4.2.3.2 超几何分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.3.2 超几何分布 问题:已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X,这两种方式中随机变量X服从二项分布吗? 1.有放回抽样 2.不放回抽样 每次抽到次品的概率为 0.08,且各次抽样的结果相互独立, 此时 X 服从二项分布,即 X~B(4,0.08). 每次抽取不是同一个试验,而且各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布. 探究:已知100件产品中有8件次品,采用不放回的方式随机抽取4件时. 抽取的4件产品中次品数X的分布列. 由题意可知,可能的取值为0,1,2,3,4. 从100件产品中任选4件,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的. 2 3 4 其中4件产品中恰有件次品的结果数为. 由古典概型的知识,得的分布列为 计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示. 可以根据古典概型求的分布列 超几何分布 一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件 (n≤N) ,则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,且 产品共有N件 抽取的n件 M件甲类 N-M件乙类 取k件甲类 取n-k件乙类 一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件 (n≤N) ,则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,且 则X称为服从参数N,n,M的超几何分布,记作 (其中 ) X~H(N,n,M). 二项分布、超几何分布有什么区别和联系? 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体容量 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 (当总体容量很大时) 超几何分布可近似看做二项分布 例1 下列问题中,哪些属于超几何分布问题,说明理由. (1)抛掷三枚骰子,所得向上的数是6的骰子的个数记为X,求X的分布列; (2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽实验,把实验中发芽的种子的个数记为X,求X的分布列; (3)盒子中有红球3个,黄球4个,蓝球5个,任取3个球,把不是红色的球的个数记为X,求X的分布列; (4)某班级有男生25人,女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生人数记为X,求X的分布列; (5)现有100台平板电脑未经检测,抽取10台送检,把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X,求X的分布列. (1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题 (3)(4)符合超几何分布的特征,是超几何分布 (5)没有给出不合格产品数,无法计算X的分布列,所以不属于超几何分布问题 (1)总体是否可分为两类明确的对象. (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 归纳总结 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点: 例2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X表示其中的男生人数.求X的分布列 . 解:依题意随机变量X服从超几何分布,∴P(X=k)=(k=0,1,2,3,4). ∴P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==,P(X=4)==, ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 变式:某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出5人参加数学竞赛考试,用X表示其中的男生人数.求X的分布列 . 解:由题意得P(X=k)=(k=1,2,3,4,5), ∴P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, P(X=4)==,P(X=5)==. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 归纳总结 (1)辨模型:结合实际情景分析所求分布列的问题是否具有明显的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等,或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型. (2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=求解,也可以利用排列组合 及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义. (3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来. 超几何分布的求解步骤: 例3 在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,那么以为概率的事件是( ) A.都不是一等品 B.恰有1件一等品 C.至少有1件一等品 D.至多有1件一等品 解析:设抽取的2个产品中一等品数为,则服从超几何分布X~H(5,2,3). 的分布列为 A:都不是一等品的概率为 B:恰有1件一等品的概率为 C:至少有1件一等品的概率为 D:至多有1件一等品的概率为 根据本节课所学回答下列问题: 1.超几何分布X~H(N,n,M)中各参数表示什么意义? 2.求超几何分布列的步骤是什么? 3.二项分布和超几何分布有什么区别和联系? 1. (多选)下列随机变量中,服从超几何分布的有( ) A.在10件产品中有3件次品,依次不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台,记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X ABD 2.今有电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为( ) A. B. C.1- D. C 3.某校为全体高中学生开设了15门校本课程,其中人文社科类6门,科学技术类6门,体育美育类3门.学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程.从全校高中学生中随机抽取一名学生,设该学生选择的人文社 科类校本课程为X门,则下列概率中等于的是( ) A.P(X≤3) B.P(X=3) C.P(X≤5) D.P(X=5) 4.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是( ) A. B. C. D. D C $