专题12：一元二次方程-2026年中考数学专项

专题12：一元二次方程-2026年中考数学专项 一、单选题 1．方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．不解方程，判断关于y的一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．某快递公司2023年“双十一”与2025年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件．设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 6．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 7．若关于x的方程有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（   ） A．c B． C． D． 8．我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点P，使得为直角三角形，则点P的坐标可以为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 二、填空题 9．若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 10．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 11．若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________． 12．若一元二次方程的两根为则这个方程可以是___________(写出一个即可)． 13．方程组的有理数解的个数为__________． 14．阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，． 创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 15．关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是__________． 16．如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为________． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 18．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 19．2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 20．如图是一个运算框架图，，，表示某一实数，运算过程是，，． (1)若表示的数为，列出方程并解该方程； (2)若表示的数为，请说明该方程根的情况． 21．如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 22．阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 23．综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题12：一元二次方程-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B C D D C D 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，逐个判断每个方程是否符合即可． 【详解】解：1．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 2．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 3．对于方程 ∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 4．对于方程 ∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1 ∴不是一元二次方程． 综上，是一元二次方程的有3个． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值来判断方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，． ∴． ∵ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．B 【分析】根据一元二次方程的两根之和为，两根之积为，即可得到结果. 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且方程中，，， ∴，. 4．C 【分析】本题的等量关系为：最终年份投递件数 = 初始年份投递件数年平均增长率的增长次数次方，2023年到2025年共增长2次，据此列方程即可． 【详解】解：设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，根据题意，得 ． 5．D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 6．D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 7．C 【分析】先将原分式方程整理为一元二次方程，根据题意两根互为相反数，两根之和为0，因此一元二次方程的一次项系数为0，据此求解m即可． 【详解】解：去分母得 ， 整理为一元二次方程标准形式：， ∵ 方程有两个绝对值相同，符号相反的根，即两根互为相反数， ∴ 两根之和为0，且二次项系数不为0， ∵ 一元二次方程两根和为 ，且， ∴ ， 展开得 ， 提取公因式得 ， ∴ ． 8．D 【分析】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．由题意可知，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，或， ∴设，则，， ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∵， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴． 综上，或或． 故选：D． 9．2 【分析】根据一元二次方程的定义得到，再利用方程的解的定义，将代入已知方程，列出关于的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件确定的值； 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得： ， 即， 因式分解得， 解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得， ∴的值为2． 10．2024 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系求出的值，最后将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：因为是方程的实数根，所以将代入方程得： ， 移项得， 又因为，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， ． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当一元二次方程有两个不等实根时，其判别式大于0，据此构建关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一元二次方程，其根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根． 在方程中，，，，代入得． 因为方程有两个不等实根，所以，即． 解得． 故答案为：． 12．(答案不唯一) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握“若一元二次方程的两根为、，则该方程可表示为”．先根据两根写出因式形式的方程，再取为任意非零常数(如)，展开整理即可得到满足条件的方程． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴设该方程为， 取，则方程为， 展开整理得：； 故答案为：(答案不唯一)． 13．2 【分析】题目主要考查解三元方程组，分两种情况分析：当时，当时，分别求出有理数解即可得出结果，关键是对分析时，化简注意解的情况． 【详解】解：当时，方程组为：， 解得：或； 当时， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 将②代入整理得：③， 由①得：， 代入③整理得：， 当时， 整理得：， ∴方程无有理数根， ∴即， ∴由①得：， ∴由②得：（不符合题意，舍去）， ∴方程组有两组有理数解：或， 故答案为：2． 14． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，根据题意可将看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到和的值，再将用含的式子表示，代入代数式转化为含和的形式，进而代入计算即可求解，将看作方程的根并进行代数式的转化是解题关键． 【详解】解：∵是两个不相等的实数，且满足，， ∴可将看作一元二次方程的两个实数根根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴原式 ． ∴代数式． 故答案为：． 15．， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．由原方程根与系数的关系求出的值，再代入新方程求解即可． 【详解】解：原方程的根为，， 展开得， 由根与系数的关系，根之和为， 又根之和为，所以，解得． 新方程为， 代入得． 令，则方程化为， 由原方程知且， 所以或， 即或， 解得或． 故答案为：， 16． 【分析】本题考查正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，添加辅助线是解答的关键． 设，先利用正方形的性质和直角三角形的性质求得，则，过N作于P，过M作于Q，利用等腰三角形的性质和勾股定理分别求得，，证明是等腰直角三角形，设，则，，利用等面积法列方程求得，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， 在正方形中，，， 在中，，， ∵为的中点，， ∴，则， 由勾股定理得， 解得（负值舍去），则， 过N作于P，过M作于Q，如图， 则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴， 在中，， 由勾股定理得， 故答案为：． 17．(1)， (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将方程化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解 ； （2）采用公式法求解一元二次方程 ，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或 解得，． （2）解： ∵，， ∴ ∴ 解得，． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ∵方程有两个不等实数根 即， ； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴ ， ， ． 19．过道的宽应该设计米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得， 解得：（舍去） 答：过道的宽应该设计米． 20．(1)，； (2)该方程有两个不相等的实数根． 【分析】（1）根据题目给出的、、这三个运算关系，推导出核心等量关系．将代入，得到关于的一元二次方程，求解该方程得出方程的根． （2）把代入等量关系，得到一元二次方程的一般形式，计算该方程根的判别式的值，依据一元二次方程根的判别式的判定规则，确定方程根的情况． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵， ∴， 化简得到方程：， 解得，． （2）解：∵， ∴， 展开整理：， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 21．(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 22．(1)②③ (2)①方程②的根为，  ；方程③的根为 ；② (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，理解“和差”二次方程的定义是解此题的关键． （1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可； （2）①利用公式法和因式分解法求解即可； ②设方程的另一根是，利用韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程； ②中，是“和差”的二次方程； ③中，是“和差”的二次方程； ④中，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； （2）解：①解方程， ， ， ， ； 解方程， ， ； ②设方程的另一根是， 由韦达定理可得，． ， ， 即， 解得：； （3）解：∴      或   ． 理由：是“和差”二次方程的两个根， ， 又， ， ， ， ， 或， 或． 23．（1）， （2）符合要求，理由见详解 （3）每平方米草莓的月利润应该下调48元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）根据图示，结合题意列式即可； （2）根据面积的计算，结合（1）列式求解即可； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米； （2）符合要求，理由如下， ， 整理得，， 解得，，， ∵道路宽度不超过14米，且不小于7米， ∴，即道路设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元， ∴， 整理得，， 解得，，， ∵让客户得到实惠， ∴每平方米草莓的月利润应该下调48元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $