山东省泰安市2026年中考一轮复习专题训练----图形的相似专项

山东省泰安市2026年中考一轮复习专题训练----图形的相似专项 一、单选题 1．如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 3．如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 4．在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，点在上，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 7．下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 8．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（   ） A． B． C． D． 9．下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 10．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 11．如图，，，点在上，交于点，点在上，，若，，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 12．如图，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 13．关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 14．下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则（　　） A． B． C． D． 16．如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 二、填空题 17．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则__________． 18．如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ____________． 19．如图，点D、E分别在的边、上，且，若使，则的长为______． 20．如图，在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么经过_____秒时与相似． 21．如图，在正方形中，是上一点，，于，则的长为_______． 22．如图，在中，，，分别是上的点，且，连接．若，则的长为___________． 三、解答题 23．如图，在中，点，分别在边上，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 24．如图，在和中，，．、、三点共线，求证：． 25．如图，在中，，，以点为中心将顺时针旋转一定的角度，得到，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 26．如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 27．如图，在中，，，点是的中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 28．如图，是等腰三角形，，点，分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用比例的基本性质，或设参数代入验证各选项是否成立． 【详解】解：∵ ∴根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得，故选项D正确． 设，（）验证其他选项： A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，，显然不相等，故C错误； 故选：D． 2．B 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 3．D 【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可． 【详解】解：设和的比例中项是， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 又∵线段长度为正数， ∴， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的周长比等于相似比，设的周长为x，则的周长为，根据周长差列方程求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为. ∴的周长的周长， 设的周长为，则的周长为， ∵和的周长之差为， ∴，即，解得， ∴的周长为， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，然后证明,接着根据，得到，最后利用相似三角形的性质求得答案. 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴与的面积比为：， 故选：. 6．A 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键． 设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 8．C 【分析】根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴． 9．C 【分析】此题考查了相似图形的定义．根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形），对各选项逐一分析，利用排除法确定正确选项． 【详解】解：相似图形的定义是对应角相等、对应边成比例的图形， A选项：两个等腰三角形的顶角与底角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； B选项：两个直角三角形只有直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； C选项：两个正方形的所有内角均为，各角都相等，且各边均相等，对应边的比值一定相等， ∴一定相似； D选项：两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了相似三角形以及相似多边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据相似三角形的判定可得甲对，根据相似多边形的判定可得乙错，由此即可求解． 【详解】解：甲：如图所示， ∴，， ∴，故甲对； 乙：如图所示，设， ∴，， ∵， ∴原矩形与新矩形不相似，故乙错； 综上所述，甲对，乙错， 故选：A ． 11．C 【分析】先由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，得到；再根据，利用平行线分线段成比例求出；最后由结合，可知是直角三角形，用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴，即， 解得． ∵，， ∴，即是直角三角形， ∴． 12．A 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由可得，代入已知条件计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴ 故选：A． 13．A 【分析】本题考查等腰三角形相似的判定条件，涉及两个命题：①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形是否相似；②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形是否相似．需结合等腰三角形的几何特性，使用相似三角形的判定方法（如SAS、AA、SSS等），并可能构造具体例子或代数推导来验证命题的真假． 【详解】解：猜想① 设等腰中，，腰上的高为； 等腰中，， 腰上的高为，且 则与可能相等或互补， 若，， 两三角形顶角互补，底角分别为和，形状不同，不相似； ∴猜想① 错误 分析猜想② 设等腰中，底边，底边高； 等腰中，底边，底边高，且 ∵等腰三角形底边高平分底边， ∴，， 则 又∵， ∴ （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） ∴ ，等腰中，等腰中， 故， ∴ （两角对应相等，两三角形相似） ∴ 猜想② 正确 综上，① 错误② 正确， 故选A 14．C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 15．B 【分析】先推导出，继而证明，得到，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．B 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 17．16 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质： 先由位似图形得到，则，然后求出，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先作轴，再说明，可得，然后说明，可得，再结合,可得，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴，于点F ∵， ∴， ∴, ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵, ∴， ∴， 所以点E的坐标是． 故答案为：． 19．4.5 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形对应边成比例，列出关于的等式，进而求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 20．或 【分析】本题考查相似三角形的判定定理(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，关键是注意分类讨论，因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或， 故答案为：或． 21． 【分析】首先根据已知条件求出正方形的边长，再利用勾股定理计算出的长度；接着证明与相似，利用相似三角形的对应边成比例求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，． 在中，由勾股定理得：． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 22． 【分析】在的延长线上截取，连接，可得垂直平分，可得，从而得到，再证明，可得，从而得到，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，在的延长线上截取，连接． ， 垂直平分， ， ． ， ， ， ， ． ， ， ， 在中，， 由勾股定理，得． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可； （2）由，可得，代入，，，即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解： ， ， 即 ， ． 24．见解析 【分析】证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理． （1）由旋转的性质得到：，进而得出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质得出，根据是等腰直角三角形，得出，即可得出，代入，即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得到：， ，，， ， ， ； （2）解：， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 26．(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可知是直角三角形，根据旋转的性质可知，使用勾股定理计算即可； （3）根据旋转可构造角度相等，证明，可知． 【详解】（1）证明： 将绕点旋转得到，点的对应点在边上， ∴，，， ，， （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， 在中，， ， （3）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 27．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合得出，根据外角性质得出，即可得出； （2）根据中点的定义得出，根据相似三角形的性质得出，即可求出，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 28．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证得； （2）由，，得到，，由（1）知，进而可得，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设，，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到，整理得，由方程有解，即，得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， （2）解：，， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ； （3）解：设，， 由（1）知， ， ， ， 方程有解，即， ， 解得， 即最大值为， 最小值为． 【点睛】本题以等腰三角形为载体，核心是通过角的和差推导证得，再依托相似三角形的比例性质，结合线段长度关系求解的长度；最后通过设元建立一元二次方程，利用判别式的非负性探究的最小值，将几何最值问题转化为代数方程问题，充分体现了数形结合与转化思想。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $