专题10菱形同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题10菱形同步讲义 【9大题型+4大知识点】 【题型01 利用菱形的性质求角度】...................................3 【题型02 利用菱形的性质求线段长】.................................5 【题型03 利用菱形的性质求面积】...................................8 【题型04 利用菱形的性质证明】....................................12 【题型05 添条件使四边形是菱形】..................................14 【题型06 证明四边形是菱形】......................................19 【题型07 根据菱形的性质与判定求角度】............................22 【题型08 根据菱形的性质与判定求线段长】..........................24 【题型09 根据菱形的性质与判定求面积】............................27 【解答题5题】....................................................30 ★知识梳理★ 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言： 在平行四边形ABCD中，若AB=AD，则四边形ABCD是菱形。 核心要点： 菱形是特殊的平行四边形，判定时需先满足 “平行四边形”，再满足 “一组邻边相等”。 知识点02:菱形的性质（已知是菱形 ⇒ 结论） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（满足条件 ⇒ 是菱形） 判定 方法 文字语言 几何语言 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:核心考点与易错点 核心考点： 1.利用菱形 “四边相等、对角线垂直平分、平分对角” 的性质求线段长度、角度、面积。 2.结合判定定理证明四边形是菱形。 3.菱形性质与判定的综合应用（中考压轴题常考）。 易错点： 1.混淆菱形与矩形的性质（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。 2.判定时忽略前提：“对角线互相垂直的四边形”不一定是菱形，必须是 “平行四边形 + 对角线垂直” 或 “对角线垂直平分”。 3.面积公式误用：S=d1d2仅适用于对角线互相垂直的四边形，不可随意推广。 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，菱形中，连接，若，则的度数为_______． 【答案】/55度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，与交于点，点为的中点，连接，若，则的度数为_____°． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据菱形可得，即可得到，再由直角三角形斜边中线得到，由等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，与交于点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由菱形的性质得，可得，由作图过程可知，所作直线为线段的垂直平分线，可得，则，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． 由作图过程可知，所作为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【题型2.利用菱形的性质求线段长】 【典例】如图，四边形是菱形，，，于点E，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求出的长，再根据菱形面积计算公式可得，据此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图在坐标系中，四边形为菱形，顶点A、B在x轴上，，点C在y轴上，点D在第二象限，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，坐标与图形等知识点， 根据菱形的性质可得，由勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴ ∴， ∴点D的坐标为． 故选C． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】添加辅助线：取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，， ， ， 如图，取中点，连接，. 点为的中点，点为的中点， 是三角形的中位线， ，， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理求出的长，证明是等边三角形，得到，进而求出菱形的周长即可． 【详解】解：、F分别是、的中点，． ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长为． 【题型3.利用菱形的性质求面积】 【典例】如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理，可得，然后根据菱形的面积为即可求解． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为， 【跟踪专练1】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式．菱形面积（a、b是两条对角线的长度），由此即可计算． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的面积， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________． 【答案】35 【分析】此题主要考查矩形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，运用矩形的性质和菱形的性质表示出线段之间的关系是解决问题的关键． 先把三个矩形的顶点都标记出来，根据小矩形的长与宽之比为，可设小矩形的长为，宽为，由此得，，，，，进而得图中阴影部分的周长为，由此得，解得．再根据，得是等腰直角三角形，则，从而得也是等腰直角三角形，则，进而得，据此即可得出菱形的面积． 【详解】解：如图所示，设小矩形的宽为， ∵小矩形的长与宽之比为， ∴小矩形的长为， 由题意可知，三个矩形全等， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵图中阴影部分的周长为22， ∴， 解得，， ∴，，，， 在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：35． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据证明得，由勾股定理得，最后由菱形的性质可求面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∴, ∴； ∴菱形的面积， 故选：A． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】12 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、相交于点O， ∴，，，故A、C、D选项不符合题意． 只有当菱形中，时，，故B选项符合题意． 故选B． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，则的长度为__________；过点A作于点E，过点A作于点F，连接，则的长度为__________． 【答案】 5 【分析】由菱形的性质得出，，，，，由勾股定理求出，由面积法求出，证明得出垂直平分，然后根据求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出，可得，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选D． 【题型5.添条件使四边形是菱形】 【典例】如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 【跟踪专练1】如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴不能判定为矩形． 