专题05函数的图象同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题05函数的图象同步讲义 【题型01 用有序数对表示位置】....................................3 【题型02 写出直角坐标系中点的坐标】..............................6 【题型03 求点到坐标轴的距离】....................................9 【题型04 判断点所在的象限】.....................................11 【题型05 已知点所在的象限求参数】...............................13 【题型06 点坐标规律探索】.......................................15 【题型07 实际问题中用坐标表示位置】.............................18 【题型08 用方向角和距离确定物体的位置】.........................21 【题型09 求点沿x轴y轴平移后的坐标】...........................24 【题型10 由平移方式确定点的坐标】...............................25 【题型11 已知点平移前后坐标.判断平移方式】......................27 【题型12 坐标与图形变化-轴对称】................................29 【题型13 已知两地关于原点对称求参数】...........................31 【题型14 函数图象识别】.........................................33 【题型15 从函数图象获取信息】...................................37 【题型16 用描点法画函数图象】...................................40 【解答题6题】...................................................42 ★知识梳理★ 知识点01:平面直角坐标系（基础铺垫） 1.构成： 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平数轴为 x 轴（横轴），竖直数轴为 y 轴（纵轴），公共原点 O 为坐标原点。 2.点的坐标： 平面内任意一点 P，过 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a、b 分别为点 P 的横坐标、纵坐标，记作 P (a,b)；平面内的点与有序实数对一一对应。 3.象限划分： x 轴、y 轴将平面分为四个象限，按逆时针依次为第一、二、三、四象限；坐标轴上的点不属于任何象限。 第一象限：(+,+)；第二象限：(-,+)；第三象限：(-,-)；第四象限：(+,-)。 知识点02:函数的图象 （一）定义 一般地，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的图形；图象上每一点的坐标 (x,y) 表示函数的一对对应值，横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y 是该自变量对应的函数值。 （二）描点法画函数图象（三步法） 1.列表：选取有代表性的自变量值，计算对应的函数值，制成表格。 2.描点：根据表格中的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 3.连线：用平滑的曲线（或直线）将描出的点依次连接起来。 注意：图象形状由函数关系和自变量取值范围决定；端点处若不包含该点，用空心圈表示。 （三）点与函数图象的关系 1.判定点在函数图象上：若点 P (x₀,y₀) 的坐标满足函数解析式 y=f (x)，即当 x=x₀时，y=y₀，则点 P 在该函数的图象上。 2.判定点不在函数图象上：若点 P (x₀,y₀) 的坐标不满足函数解析式，即当 x=x₀时，y≠y₀，则点 P 不在该函数的图象上。 知识点03:函数的三种表示方法（对比） 表示方法 优点 缺点 解析法（如 y=2x-1） 简洁、准确，便于计算分析 抽象，不直观 列表法 直观，能直接读取对应值 只能表示有限个点，不全面 图象法 直观形象，能清晰看出变化趋势 不够精确，难以直接得到准确数值 知识点04:易错点提醒 1.画图象时必须考虑自变量的取值范围，超出范围的部分无需画出。 2.连线时必须用平滑曲线，不能用折线（除分段函数等特殊情况）。 3.判定点与图象关系时，需严格代入解析式验证，不可凭直观猜测。 【题型1.用有序数对表示位置】 【典例】如果教室里可以用来表示学生座位的第3行第2列，那么第4行第1列可以用一对数______来表示． 【答案】 【分析】本题考查了用有序数对来描述物体的位置，熟练掌握用含有两个数的组合来表示一个确定的位置的方法是解题关键．根据用含有两个数的组合来表示一个确定的位置的方法解答即可得． 【详解】解：如果教室里可以用来表示学生座位的第3行第2列， 那么第4行第1列可以用一对数来表示． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列命题中，是真命题的是（    ） ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②平方根是它本身的数只有0和1；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤垂线段最短． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，熟记点与坐标关系、平方根定义、平行公理、同旁内角和垂线段最短等知识是解决问题的关键． 根据初中数学知识，逐一分析各命题：①正确，坐标系中点与有序实数对一一对应；②错误，平方根是它本身的数只有0（1的平方根包括，不完全是本身）；③正确，平行公理；④错误，同旁内角互补需两直线平行；⑤正确，垂线段最短． 【详解】解： ① 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，正确； ② 平方根是它本身的数：0的平方根是0，1的平方根是（不完全是本身），故错误； ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确； ④ 同旁内角互补需两直线平行，否则不一定成立，错误； ⑤ 垂线段最短，正确。 综上所述，真命题有①、③、⑤， 故选：C． 【跟踪专练2】将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出一般规律是解题关键．由题意可知，第排最后一个数字为，进而得出第63排最后一个数字为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第排恰好排个数， 第排最后一个数字为， 当时，， 即第63排最后一个数字为， ， 2024在第排第8个数， 2024可用有序实数对表示为， 故答案为： 【跟踪专练3】七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为（    ） A．25 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了利用坐标表示位置，几何变换的代数表示法，属于新定义型题目，解答本题需要同学们仔细审题，理解位置数是怎样规定的．根据，，且、都是整数，某生的位置数为8，可得出的最小值，在分别列出、为符合条件的整数时的值，从而得出答案． 【详解】解：，，， ， 又， ，即， ，，且、都是整数， 的最小值为10， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 即的最大值为25， 故选：A 【题型2.写出直角坐标系中点的坐标】 【典例.】围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，．C的坐标__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，根据点A和点B的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系，再根据点C的位置可得点C的坐标． 【详解】解：由题意，可建立如下坐标系，则， 故答案为：． 【跟踪专练1】将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征，先根据平移规律得到的坐标，再利用y轴上点横坐标为0的性质列方程求出，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度得到， ∴的坐标为，即， ∵在轴上，轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：， 将代入点的坐标： ，， ∴点的坐标是． 故选：B 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，若点A坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求点的坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 分别过点作轴的垂线，交轴于点，证明，得到，进而根据点的坐标求出，进而可知点的坐标． 【详解】解：如图，分别过点作轴的垂线，交轴于点， ∴， ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 故选：D． 【题型3.求点到坐标轴的距离】 【典例】在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，关键是熟知点的坐标的含义；平面直角坐标系内一个点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，到轴的距离是其横坐标的绝对值． 【详解】解：∵， ∴点到轴的距离为：， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可得轴，，轴，可求正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵顶点M、N的坐标分别为、， ∴轴，，轴， ∴正方形的边长为3， ∴， ∴， ∵ ， ∴轴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，点在第四象限且到轴的距离为1，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离． 根据点在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，且到轴的距离为纵坐标的绝对值，结合给定条件列方程求解，进而可求点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴且， 即， 又∵点到轴的距离为1， ∴， 解得：（舍去）或， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】B 【分析】根据点A的坐标为可得，再证明，再根据全等三角形的性质、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【题型4.判断点所在的象限】 【典例】点在第_____________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了点坐标的特点，熟记各个象限内点的坐标符号特点是解决本题的关键． 根据点的坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故答案为：二． 【跟踪专练1】若点在第二象限，则点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，解题的关键是掌握各象限的坐标特征． 需根据第二象限点的坐标符号判断a、b的正负性，再推导点B横纵坐标的符号，从而确定其所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵，， ∴（异号两数相乘得负），（正数的相反数为负数）， ∴点的坐标符号为，对应第三象限， 故选：C． 【跟踪专练2】以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的第________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了解二元一次方程组，点的坐标，熟练掌握解二元一次方程组的解法及各象限内点的坐标特征是解题的关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，得出点的坐标，然后判断点所在的象限． 【详解】解：， 得，， 解得：， 将代入得， 解得：， 所以方程组的解是， 所以点为点，在第四象限， 故答案为：四． 【跟踪专练3】在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为目标在第三象限， 所以其坐标的符号是， 各选项只有A符合题意． 【题型5.已知点所在的象限求参数】 【典例】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则a的值为______． 【答案】1 【分析】根据平面直角坐标系中轴上点的纵坐标为的特征，列方程求解． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标满足， 解得． 【跟踪专练1】若点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． 根据第二象限点横坐标为负、纵坐标为正的特征列出不等式组，求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴ 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∴m的取值范围是． 故选B． 【跟踪专练2】若点在第二象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 【题型6.点坐标规律探索】 【典例】在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键． 利用点的终结点的定义分别写出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，从而得出每4次变换为一个循环，然后利用即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点的坐标为，则： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 每4次变换为一个循环， 而， 点的坐标与点的坐标相同，为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了规律探索，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形点所在的位置可以得到，，，每4个为一组，据此可以得到在轴正半轴上，纵坐标为0，根据，，坐标规律可得到． 【详解】解：观察图形中点所在的位置可以看出，，，每4个为一组， ， 在轴正半轴上，纵坐标为0， ∵，，， ∴，． 故选：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据新定义，求出前几个点的坐标，进而找到坐标规律，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知： ，即：， ，即：， ，即：， ，即：， ，即， ⋯， 即：的坐标按照：，，，，每四次一个循环， ∵， ∴点的坐标为． 【跟踪专练3】如图，点，点，点，点按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，对于点，根据题意可知，当为偶数时，该点的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：对于点，根据题意可知，当为偶数时，该点的横坐标为，纵坐标为． 所以，点的坐标为． 故选：A 【题型7.实际问题中用坐标表示位置】 【典例】如图，一艘客轮在太平洋中航行，所在的位置是，8小时后到达B处，则B处的位置是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解表示位置两数的意义是解题关键， 根据题意得到数对的第一个数是经度，第二个数是纬度，进而求解即可． 【详解】观察图形的标识并结合数对的顺序可知， 数对的第一个数是经度，第二个数是纬度， 由此可得出B处的位置是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合表示弘义阁的点的坐标和表示本仁殿的点的坐标，画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【详解】解：如图所示： 表示乾清门的点的坐标是， 故选：B ． 【跟踪专练2】如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：，两点的坐标分别为、， 得出坐标轴如图所示位置： ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】综合实践课上，小星将自己手工完成的部分地图，以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若图中点的坐标为，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标以及所在的象限，熟练掌握各象限内的点的坐标特点是解题关键．判断出点位于第二象限内，根据第二象限内的点的横坐标小于0、纵坐标大于0即可得． 【详解】解：∵以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，图中点的坐标为， ∴由图可知，点位于第二象限内， ∴点的横坐标小于0、纵坐标大于0， 观察四个选项可知，只有是第二象限内的坐标， 故选：C． 【题型8.用方向角和距离确定物体的位置】 【典例】如图，一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船求救，可将救生船相对于遇险船的位置表示为（北偏东），则遇险船相对于救生船的位置表示为_____． 【答案】（南偏西） 【分析】熟练掌握方向角，熟练掌握方向角的定义是解答本题的关键．根据题意，结合方向角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，遇险船A相对于救生船B的位置表示为（南偏西）． 故答案为：（南偏西）． 【跟踪专练1】在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键． 根据题意和图形，可以写出各点的坐标，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图可得， 目标的坐标为，故选项A错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项B错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项C正确，符合题意； 目标的坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置_______． 【答案】南偏西， 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，， 故答案为：南偏西，． 【跟踪专练3】小明和小红约定见面交换阅读书籍．出发前，他们打电话了解彼此的位置后，发现有一条道路是最合适的． 小明说：“在我们保持各自速度不变的情况下，如果我向南骑行300米，再向东骑行100米；小红你向北走100米，再向西走100米，我们刚好会相遇．” 小红说：“如果我们互换出发位置，在保持各自速度和道路不变的情况下，此时我们相遇的地点在原来相遇点什么方向？” （   ） A．正东方向 B．东南方向 C．正西方向 D．西北方向 【答案】D 【分析】本题主要考查了用方向角和距离确定位置，根据小明的说法可得米，米，米，交换位置后由于速度和道路不变，那么交换位置后小红从点A出发沿直线走到点N，小明从点D出发沿折线走到点N，据此求出的长，进而得到点N相对于点M的位置即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 小明的初始位置为A，小红的初始位置为D， 根据小明的说法可知，米，米，米， ∵， ∴小明的速度是小红的速度的2倍， ∵米， ∴交换位置后小明要走400米，小红要走200米， ∵保持道路不变， ∴交换位置后小红从点A出发沿直线走到点N，小明从点D出发沿折线走到点N， ∴米， ∴米， ∴， ∴从点M向西走100米，向北走100米可到达点N， ∴点N在点M的西北方向， ∴新相遇点在原来相遇点的西北方向， 故选：D． 【题型9.求点沿x轴y轴平移后的坐标】 【典例】将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据平移变换的规则，向右平移使横坐标增加，向下平移使纵坐标减少作答即可． 【详解】解：将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为即． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 【跟踪专练2】已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，先确定点N的纵坐标，再根据，分两种情况确定点N的横坐标即可． 【详解】解：轴， ∴点与点的纵坐标相同为． ∵， 当点在点的右边时，点的横坐标为， 当点在点的左边时，点的横坐标为． ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上的点的特征：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．解题的关键是掌握以上知识，并注意确定横坐标时要进行分情况讨论． 【跟踪专练3】将点沿轴向左平移个单位长度得到点，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标的平移、点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．先根据点坐标的平移可得点的坐标为，再根据点坐标与轴对称变换规律即可得． 【详解】解：∵将点沿轴向左平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为，即为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：C． 【题型10.由平移方式确定点坐标】 【典例】点沿着轴向右平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，根据点沿x轴方向平移时，横坐标发生变化，纵坐标保持不变，进行求解即可． 【详解】解：点沿x轴向右平移5个单位长度，根据平移的性质，横坐标增加5，纵坐标不变，故点B的横坐标为，纵坐标为1，因此点B的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，沿x轴平移时纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规则，需分向右平移和向左平移两种情况计算． 【详解】解：点沿x轴平移时，纵坐标保持不变，横坐标右移加、左移减， 分两种情况： 当沿轴向右平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 当沿轴向左平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 综上，A点坐标变为或， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将线段先向下平移2个单位长度，再绕原点O逆时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是 ____________ ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中线段的平移和旋转，根据题意，先平移线段，再绕原点O旋转，得到线段，得到点的坐标． 【详解】解：如图所示， ∴的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】将点向上平移个单位后得点，若点关于轴对称，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的平移规律． 根据平移性质，点向上平移时横坐标不变，纵坐标增加；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．利用这些关系列方程求解． 【详解】解：∵点向上平移个单位后得点， ∴，且． 又∵点A与点B关于x轴对称， ∴， 解得． 代入得：， ∴， ∴． 故选：A． 【题型11.已知平移前后坐标.判断平移方式】 【典例】点N（－1，3）可以看作是由点M（－1，－1）向________平移________个单位长度得到的． 【答案】 上 4 【解析】略 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 【跟踪专练2】如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的知识、有理数的乘方、代数式求值，解决本题的关键是根据点、的横坐标与纵坐标的变化得到线段平移的方向和距离，根据平移的方向和距离得到、的值．点的纵坐标由变为，可知线段向上平移了个单位长度，所以可得，点的横坐标由变为，线段向右平移了个单位长度，所以可得，把和代入计算即可． 【详解】解：将线段平移至的位置， 点的纵坐标由变为， 线段向上平移了个单位长度， ， 点的横坐标由变为， 线段向右平移了个单位长度， ， ． 故答案为： ． 【跟踪专练3】已知，在平面直角坐标系中、两点的坐标分别为、，将线段平移到线段，若点的对应点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据左（右）平移时点的横坐标减去（加上）一个正数，上（下）平移时点的纵坐标加上（减去）一个正数，由点和点的坐标确定出平移方式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：点和点是对应点， 平移方式为向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度， 点的对应点的坐标为，即 故选：A． 【题型12.坐标与图形变化-轴对称】 【典例】已知点与点关于y轴对称，则________． 【答案】5 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出m与n的值，再计算的结果即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的性质建立等式求解即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数 ∴点关于y轴的对称点坐标为， 又∵该对称点为， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称变换的坐标规律以及循环变换的周期规律．掌握轴对称的坐标规律：关于轴对称，横坐标取相反数、纵坐标不变；关于轴对称，纵坐标取相反数、横坐标不变；找出变换周期并计算周期余数，是解题的关键． 观察图形可知每次为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定变换后的点所在的象限，进而得到变换后对应点的坐标． 【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， ∴每四次为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第次变换后所得的点与第三次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故选：． 【题型13.已知两地关于原点对称求参数】 【典例】如果点与点关于原点对称，那么_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 点A关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故选：A． 【跟踪专练2】若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___． 【答案】2 【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解． 【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称， ∴a-1+5=0，5+1-b=0， ∴a=-4，b=6， ∴a+b=2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴, ∴, ∴在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，判断点所在的象限，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 【题型14.函数图象识别】 【典例】下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的识别．根据对于每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，进行判断即可． 【详解】解：观察可知，只有选项B的图象中每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数， 选项A，C，D的图象都存在一个确定的的值，对应不止一个值，不是的函数； 故选：B． 【跟踪专练1】下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 【跟踪专练2】新情境  端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（    ）． A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从图象上获取信息，掌握好相关知识是关键． 结合图象变化的规律判断对应的路线即可． 【详解】解：从图象可知，小明离家距离变化规律为线性递增，保持不变，线性递减，最后返回起点，由此判断选项． 对于选项A：没有返回起点，故A错误； 对于选项B：符合图象变化规律，故B正确； 对于选项C：没有返回起点，故C错误； 对于选项D：圆弧段变化为非线性，且没有保持不变的部分，故D错误． 故选：B． 【跟踪专练3】育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班． 【答案】2 【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间． 【详解】解：由题意得： 七（1）班的速度为： 联络员与七（1）班的速度差为： 即联络员的速度为： 当七（2）班出发时， 联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和， 设七（2）班的速度为 列出方程： ， 解得： 即七（2）班的速度为， 则七（2）班追上七（1）班需要的时间为： 故填：2． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度． 【题型15.从函数图象获取信息】 【典例】水龙头关闭不紧会造成滴水，刘华同学用可以显示水量的容器做试验，并根据试验数据绘制出容器内盛水量与滴水时间的函数关系图象（如图）．已知滴水的速度是，请结合图象解答下列问题：计算在这种滴水状态下一天滴水的总量为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据滴水的速度是，且一天有24小时计算求解即可． 【详解】解：， ∴在这种滴水状态下一天滴水的总量为， 故答案为：． 【跟踪专练1】小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”分析判断即可． 【详解】解：根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”，可知儿童离家距离先从大变小直到0，再慢慢变大直到一固定值，由此可知选项D符合题意． 【跟踪专练2】下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 【答案】(1)时间 (2)80，15 【分析】（1）通过图象可得知自变量； （2）晶体有一定的熔点，表现在图象上，晶体熔化有一段图象是水平的，对应的温度就是晶体的熔点. 【详解】（1）解：由图可知，在这个变化过程中，时间是主动变化的量，温度随时间变化，所以自变量是时间； （2）解：对于晶体来说，熔化要吸热，在熔化的过程中，晶体温度不变， 由图象知，晶体在熔化过程中吸热，但温度保持不变，这个过程就是晶体的熔化过程，它对应的纵坐标的值，就是晶体的熔点， 从图中可知，该物质从第10分钟开始熔化，到第25分钟完全熔化完，所以熔化过程经历了； 【跟踪专练3】物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面长为（小球P的大小与木块Q的厚度忽略不计），小球与木块同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），并保持原速直线运动，撞击木块Q后被反弹，再次保持原速向挡板l直线运动，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图2是y与x函数关系的部分图象．以下说法正确的是（   ） ①； ②小球P的速度为； ③小球P第一次返回时，y与x之间满足； ④当小球P从出发至第一次P，Q相遇的过程中，小球P与木块Q的距离为时，或． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，根据函数图象可得小球P第一次到达挡板l的时间是，则可求出小球P的速度为，根据出发时木块Q与小球之间的距离为0可求出木块Q的速度，进而可求出a的值；再根据路程等于速度乘以时间可求出小球P第一次返回时，y与x之间的函数关系式；最后分两种情况：点P没有返回和点P第一次返回，根据两者之间的距离建立方程求解即可． 【详解】解：由题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是， ∴小球P的速度为，故②是符合题意的； 由题意得， ∴ ∴，故①不符合题意； 小球P第一次返回时，y与x之间满足．故③是符合题意的； 当点P没有返回时，则，解得， 当点P第一次返回时，则 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或．故④是符合题意的； 故选：D． 【题型16.用描点法画函数图象】 【典例】用描点法画函数图象的一般步骤是什么？①列表；②________；③连线 【答案】描点 【解析】略 【跟踪专练1】“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】根据的取值，判断的范围即可求解． 【详解】解：当时，，此时点在第一象限， 当时，，此时点在第二象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【跟踪专练2】在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 【跟踪专练3】在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 【解答题】 1．已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键． （1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标； （2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出点的坐标，并在图中画出点及； (2)将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于________轴对称； (3)若，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；作图见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称， 故答案为：； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移的性质求解即可； （2）设秒后轴，根据轴，得到点与点的纵坐标相同，据此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：，． ∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，， ∴，． （2）解：设秒后轴， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同， 则有， 解得， 时，轴． 4．如图，x轴的正向表示东，y轴的正向表示北，每单位长为50米．请在直角坐标系中画出下列各地点的位置． (1)学校的餐厅． (2)学校的图书馆B，位于餐厅A的正北方向200米处． (3)学校的教学楼，位于餐厅北偏东 方向的250米处． (4)学校的体育馆，位于餐厅北偏西 方向的 米处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了用坐标表示地理位置，用方向角和距离确定物体的位置，理解用坐标表示地理位置，用方向和距离确定物体的位置是解题的关键． （1）描出点A的位置即可； （2）根据描述得到点B的位置； （3）根据方位角和距离得到点C的位置； （4）根据方位角和距离得到点D的位置. 【详解】（1）解：如图，点A即为所作； （2）解：如图，点B即为所作； （3）解：如图，点C即为所作， （4）解：如图，点D即为所作． 5．如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 【答案】(1)10 (2)15 (3) (4)图见解析 【分析】（1）逗留时间逗留结束时间逗留开始时间； （2）平均速度是总路程与总时间的比值； （3）首先计算出初始阶段的速度，然后用总路程除以这个速度得到所需时间； （4）匀速运动的路程与时间图象是一条经过原点的直线，路程与时间成正比，关系式为：路程速度时间． 【详解】（1）解：由图可知小明在途中逗留了； （2）解：小明回家的平均速度是； （3）解：刚出学校时的速度为：， 按照刚出学校时的速度一直走到家需要时间为：； （4）解：作图如下： 6．在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“T变换点”的定义解答即可； （2）设点的T变换点为，根据“T变换点”的定义可得，，再由变换点在第四象限，可得到m的取值范围，即可． 【详解】（1）解：点的T变换点为，即； （2）解：设点的T变换点为， ∴，， ∵变换点在第四象限， ∴，． 即，， 解得． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05函数的图象同步讲义 【题型01 用有序数对表示位置】....................................3 【题型02 写出直角坐标系中点的坐标】..............................4 【题型03 求点到坐标轴的距离】....................................5 【题型04 判断点所在的象限】......................................6 【题型05 已知点所在的象限求参数】................................6 【题型06 点坐标规律探索】........................................6 【题型07 实际问题中用坐标表示位置】..............................8 【题型08 用方向角和距离确定物体的位置】..........................9 【题型09 求点沿x轴y轴平移后的坐标】...........................10 【题型10 由平移方式确定点的坐标】...............................10 【题型11 已知点平移前后坐标.判断平移方式】.......................11 【题型12 坐标与图形变化-轴对称】.................................11 【题型13 已知两地关于原点对称求参数】............................12 【题型14 函数图象识别】..........................................13 【题型15 从函数图象获取信息】....................................14 【题型16 用描点法画函数图象】....................................16 【解答题6题】....................................................17 ★知识梳理★ 知识点01:平面直角坐标系（基础铺垫） 1.构成： 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平数轴为 x 轴（横轴），竖直数轴为 y 轴（纵轴），公共原点 O 为坐标原点。 2.点的坐标： 平面内任意一点 P，过 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a、b 分别为点 P 的横坐标、纵坐标，记作 P (a,b)；平面内的点与有序实数对一一对应。 3.象限划分： x 轴、y 轴将平面分为四个象限，按逆时针依次为第一、二、三、四象限；坐标轴上的点不属于任何象限。 第一象限：(+,+)；第二象限：(-,+)；第三象限：(-,-)；第四象限：(+,-)。 知识点02:函数的图象 （一）定义 一般地，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的图形；图象上每一点的坐标 (x,y) 表示函数的一对对应值，横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y 是该自变量对应的函数值。 （二）描点法画函数图象（三步法） 1.列表：选取有代表性的自变量值，计算对应的函数值，制成表格。 2.描点：根据表格中的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 3.连线：用平滑的曲线（或直线）将描出的点依次连接起来。 注意：图象形状由函数关系和自变量取值范围决定；端点处若不包含该点，用空心圈表示。 （三）点与函数图象的关系 1.判定点在函数图象上：若点 P (x₀,y₀) 的坐标满足函数解析式 y=f (x)，即当 x=x₀时，y=y₀，则点 P 在该函数的图象上。 2.判定点不在函数图象上：若点 P (x₀,y₀) 的坐标不满足函数解析式，即当 x=x₀时，y≠y₀，则点 P 不在该函数的图象上。 知识点03:函数的三种表示方法（对比） 表示方法 优点 缺点 解析法（如 y=2x-1） 简洁、准确，便于计算分析 抽象，不直观 列表法 直观，能直接读取对应值 只能表示有限个点，不全面 图象法 直观形象，能清晰看出变化趋势 不够精确，难以直接得到准确数值 知识点04:易错点提醒 1.画图象时必须考虑自变量的取值范围，超出范围的部分无需画出。 2.连线时必须用平滑曲线，不能用折线（除分段函数等特殊情况）。 3.判定点与图象关系时，需严格代入解析式验证，不可凭直观猜测。 【题型1.用有序数对表示位置】 【典例】如果教室里可以用来表示学生座位的第3行第2列，那么第4行第1列可以用一对数______来表示． 【跟踪专练1】下列命题中，是真命题的是（    ） ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②平方根是它本身的数只有0和1；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤垂线段最短． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【跟踪专练2】将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为________． 【跟踪专练3】七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为（    ） A．25 B．30 C．36 D．48 【题型2.写出直角坐标系中点的坐标】 【典例.】围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，．C的坐标__________ 【跟踪专练1】将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为_____． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，若点A坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． ∴， 【题型3.求点到坐标轴的距离】 【典例】在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_____． 【跟踪专练1】如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，点在第四象限且到轴的距离为1，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 【题型4.判断点所在的象限】 【典例】点在第_____________象限． 【跟踪专练1】若点在第二象限，则点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的第________象限． 【跟踪专练3】在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【题型5.已知点所在的象限求参数】 【典例】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则a的值为______． 【跟踪专练1】若点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若点在第二象限，则m的取值范围是______． 【跟踪专练3】如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6.点坐标规律探索】 【典例】在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，点，点，点，点按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型7.实际问题中用坐标表示位置】 【典例】如图，一艘客轮在太平洋中航行，所在的位置是，8小时后到达B处，则B处的位置是______． 【跟踪专练1】如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 【跟踪专练3】综合实践课上，小星将自己手工完成的部分地图，以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若图中点的坐标为，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【题型8.用方向角和距离确定物体的位置】 【典例】如图，一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船求救，可将救生船相对于遇险船的位置表示为（北偏东），则遇险船相对于救生船的位置表示为_____． 【跟踪专练1】在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置_______． 【跟踪专练3】小明和小红约定见面交换阅读书籍．出发前，他们打电话了解彼此的位置后，发现有一条道路是最合适的． 小明说：“在我们保持各自速度不变的情况下，如果我向南骑行300米，再向东骑行100米；小红你向北走100米，再向西走100米，我们刚好会相遇．” 小红说：“如果我们互换出发位置，在保持各自速度和道路不变的情况下，此时我们相遇的地点在原来相遇点什么方向？” （   ） A．正东方向 B．东南方向 C．正西方向 D．西北方向 【题型9.求点沿x轴y轴平移后的坐标】 【典例】将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】将点沿轴向左平移个单位长度得到点，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型10.由平移方式确定点坐标】 【典例】点沿着轴向右平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______． 【跟踪专练1】的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，将线段先向下平移2个单位长度，再绕原点O逆时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是 ____________ ． 【跟踪专练3】将点向上平移个单位后得点，若点关于轴对称，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型11.已知平移前后坐标.判断平移方式】 【典例】点N（－1，3）可以看作是由点M（－1，－1）向________平移________个单位长度得到的． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【跟踪专练2】如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是______． 【跟踪专练3】已知，在平面直角坐标系中、两点的坐标分别为、，将线段平移到线段，若点的对应点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型12.坐标与图形变化-轴对称】 【典例】已知点与点关于y轴对称，则________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则（    ） A． B．3 C． D．6 【跟踪专练2】四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 【题型13.已知两地关于原点对称求参数】 【典例】如果点与点关于原点对称，那么_____． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型14.函数图象识别】 【典例】下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 【跟踪专练2】新情境  端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（    ）． A． B． B． C． D． 【跟踪专练3】育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班． 【题型15.从函数图象获取信息】 【典例】水龙头关闭不紧会造成滴水，刘华同学用可以显示水量的容器做试验，并根据试验数据绘制出容器内盛水量与滴水时间的函数关系图象（如图）．已知滴水的速度是，请结合图象解答下列问题：计算在这种滴水状态下一天滴水的总量为______． 【跟踪专练1】小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 【跟踪专练3】物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面长为（小球P的大小与木块Q的厚度忽略不计），小球与木块同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），并保持原速直线运动，撞击木块Q后被反弹，再次保持原速向挡板l直线运动，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图2是y与x函数关系的部分图象．以下说法正确的是（   ） ①； ②小球P的速度为； ③小球P第一次返回时，y与x之间满足； ④当小球P从出发至第一次P，Q相遇的过程中，小球P与木块Q的距离为时，或． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【题型16.用描点法画函数图象】 【典例】用描点法画函数图象的一般步骤是什么？①列表；②________；③连线 【跟踪专练1】“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【跟踪专练2】在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【跟踪专练3】在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出点的坐标，并在图中画出点及； (2)将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于________轴对称； (3)若，且，直接写出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 4．如图，x轴的正向表示东，y轴的正向表示北，每单位长为50米．请在直角坐标系中画出下列各地点的位置． (1)学校的餐厅． (2)学校的图书馆B，位于餐厅A的正北方向200米处． (3)学校的教学楼，位于餐厅北偏东 方向的250米处． (4)学校的体育馆，位于餐厅北偏西 方向的 米处． 5．如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 6．在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $