 对应的复数； 【解析】因为，所以向量对应的复数为 . 44 （2）向量 对应的复数； 【解析】因为，所以向量 对应的复数为 . （3）向量 对应的复数. 【解析】因为,所以向量 对应的复数为 . 45 例18 设,,已知,,求 . 46 【解析】 设,，,,, , 由题设知,, . 又由,可得 . ， . , 将已知数值代入，可得 , . 47 在复平面内分别作出复数,对应的向量,， , , ,不共线（若,共线，则 或0）. 以，对应的线段为邻边作平行四边形（图略）,则由 可知四 边形 为菱形. 又, , 即四边形为正方形，故 . 名师点评 设,，,,,,则 ，该 结论应牢记,做题时可直接运用. 48 利用向量加、减法的几何意义解题的注意点 1.向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据. 2.利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三 个向量及其对应的复数. 3.注意向量对应的复数是 （终点对应的复数减去起点对应的复数）. 49 【变式题】 3.［多选题］非零复数,分别对应复平面内的向量， ，且 ,线段的中点对应的复数为 ,则( ) AD A. B. C. D. 图D 5-2-1 【解析】如图D 5-2-1，由向量的加法及减法法则可知， , . 由复数加法及减法的几何意义可知，对应 的模， 对应 的模. 又，所以四边形是矩形，则 . 又因为线段的中点对应的复数为,所以 ,所以 . 50 题型3 共轭复数问题 关于共轭复数的几个常用性质 （1）若，则 .利用此性质，在复数集 中可以将分解为 . （2） ;（利用此性质可证明一个复数为实数） 对于非零复数，是纯虚数 .（利用此性质可证明一个复数为纯虚数） （3）若,则, . , . . 51 例19（1）(2025·山东省青岛市期中)已知，其中 为虚数单位，则在复 平面内复数的共轭复数 所对应的点在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】，所以， 在复平面内所对应的点位于 第四象限. 52 （2）(2025·陕西省榆林市第一中学月考)若复数满足，其中 为虚数 单位，则 ( ) B A. B. C. D. 53 【解析】 设，则 . 故 ， 所以解得所以 . 设 , 由复数的性质可得 ， 则 ， 所以解得所以 . 由共轭复数的性质，将等式 ①两边都变形为其共轭复数， 则，即 ②，由①②构建方程组，消去 ，解得 . 54 求与共轭复数有关问题的策略 1.设,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化 为方程（组）求解. 2.结合题设，利用共轭复数的性质，对已知条件进行变形，简化运算. 55 【变式题】 4.(2022·全国甲卷)若，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】.（利用 可简化运 算） 56 题型4 复数运算在求模中的应用 1 求复数的模 例20 (2025·河南省濮阳市质检)已知复数满足为虚数单位 ， 则 ( ) C A. B. C.1 D. 57 【解析】 ，则 . ，则 . 58 母题 致经典·母题探究 例21 设复数满足，求 的最大值与最小值. 59 【解析】,（【明易错】与 是不一样的，一个结果为复数，一 个结果为实数） 1 （“1”的代换） 设,则 . ， , , 的最大值为3，最小值为0. . . . . 60 子题 已知复数满足，则 __. 思路一 思路二 61 【解析】 因为复数只需满足，所以不是唯一的，令 ，将其代 入所求式， 即 . 由得 ， 所以 ， 因为与为共轭复数，所以 ， 故 . 62 2 解含复数模的方程 例22 已知复数满足，求 . 63 【解析】 由条件得 ， 故的虚部为，于是设（ ）（不可省略）， 代入等式得 ， 即 ， 则 ， 解得或 ， 故或 . 当时， ; 当时， . . . 64 由条件得 ， 则 ， 解得或 . 当时，, ; 当时，， . 65 【变式题】 5.(2025·华中师大一附中期末)若复数满足，是虚数单位，则 ____． 【解析】由题知， ， 于是 . 66 6.若复数满足，求 . 【答案】（可看作实部），则 ， 化简得，解得 . 所以 . （【另解】直接设 ，代入计算即可） . . 67 题型5 复数范围内的解方程问题 1 解实系数一元二次方程 例23 [教材改编P190 T8]已知是方程 的一个根， 则 ___. 4 思路一 思路二 68 【解析】 把代入方程，得 ， 解得 . 由一个根是，可知另一个根是 ，则 . 69 教材深挖 对实系数一元二次方程在复数范围内根的分析 对于实系数一元二次方程,且,, ,其根的判别式 . 当时，方程有两个不同的实根 ; 当时，方程有两个相同的实根 ; 当时，方程有两个共轭的复数根 . 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，若复数 是实系数一 元二次方程的根，则复数 是该方程的另一根,即实系数一元二次方程的两根为 共轭复数. 70 2 解复系数一元二次方程 例24 在复数集内解方程 . 71 【解析】因为,, , 所以 . 设,则 解得或 所以的平方根为 , 所以 , 得, , 即原方程的根为, . 另解POINT 也可对等式左边进行因式分解,则,所以, . 72 复数范围内的解方程问题的一般思路 复数范围内解方程的一般思路是依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等 的充要条件求解. 对于实系数一元二次方程，也可以利用求根公式求解.此外，对于复系数一元二次方程， 根与系数的关系也是成立的.注意求方程中参数的取值时，不能盲目利用判别式求解. 73 【变式题】 7.(2025·广东省深圳市模拟)已知是关于的方程 的一个 根，则 的根为( ) D A. B. C. D. 【解析】是关于的方程的一个根，则也是关于 的方程 的一个根， 故解得 则，即，解得 ． 74 8.［教材改编P189 T7］在复数范围内分解因式： _ ______________________． 【解析】 . 75 考情揭秘 高考比较注重对复数四则运算的考查，主要通过运算来体现对复数的相关概念及几 何意义的考查，在进行除法运算时容易出现计算错误，应引起重视.试题一般出现在 第二题的位置,为容易题. 核心素养：数学运算（复数的四则运算、模的求解等）. 76 考向1 复数的四则运算 例25（1）(2025· 全国一卷) 的虚部为( ) C A. B.0 C.1 D.6 【解析】 ，其虚部为1. （2）(2025· 全国二卷)已知，则 ( ) A A. B. C. D.1 【解析】 . 