精品解析：黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

铁人中学2024级高二下学期开学考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 命题人：彭香宜 审题人：刘哲 第Ⅰ卷 客观题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，设数列的前项和为，则数列的前项和为（   ） A. 920 B. 952 C. D. -920 7. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 当时，的最大值为11 D. 数列前项和为，最小 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，点是的内心，若的面积比为5:12:13，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（    ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知为等比数列的前项和，，，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 11. 如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（    ） A. B. 是等差数列 C. D. 第ⅠⅠ卷 主观题部分 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12. 已知，在点处的切线方程为 ___． 13. 已知函数，，则数列的通项公式为____________． 14. 平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论. ①曲线关于轴对称； ②面积的最大值为； ③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上； ④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为______ 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知等比数列的前项和为，已知，且的公比 （1）求数列的通项公式 （2）令，数列的前项和为，求证： 16. 在四棱锥中，平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求平面与平面所成夹角的余弦值 17. 在xOy平面上，设椭圆，梯形ABCD的四个顶点均在上，且.设直线AB的方程为 （1）若AB为的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值； （2）设，直线CD经过点，求的取值范围； 18. 已知数列的前n项和为，，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此． （1）将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； （2）已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铁人中学2024级高二下学期开学考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 命题人：彭香宜 审题人：刘哲 第Ⅰ卷 客观题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理以及等比数列的性质即可求解. 【详解】由于是方程的两个根，故，， 因此，从而， 又是等比数列，故，， 故选：B 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 3. 已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，即有，由点在渐近线上，可得，解方程可得，进而得到所求双曲线方程. 【详解】因为双曲线C：的焦距为， 所以，即，所以，① 又因为双曲线的渐近线方程为：，且在C的渐近线上， 所以，② 由①②可得，， 所以双曲线C的方程为. 故选：B 4. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 5. 在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，，， 所以，， 则点到直线EF的距离是. 故选：B 6. 已知数列满足，设数列的前项和为，则数列的前项和为（   ） A. 920 B. 952 C. D. -920 【答案】B 【解析】 【分析】由通项与前项和的关系求出数列的通项公式，进而求得，结合等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】数列满足， 当时，； 当时，由， 可得， 上述两个等式作差可得， 化简可得，也满足， 故对任意的，， 所以， 所以，数列的前项和为 . 7. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 当时，的最大值为11 D. 数列前项和为，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意得可判断AB；可判断C；是递增数列，且根据前项和为开口向上的二次函数可判断D. 【详解】A，由可知与异号，又且， 结合等差数列的函数性质知，因此公差，错误； B，因为，说明数列前项为负数，从第项开始为正数，所以前项和的最小值为，正确； C，计算，所以时，的最大值为，正确； D，，即是首项为、公差为（，故公差）的递增等差数列， 其前项和， 这是一个开口向上的二次函数，对称轴为， 由A知， 对称轴，故对称轴，故的最小值出现在处，而非，错误. 故选：BC 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，点是的内心，若的面积比为5:12:13，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，结合三角形的面积公式及题设可得，可得，再根据双曲线的定义得到，再结合勾股定理得到，进而求解即可. 【详解】设的内切圆半径为，因为的面积比为5:12:13， 所以，则， 不妨设，则， 所以，由双曲线的定义，得， 所以， 即，所以， 则， 设，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断BC选项，利用求导法则可判断AD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 10. 下列说法正确的有（    ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知为等比数列的前项和，，，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 【答案】AD 【解析】 【详解】A：，正确. B：， ，所以，错误. C：由，错误. D：，所以，正确. 11. 