9.2.3.2 向量数量积的运算律课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2.3.2 向量数量积的运算律 我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb.根据向量数量积的定义，向量数量积的运算满足哪些运算律？ 探究1 利用向量数量积的定义，试证明： (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b. 当a，b有一个为零向量时，(1)(2)显然成立； 当a，b均不为零向量时， 设向量a与b的夹角为θ， 由于a·b＝|a||b|cos θ，b·a＝|b||a|cos θ，∴a·b＝b·a. 当λ＝0时，(2)显然成立. 当λ>0时，λa与b的夹角为θ，a与λb的夹角为θ， 则有(λa)·b＝|λa||b|cos θ＝λ|a||b|cos θ，a·(λb)＝|a||λb|cos θ＝λ|a||b|cos θ， ∴(2)成立. 当λ<0时，λa与b的夹角为π－θ，a与λb的夹角为π－θ， 则有(λa)·b＝|λa||b|cos(π－θ)＝－λ|a||b|cos(π－θ)＝λ|a||b|cos θ， a·(λb)＝|a||λb|cos(π－θ)＝－λ|a||b|cos(π－θ)＝λ|a||b|cos θ， ∴(2)成立. 综上所述，(1)(2)恒成立. 探究2 利用投影的概念，试证明(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 设AA1⊥OC于A1，BB1⊥OC于点B1， 即(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 对点O，A1，B1，C的其他排列顺序，上式仍成立. 当点O，A1，B1，C按从左到右的顺序排列时(如图)，有 讨论：下列结论是否正确，并说明理由. (1)(a·b)c＝a(b·c)； (2)若a·c＝b·c，则a＝b. (1)左边表示与c共线的向量，右边表示与a共线的向量，当a与c不共线时，显然不成立，故(1)不正确. (2)由a·c＝b·c，得(a－b)·c＝0， ∴a－b＝0(即a＝b)或c＝0或(a－b)⊥c， ∴(2)不正确. 向量数量积满足的运算律： (1) ； (2)( 为实数)； (3) . 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝______________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝_________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a a2＋2a·b＋b2 a2－b2 ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|＜|a－b|成立 例1 (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是( ) A. a·c－b·c＝(a－b)·c B. (b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D. (3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2 ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直. ACD 例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|. 解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 将|a|＝4，|b|＝3代入上式，得a·b＝－6， 所以 cos θ＝ ＝ ＝－ . 又0≤θ≤π，所以θ＝ . 例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (2)求|a＋b|. (2) 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13， 所以|a＋b|＝ . 求向量a，b的夹角θ的思路 归纳总结 例3 已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2.求证：(a＋b)⊥(a－b). 证：∵a＋b＝3e1－2e2＋2e1－3e2＝5e1－5e2， a－b＝3e1－2e2－(2e1－3e2)＝e1＋e2， ∴(a＋b)·(a－b)＝ ＝0，∴(a＋b)⊥(a－b). 根据本节课内容，回答下列问题： 1.向量数量积远算律有哪些？ 2.说说求向量a，b的夹角θ的步骤. 1.已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( 　 ) A. 4 B. 3 C.2 D.0 2.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且｜a－b｜＝2，则a·b＝(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 B C 3.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则在下列向量中，与向量a－b的夹角为锐角的向量有(　 　) A.－a B.a＋b C.a＋2b D.b－2a 4.已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，则向量a与b的夹角等于________. BC 60° (a＋b)·c＝·c＝|||c|＝(||＋||)|c|＝|||c|＋|||c|＝·c＋·c＝a·c＋b·c， 任取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b. 则向量a，b，a＋b在向量c上的投影向量分别为，和. $