77 （3）(2024· 新课标Ⅰ卷)若,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 （解方程法） 因为，所以 ， 即，即 ， 所以 . （取倒数法） 因为，所以 ， 即 ， 即 ， 所以 . 78 考向2 与共轭复数有关的四则运算 例26（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( ) A A. B. C.10 D.2 【解析】因为，所以，所以 .（【另解】 ,即 ） （2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知，则 ( ) A A. B. C.0 D.1 【解析】因为，所以，所以 . 79 （3）(2023·全国乙卷)设,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】，所以 . 80 考向3 复数模的求解 例27（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____. 【解析】 . （2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( ) B A. B. C.4 D.8 【解析】 由可得， ，所以 . ，则 ，根据复数模 的性质，得 . 81 （3）(2023·全国乙卷) ( ) C A.1 B.2 C. D.5 【解析】 . 82 命题 探源 本题源自教材第190页第11题，都是先进行复数的运算，再利用模的公式求 解，突出高考源于教材、回归教材的本质. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 通过模的公式求解. 变式探源 (2022·全国甲卷)若,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为，所以 ， 所以 . 83 考向4 复数的几何意义 例28 (2023· 新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对 应的点为 ，位于第一象限. 84 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·陕西省安康市期末)已知复数， ， 则( ) ABD A. B. 的最小值为1 C.当时，的实部大于0 D.当时， 85 【解析】因为，所以，故 ，所以 ，故A正确； ， 所以 ， 当时， 取最小值1，故B正确； ，当时， 的实部小于0，故C错误； 当时， ，故D正确. 故选 . 86 2.［多选题］(2025·江苏省南京市期末)已知，是复数，是 的共轭复数，下列 说法正确的是( ) BCD A.若，则 B.若，则或 C.若是纯虚数，则 D.若，则 87 【解析】对于选项A，假设，，此时 ，但 ，A错误. 对于选项B，设, ，所以 . 所以若,则,所以或 ,所 以或 ； 若，将代入②中得 ， 由得，则，此时 .综上，B正确. 对于选项C，若是纯虚数，设, ， 此时 ，C正确. 对于选项D，设，所以，D正确.故选 . 88 知识测评 04 建议时间：20分钟 1.复数 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ． 2. ( ) C A. B.1 C. D. 【解析】由题意知， . 90 3.(2025·广东省广州市期中)设，，其中 是虚数单位， 若复数是纯虚数，则 的值为( ) D A.1 B. C.0 D. 【解析】 复数 是纯虚数， ，, ． 91 4.(全国Ⅰ卷)若,则 ( ) D A.0 B.1 C. D.2 【解析】 因为 ，所以 ． 因为，所以 . 92 5.若复数满足，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 , , .故选C. 6.(2025·河北省张家口市期中)已知是实数,是实数，则 的值为( ) A A. B. C.0 D. 【解析】是实数， ,即 .故选A. 93 7.［多选题］(2025·陕西省榆林市期末)对于两个复数, ，下 列结论正确的是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】 ，A正确； ，B正确； ，即 ，C错误； ，D正确. 故选. 94 8.(2025·四川省资中县月考)若,为实数，为虚数单位，则 ___. 3 【解析】 由已知得， ,由复数相等 的定义知， . 由,得解得 所以 . 95 高考模拟 05 建议时间：20分钟 9.若复数满足方程，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】依题意， ， 所以 . 97 10.已知复数，那么 ( ) D A. B. C. D. 【解析】复数 ， ， ， ． 98 11.已知，，是的共轭复数，且，则 ( ) D A.2 B. C. D. 【解析】由 ，得 ， ， , ,又,则，又 , 则，，,，即 ， （上下同除以），解得或 （舍去）. . . . . 99 12.[多选题](2025·河北省邯郸市期末)已知复数， ，则下列说法 正确的是( ) CD A. B.复数 对应的点位于复平面第四象限 C. D.若复数满足，则的最大值是 100 【解析】对于A，, ，故A错误； 对于B， ，其对应的点位于复平面第三象限， 故B错误； 对于C，因为 ，所以 ，故C正确； 对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点 为 圆心，半径为5的圆，而可理解为点到圆 上的点 的距离，（复数模的几何意义） 101 图D 5-2-1 如图D 5-2-1所示，当且仅当圆上的点在 处（三点共线）时， 距离最大，为 ， 故D正确.故选 . 102 13.[教材改编P190 T8](2025·辽宁省辽阳市期末)已知是关于 的方程 在复数范围内的一个根，则实数 ____. 【解析】因为是方程的一个根，所以 是方程 的另一个根，则由根与系数的关系得 ，解得 . 103 14.(2025·四川省成都市期末)已知复数， . （1）若是纯虚数，求 的值； 【答案】依题意， ，则 ， 由是纯虚数，得解得，所以 . （2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中 是原点，且 ，求 . 【答案】依题意，，， ， 由，整理得 解得或，所以或 . 104 15.[多选题]已知集合，，其中 为虚数单位，则下列元素属于 集合 的是( ) BC A. B. C. D. 105 【解析】根据题意,在, }中, 当时, ; 当时, ; 当时, ; 当时, . 所以,1,, }. 选项A中, ; 选项B中, ; 选项C中, ; 选项D中,.故选 . 106 谢谢观看 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 107 $