如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（    ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设点，根据抛物线定义列方程可判断A；根据两圆外切可得的关系，然后可证是等差数列，可判断B；根据是等差数列求出可判断C；利用裂项相消法求和可判断D. 【详解】由题意可知：焦点，设点，则的半径为， 则，解得，故A正确； 因为与外切，则， 整理可得，且，可得，即， 可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确； 则，即， 则，C正确； 因为， 所以， 所以，D错误. 第ⅠⅠ卷 主观题部分 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12. 已知，在点处的切线方程为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，得到，利用点斜式写出切线方程. 【详解】 即过点的切线方程为 故答案为：. 13. 已知函数，，则数列的通项公式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由得为奇函数，进而得关于对称，即，最后利用倒序相加法即可求解. 【详解】由题意有：，所以为奇函数，所以关于对称，所以， 所以①， 又②， 由①②有：， 所以， 故答案为：. 14. 平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论. ①曲线关于轴对称； ②面积的最大值为； ③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上； ④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为______ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由对称点与的关系判断①；由面积公式得出为直角时面积取到，结合曲线的定义以及勾股定理验证即可判断②；由双曲线定义以及勾股定理验证是否符合曲线的定义判断③；由曲线C的定义，设，列出方程，放缩得到的范围。结合椭圆E的范围来判断④. 【详解】①设与关于轴对称，则，， 则，则在曲线上， 则曲线关于轴对称，①正确； ②， 若为直角，则 则， 当时，无解，故②错误； ③当时，双曲线即，交点为，，实轴长为， 则， 若，则， 则， 则点在曲线上，③正确； ④当时，设，则， 由于，则， 同理，则， 由于，则点在椭圆内部， 则曲线在椭圆内部，曲线所围成的图形面积小于椭圆所围成的图形面积， ④正确； 故答案为：①③④. 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知等比数列的前项和为，已知，且的公比 （1）求数列的通项公式 （2）令，数列的前项和为，求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意得方程组计算即可求解； （2）由题意可得，根据裂项相消法计算即可得证. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 由题意得， 解得或， 因为，所以，代入可得， 所以； 【小问2详解】 ， 则， . 16. 在四棱锥中，平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求平面与平面所成夹角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，从而得到，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为分别为的中点，故，且， 又，且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 由题意得，所以， 又因为，所以， 又因为平面，平面， 所以，， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 设平面与平面所成夹角为， 则， 即平面与平面所成夹角的余弦值为. 17. 在xOy平面上，设椭圆，梯形ABCD的四个顶点均在上，且.设直线AB的方程为 （1）若AB为的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值； （2）设，直线CD经过点，求的取值范围； 【答案】（1）2； （2）； 【解析】 【分析】（1）由题意知，由此可得，再由即可求出答案； （2）由题意知椭圆，直线CD的方程为，联立直线与椭圆，由直线与椭圆有两交点可得，，，利用表示出，由此即可求出其取值范围. 【小问1详解】 因为梯形为的长轴，的高为，， 所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得， 可得，又因为在上的射影为的焦点， ∴，解得， ∵，∴. 【小问2详解】 由题意，椭圆，直线CD的方程为， 设，，则，化简得， ，得， ∴，， ∴ ， ∵，所以， 所以的取值范围为. 18. 已知数列的前n项和为，，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等差数列定义推理得证. （2）①由（1）求出，进而求出，再利用错位相减法求和；②由①的结论结合已知不等式，分离参数构造新数列，再判断单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 由，得，即， 所以是公差为1的等差数列. 【小问2详解】 ①由（1）及已知得，，则， ，于是， 两边同乘以，得， 两式相减得， ，所以. ②不等式 依题意，对任意的恒成立，令， 则， 因此数列为递减数列，则当时，，则， 所以实数的取值范围是. 19. 在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此． （1）将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； （2）已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）设，且，， 由题意可知，过点的切线斜率存在，故设切线方程为， 联立，得， 则， 即 ， 则， 当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，得， 则， 则， ， 因为，所以 ， 则， 即，即， 因为直线不过点，所以， 则，得， 则，此时BD与曲线在P点处的切线垂直； 当直线的斜率不存在时，设直线，其中或，， 联立，得，则， 则 ，不符合题意. AI    综上，BD与曲线在P点处的切线垂直． 【解析】 【分析】（1）由旋转公式可得； （2）（ⅰ）设曲线上任意一点为，将其绕原点逆时针旋转得到点，根据旋转公式可得； （ⅱ）设，再设切线方程为，根据得出，再分类讨论，设，根据得出，当直线的斜率不存在时，求证即可求证. 【小问1详解】 由题意可得，，则； 【小问2详解】 （ⅰ）设曲线上任意一点为，且，将其绕原点逆时针旋转得到点， 则，得， 则，即， 故曲线的方程为； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $