2025-2026学年人教版八年级数学下册精析精练专题2 特殊平行四边形的综合

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 专题2 特殊平行四边形的综合 核心是证明一个四边形有一个角是直角或对角线相等。 从“平行四边形”起点出发： 思路：题目通常先证明或给定一个平行四边形，然后添加一个条件使其成为矩形。 从“普通四边形”起点出发： 思路：通常需要两步走。先证明它是平行四边形（用两组对边、或一组对边平行且相等），再证明它是矩形（用上述任一判定定理）。这是最常见的“综合”考法。 与直角三角形结合： 常考模型：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。其逆定理也常用：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 1．已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 2．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶ (1) ， (2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P． ①如图1，求证：；     ②如图2，若，连接，求的大小． 3．综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    4．如图，平行四边形的对角线与交于点O，点E是中点，连接交于点F，延长至点G，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长度． 5．如图，四边形是平行四边形． (1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①作的平分线，交于E，交的延长线于F；②连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，，求四边形的面积． 6．已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 核心是证明一个四边形有一组邻边相等或对角线互相垂直。 从“平行四边形”起点出发： 思路：先有平行四边形，再添条件成菱形 从“普通四边形”起点出发： 思路一（常见）：先证平行四边形，再证一组邻边相等。 思路二（直接）：四条边都相等的四边形是菱形。当题目中线段关系明确时，可直接用此定理。 与等腰三角形、垂直平分线结合： 常考性质：菱形的对角线平分一组对角，这与“角平分线”和“等腰三角形三线合一”性质相通。 1．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接． (1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）； (2)当时，求与的面积比． 2．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 3．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 4．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 5．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 6．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ． 正方形是矩形和菱形所有性质的集合。证明时，“先证菱形，再证有一个直角” 或 “先证矩形，再证有一组邻边相等”是两条最清晰的路径。通常不直接按定义证明。 捷径判定： 1.先证明四边形是菱形，再证明它的一个内角是直角。 2.先证明四边形是矩形，再证明它的一组邻边相等。 3.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（但通常需先证它是平行四边形或菱形/矩形） 1．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点F，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，请直接写出图2中度数为2倍的角． 2．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 3．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 4．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长 5．综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 6．综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 2 菱形综合 3 正方形综合 1 矩形综合 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 专题2 特殊平行四边形的综合（解析版） 核心是证明一个四边形有一个角是直角或对角线相等。 从“平行四边形”起点出发： 思路：题目通常先证明或给定一个平行四边形，然后添加一个条件使其成为矩形。 从“普通四边形”起点出发： 思路：通常需要两步走。先证明它是平行四边形（用两组对边、或一组对边平行且相等），再证明它是矩形（用上述任一判定定理）。这是最常见的“综合”考法。 与直角三角形结合： 常考模型：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。其逆定理也常用：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 1．已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】(1)1，5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出； （2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得； （3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶ (1) ， (2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P． ①如图1，求证：；     ②如图2，若，连接，求的大小． 【答案】(1)1；1 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）用平方和绝对值的非负性求出a、b； （2）①先求出，再由即可证得； ②过O分别作于M点，作于N点，由证得，则，推出平分，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，解得． 故答案为：1，1． （2）①证明：， ． ，，， ． ，，， ，． ． 在和中 ． ②解：过O分别作于M点，作于N点， ． ， 四边形是矩形． ． ， ． ， 在和中， ． ． ， ， 平分． ， ． ． ，， ． ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、矩形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．    【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论； （2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论； （3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论． 【详解】解：（1）如图，过点E作于点F，    ∴，， ∴； （2）如图，过点D作于点G，连接，    ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，    由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A在的平分线上，即平分． 4．如图，平行四边形的对角线与交于点O，点E是中点，连接交于点F，延长至点G，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先结合四边形是平行四边形，得，又因为，得出是的中位线，根据点E为中点，证明，得出，证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，以及证明四边形是矩形，过E作于点H，运用30度直角三角形所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， 又， ∴是的中位线， ， 又 又点E为中点， ， ， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， 又∵， ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴， 过E作于点H， 在中，， ∴, ∵， ， ， 又在中，， ∴， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．如图，四边形是平行四边形． (1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①作的平分线，交于E，交的延长线于F；②连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】（1）以点A为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接，交于E，交的延长线于F，再连接； （2）先根据平行四边形的性质得出，故可得出，再根据角平分线的定义得，从而证得四边形是矩形，再由矩形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图，、即为所求； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、矩形的性质与判定、平行线的性质，熟知角平分线的作法和平行四边形的性质是解答此题的关键． 6．已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 核心是证明一个四边形有一组邻边相等或对角线互相垂直。 从“平行四边形”起点出发： 思路：先有平行四边形，再添条件成菱形 从“普通四边形”起点出发： 思路一（常见）：先证平行四边形，再证一组邻边相等。 思路二（直接）：四条边都相等的四边形是菱形。当题目中线段关系明确时，可直接用此定理。 与等腰三角形、垂直平分线结合： 常考性质：菱形的对角线平分一组对角，这与“角平分线”和“等腰三角形三线合一”性质相通。 1．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接． (1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）； (2)当时，求与的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作线段的垂直平分线及性质，菱形的证明与性质，直角三角形的性质． （1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可； （2）证明是菱形，，得到，进而得到，由，结合菱形的性质推出，利用直角三角形的性质得到，进而得到，由，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图，连接，设的垂直平分线交于点， ∵中，， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积比为． 2．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． （1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的长为． 3．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再证出平行四边形为菱形，根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 5．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 【答案】(1)①四边形是菱形，理由见解析；②24 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键． （1）①根据矩形性质先得到，再利用垂直和平分的条件得到，最后借助H为中点，通过等量代换得到，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论； ②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可； （2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可． 【详解】（1）①解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 又， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点H是中点，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， 由中点的性质，可知， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， 由菱形的对称性可知，， ∴四边形的面积为； （2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质， ∴（1）中的结论仍成立， 由（1）可知，，， ∴四边形的面积为． 6．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3) 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键． （1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据等面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵， ∴为的垂直平分线，． ∴平行四边形是菱形． ∵， ． 在中，， ， ∴， ， ∴四边形的面积为24； （3）∵，，， ∴， 设平行线与间的距离为， 则， 解得． 故答案为；． 正方形是矩形和菱形所有性质的集合。证明时，“先证菱形，再证有一个直角” 或 “先证矩形，再证有一组邻边相等”是两条最清晰的路径。通常不直接按定义证明。 捷径判定： 1.先证明四边形是菱形，再证明它的一个内角是直角。 2.先证明四边形是矩形，再证明它的一组邻边相等。 3.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（但通常需先证它是平行四边形或菱形/矩形） 1．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点F，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，请直接写出图2中度数为2倍的角． 【答案】(1)见解析； (2),，，． 【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形； （2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 2．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 3．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 4．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长 【答案】(1)是 (2)若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③. (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定和性质，证明四边形是正方形是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可判断答案； （2）连接，，证明，即可得得出结论； （3）根据翻折和已知证明四边形是正方形，可得，再在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形， ，， 四边形是筝形； 故答案为：是． （2）解：若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③， 证明：如图所示，连接，， 四边形是筝形， ，， ∴垂直平分， 又， ， ，，， 平分和； （3）解：由翻折可知：， ，， 四边形是矩形， 又∵由翻折可知：， ∴矩形是正方形， ∴，， 设，则， 由翻折可知：，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：． 即． 5．综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 6．综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）,  （2）①  ②或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明，即可得到结论； （2）①连接交于，根据勾股定理求出的长，然后根据（1）的结论，根据勾股定理表示，然后根据对称得到四边形是正方形，即可得到解题即可；②作于， 连接，表示，长，利用勾股定理求出长，然后根据求出x值即可． 【详解】（1），， ∵， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 即； （2）解：①连接交于， 则， ， ， ，且，， ， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ， ∵， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴故答案为：； ②过作于， 则是等腰直角三角形， ， ， 连接，由直角三角形性质得， ， ， ， ， 则， ， ， 解得或 或 ． 3 正方形综合 1 矩形综合 2 菱形综合 学科网（北京）股份有限公司 $