1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

§3 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第一章 数 列 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课程标准 素养解读 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．在运用等比数列前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016——2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． [知识梳理] [知识点一]　等比数列的前n项和公式　 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1\f(a11－qn,1－q))) q≠1且q≠0 Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，\f(a1－anq,1－q)，q≠1且q≠0)) 1.类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn? [提示]　可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数． [知识点二]　错位相减法　 对首项为a1，公比为q(q≠0)的等比数列{an}， 设Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①， 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②， ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q) . 又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成Sn＝eq \f(a1－anq,1－q) . 当q＝1时，Sn＝na1. 2.等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？ [提示]　根据等比数列的定义，有：eq \f(a2,a1)＝eq \f(a3,a2)＝eq \f(a4,a3)＝…＝eq \f(an,an－1)＝q，再由合比定理， 则得eq \f(a2＋a3＋a4＋…＋an,a1＋a2＋a3＋…＋an－1)＝q，即eq \f(Sn－a1,Sn－an)＝q，进而可求Sn. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)来求．(　　) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　　　　　　 B．－4 C．2 D．－2 解析：A　[由S5＝eq \f(a1[1－－25],1－－2)＝44，得a1＝4.] 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝eq \f(a11－q7,1－q) ＝eq \f(a11－27,1－2) ＝381，解得a1＝3.所以塔的顶层共有灯3盏．] 4．已知数列{an}为等比数列，且前n项和为Sn，S3＝3，S6＝27，则公比q＝　________　. 解析：q3＝eq \f(S6－S3,S3)＝eq \f(27－3,3)＝8，所以q＝2. 答案：2 利用等比数列前n项和公式计算基本量 [例1]　在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. [解]　(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30，,a11＋q＋q2＝155，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).)) 从而Sn＝eq \f(1,4)×5n＋1－eq \f(5,4)或Sn＝eq \f(1 080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)) ,11). (2)法一：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))从而S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(31,2). 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝eq \f(1,8)，从而q＝eq \f(1,2). 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(31,2). (3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝126，所以q为2或eq \f(1,2). 1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． [变式训练] 1．在等比数列{an}中． (1)若a1＝eq \r(2)，an＝16eq \r(2)，Sn＝11eq \r(2)，求n和q； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 解：(1)由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，得11eq \r(2)＝eq \f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2， 又由an＝a1qn－1，得16eq \r(2)＝eq \r(2)(－2)n－1，∴n＝5. (2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1， ∴S4＝eq \f(a11－q4,1－q)＝1，S8＝eq \f(a11－q8,1－q)＝17， 两式相除得eq \f(1－q8,1－q4)＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝eq \f(1,15)或a1＝－eq \f(1,5)， ∴an＝eq \f(1,15)×2n－1或an＝－eq \f(1,5)×(－2)n－1. 等比数列前n项和的性质 [例2]　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28　　　　　 B．32 C．21 D．28或－21 [解析]　∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，∴S4＝28. 答案：A (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝　________　 [解析]　设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则eq \f(S1,S2)＝q＝3，即S1＝3S2. 又S1＋S2＝S80＝32，∴eq \f(4,3)S1＝32，解得S1＝24，即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24. [答案]　24 1．等比数列前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N＋)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)⇔数列{an}为等比数列． 2．结合等比数列前n项和的性质解题 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和性质是基础． (2)运用方程思想、整体化思想是解题的关键． [变式训练] 2．(1)已知等比数列{an}的公比q＝－eq \f(1,3)，则eq \f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)等于(　　) A．－3 B．－eq \f(1,3) C．3 D.eq \f(1,3) 解析：A　[∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，∴eq \f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)＝eq \f(1,q)＝－3.] (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝3，则eq \f(S9,S6)＝(　　) A．2 B.eq \f(7,3) C.eq \f(8,3) D．3 解析：B　[由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴eq \f(S9,S6)＝eq \f(7,3).] (3)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式． 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(1,3). 又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq \o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1. 等比数列前n项和公式的实际应用 [例3]　某商场2022年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从2022年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？(lg 1.6≈0.2，lg 1.1≈0.04) [思路点拨]　将问题转化为首项为5 000、公比为1.1的等比数列前n项和问题． [解]　根据题意，每年比上一年销售量增加10%，所以，从2022年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000. 由等比数列前n项和公式得eq \f(5 0001－1.1n,1－1.1)＝30 000， 整理得1.1n＝1.6，两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6， 所以n＝eq \f(lg 1.6,lg 1.1)≈eq \f(0.2,0.04)＝5(年)．故大约5年可使总销售量达到30 000台． 解答数列应用题的步骤 对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路理清晰后再着手解题．要注意： (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型． (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释． (3)实际问题解答完成后一定要有结论. [变式训练] 3．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数R0.它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫)，一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：R0＝1＋确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间(单位：天)．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为(　　) A．30　　　　B．62 C．64 D．126 解析：D　[由题意得：R0＝1＋25%×4＝2，所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为： 2＋22＋23＋24＋25＋26＝eq \f(21－26,1－2) ＝126.] [当堂达标] 1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A.eq \f(1－xn,1－x) B.eq \f(1－xn－1,1－x) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1)) 解析：C　[当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝eq \f(1－xn,1－x).] 2．(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，eq \f(3,2)a4,2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则(　　) A．an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5 B．an＝2n＋1 C．Sn＝32－eq \f(1,2n－5) D．Sn＝2n＋4－16 解析：AC　[由a3，eq \f(3,2)a4,2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5.设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝eq \f(1,2)或q＝1(舍去)， 所以S5＝eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝31，解得a1＝16.所以数列{an}的通项公式为an＝16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5，Sn＝eq \f(16\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝32－eq \f(1,2n－5)，故选AC.] 3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于　________　. 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得eq \f(21－2n,1－2)≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N＋，所以n≥6. 答案：6 4．设等比数列{an}前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an，Sn. 解：设等比数列{an}的公比为q，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝3.)) 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1， Sn＝eq \f(31－2n,1－2) ＝3(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1， Sn＝eq \f(21－3n,1－3) ＝3n－1. $