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【答案】或或或或或或（只需写出一个条件即可） 【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，通过添加条件证得，由一组对边相互平行且相等，从而证得四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 同理，添加或，则，即四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，． 在和中， ． ． ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 【跟踪专练3】如图，是的中线，增加下列条件，能判断是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键． 根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加， ， ， 故选项A不能判定四边形是菱形； 添加， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，选项B错误； 添加，可得到， ∴， ∴四边形是矩形，选项C错误； 添加时， ∵是的中线， ∴， ∴四边形是菱形，选项D正确； 故选：D． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件______（只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：添加条件为：． 如图：、分别是，的中点，， 则， 故四边形是平行四边形； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，为等腰三角形．如果把它沿底边翻折后，得到，那么四边形为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握四边相等的四边形是菱形． 根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠可得，，进而得到，根据四边相等的四边形是菱形可得到答案． 【详解】解：∵等腰沿底边翻折得到， ，， ， ， ∴四边形为菱形． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由题意得，即可得出结论． 【详解】解：由作图得：， ∴四边形是菱形，依据是四条边相等的四边形是菱形． 【跟踪专练3】如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形的对角线，相交于O，且互相平分， 四边形是平行四边形． A、是平行四边形的性质，不能判定四边形为菱形，故A不符合题意； B、四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形为菱形，故B符合题意； C、四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形，故C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ． ， ． 四边形是矩形． 不能判定四边形为菱形，故D不符合题意． 【题型7.根据菱形的性质与判定求角度】 【典例】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则______ 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判断与性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【跟踪专练1】如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 【详解】解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（    ） A．60°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．75°或15° 【答案】D 【分析】根据翻折的性质和菱形的性质可得答案． 【详解】解：为了得到一个锐角为的菱形， 菱形的内角度数为或， 根据菱形的对角线平分每一组对角得，或， 故选：D． 【点睛】本题考查了剪纸问题，翻折的性质，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分每一组对角． 【跟踪专练3】如图，在菱形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AE、DE．若对角线AC＝AB，则∠DEA＝______度． 【答案】30 【分析】根据菱形的判定与性质和等边三角形的性质得到四边形ACED是菱形，进而求解即可． 【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，AC=AB， ∴AD=CD=AB=AC， ∵△DCE是等边三角形， ∴DE=CD=CE，∠CED=60°， ∴AD=AC=CE=DE， ∴四边形ACED是菱形， ∴∠DEA=∠CED=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 【题型8.根据菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若，则四边形的周长为__________． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，在中，，取边上任意一点D（不与点A重合），连结，作，与交于点F，则下列结论中正确的是（    ） ①当点D位置变化时，F始终为中点； ②当D为中点时， 平分； ③当时，四边形为矩形； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边的中线，菱形的判定与性质．根据平行四边形的性质可判断①；根据菱形的判定与性质可判断②；根据矩形的判定方法可判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴F始终为中点，故①正确； 当D为中点时，则， ∴四边形是菱形， ∴平分，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形为矩形，故③正确． 故选：D． 【跟踪专练2】已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据题意推出四边形是菱形，由勾股定理即可求得的长，继而求得菱形的周长． 【详解】解：如图，、交于点， 平行四边形中，， ，四边形是菱形， ， 菱形的周长， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，，则的长是（   ） A．3 B．2.5 C．2.4 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理， 首先得到，证明出是菱形，然后证明出是的中位线，进而求解即可． 【详解】在中，对角线相交于点 ∴， ∴ ∴ ∴是菱形 ∴ ∵点是的中点，点是的中点 是的中位线 ． 故选：B． 【题型9.根据菱形的性质与判定求面积】 【典例】如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O，    ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【跟踪专练1】如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 【解答题】 1．如下图，在菱形ABCD中，，对角线．求菱形ABCD的面积．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 如图，连接交于点，通过菱形的性质可得到是等边三角形，结合勾股定理可得到，，最后通过菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． 【详解】解：如图，连接交于点． ∵在菱形中，， ，，， 是等边三角形， ， ，， ， ∴菱形的面积．    2．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟知菱形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）可先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形的性质证明，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 5．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，正确理解作图是解题的关键． （1）根据四边形相等的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱得到，由平行得到，再由邻补角即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：由作图可得， ∴四边形是菱形， （2）解：四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10菱形同步讲义 【9大题型+4大知识点】 【题型01 利用菱形的性质求角度】...................................3 【题型02 利用菱形的性质求线段长】.................................4 【题型03 利用菱形的性质求面积】...................................5 【题型04 利用菱形的性质证明】.....................................6 【题型05 添条件使四边形是菱形】...................................6 【题型06 证明四边形是菱形】.......................................7 【题型07 根据菱形的性质与判定求角度】.............................8 【题型08 根据菱形的性质与判定求线段长】...........................9 【题型09 根据菱形的性质与判定求面积】............................10 【解答题5题】....................................................11 ★知识梳理★ 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言： 在平行四边形ABCD中，若AB=AD，则四边形ABCD是菱形。 核心要点： 菱形是特殊的平行四边形，判定时需先满足 “平行四边形”，再满足 “一组邻边相等”。 知识点02:菱形的性质（已知是菱形 ⇒ 结论） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（满足条件 ⇒ 是菱形） 判定 方法 文字语言 几何语言 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:核心考点与易错点 核心考点： 1.利用菱形 “四边相等、对角线垂直平分、平分对角” 的性质求线段长度、角度、面积。 2.结合判定定理证明四边形是菱形。 3.菱形性质与判定的综合应用（中考压轴题常考）。 易错点： 1.混淆菱形与矩形的性质（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。 2.判定时忽略前提：“对角线互相垂直的四边形”不一定是菱形，必须是 “平行四边形 + 对角线垂直” 或 “对角线垂直平分”。 3.面积公式误用：S=d1d2仅适用于对角线互相垂直的四边形，不可随意推广。 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，菱形中，连接，若，则的度数为_______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，与交于点，点为的中点，连接，若，则的度数为_____°． 【跟踪专练3】如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2.利用菱形的性质求线段长】 【典例】如图，四边形是菱形，，，于点E，则______． 【跟踪专练1】如图在坐标系中，四边形为菱形，顶点A、B在x轴上，，点C在y轴上，点D在第二象限，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点G为的中点，连接，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【题型3.利用菱形的性质求面积】 【典例】如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 【跟踪专练1】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】如图，在菱形中，，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，则的长度为__________；过点A作于点E，过点A作于点F，连接，则的长度为__________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【题型5.添条件使四边形是菱形】 【典例】如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【跟踪专练1】如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【跟踪专练3】如图，是的中线，增加下列条件，能判断是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件______（只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 【跟踪专练1】如图，为等腰三角形．如果把它沿底边翻折后，得到，那么四边形为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对 【跟踪专练2】如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 【跟踪专练3】如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【题型7.根据菱形的性质与判定求角度】 【典例】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则______ 【跟踪专练1】如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 【跟踪专练2】把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（    ） A．60°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．75°或15° 【跟踪专练3】如图，在菱形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AE、DE．若对角线AC＝AB，则∠DEA＝______度． 【题型8.根据菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若，则四边形的周长为__________． 【跟踪专练1】如图，在中，，取边上任意一点D（不与点A重合），连结，作，与交于点F，则下列结论中正确的是（    ） ①当点D位置变化时，F始终为中点； ②当D为中点时， 平分； ③当时，四边形为矩形； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练2】已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为______． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，，则的长是（   ） A．3 B．2.5 C．2.4 D．4 【题型9.根据菱形的性质与判定求面积】 【典例】如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________．    【跟踪专练1】如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答题】 1．如下图，在菱形ABCD中，，对角线．求菱形ABCD的面积．    2．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 3．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 4．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 5．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $