二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 考点目录 直角三角形存在性问题 等腰三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 三角形相似问题 考点一 直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 例2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求此时点的坐标； (4)若点在抛物线上，在（3）的条件下，当是直角三角形时，直接写出点的横坐标___________． 变式1．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接． ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知：直线与抛物线经过点、，且交轴于点． (1)A点坐标A（___________，___________）；B点坐标B（___________，___________）； (2)求抛物线的解析式； (3)点为抛物线上一点，且点在的下方，设点的横坐标为．试求当为何值时，的面积最大； (4)在（3）的条件下，当的面积最大时，过点作轴的垂线，垂足为点，问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的的坐标若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标； (3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 考点二 等腰三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 例2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·四川德阳·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，的值； (3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． (1)求出二次函数的解析式． (2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标． (3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行于y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． (3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 考点三 等腰直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)无论k取何值，此抛物线必经过一个定点，这个定点的坐标是____； (2)如图1：若，点P为抛物线上一点，且在B、C两点之间运动．是否存在点P使得的面积取得最大值？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2：若，并将此抛物线上下平移，它的顶点是D，与x轴有两个交点E、F，如果是一个等腰直角三角形，问如何平移？ 例2．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； (3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． (4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 变式1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 变式2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 考点四 三角形相似问题 例1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，． (1)求点的坐标和抛物线的解析式； (2)为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、，点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 例2．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和C点坐标； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． (1)求的面积； (2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标． 变式1．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，如图1所示，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线下方的抛物线上存在一个动点P，使四边形的面积为16，试求出点P的坐标； (3)如图2，过点B作交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作，点Q为上的一个动点，求的最小值． 变式3．（25-26九年级上·上海·月考）如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 考点目录 直角三角形存在性问题 等腰三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 三角形相似问题 考点一 直角三角形存在性问题 例1.(25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔开学考试)如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0)的对称轴为直线x=-1 ,且经过A1,0),C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B. B A龙 (1)若直线y=mx+n经过B,C两点，求抛物线和直线BC的解析式： (②)在直线BC上方的抛物线上找一点M,求点M的坐标，使△BCM面积最大. (③)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，是否存在点P,使aBPC为直角三角形，直接写出点P的坐标. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;直线BC的解析式为y=x+3, 114 【详解】(1)解：根据题意，得 b=-1 2 a=-1 a+b+c=0,解得b=-2, c=3 c=3 抛物线解析式为y=-x2-2x+3; 令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3, B(-3,0). 由直线y=mx+n经过B(-3,0),C(0,3)两点，得 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 「-3m+n=0 m=1 n=3 ,解得 n=3' “直线BC解析式为y=x+3. (2)解：设点M的坐标为m,-m2-2m+3,连接0M, B 因为对称轴为x=-1,A1,0), 所以B(-3,0),故0B=3, 因为C(0,3),故0C=3, SABCM SABOM +SACOM SABOC -ix3x(-m-2m+3)+ix3x(-m)-x3x3 2 当m=-3时，△BCM的面积最大，此时点M的坐标为 315Y 2 249 (3)解：设P-1,t, 又B(-3,0),C(0,3), :BC2=18,PB2=(-1+3)2+2=4+2,PC2=(-1)2+t-3)2=t2-6t+10, ①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2, 即：18+4+2=t2-6t+10,解得：1=-2； ②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB, 即：18+2-6t+10=4+2,解得：t=4, ③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2, 即：4+12+12-61+10=18， 解得：4=3+7,3-7 -，2= 2 2 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 综上所述P的坐标为(-1，-2)或(-1,4)或 例2.(25-26九年级上江西上饶期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A1,0),B-3,0)两点. 备用图 (1)求a、b的值. (2)若点D为抛物线上一动点，△ABD的面积为8时，求点D的坐标. (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标. 【答案】(1)a=-1,b=-2 2)点D的坐标为(-1,4)或(-1+22,4)或-1-2V2,-4: 点*标-安肉 或(-1，-2 【详解】(1)解：把A1,0),B(-3,0)代入y=ax2+bx+3(a≠0)中得： a+b+3=0 9a-3b+3=0' a=-1 解得， b=-2 (2)解：由(1)知，y=-x2-2x+3, 设点D(x,y), A1,0),B-3,0, .AB=4, :△ABD的面积为8， y川=4， 当y=4时，-x2-2x+3=4,即x2+2x+1=0, 解得x=-1, 3 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 ∴点D的坐标为(-1,4)： 当y=-4时，-x2-2x+3=-4,即x2+2x-7=0, 解得，x=-1+2V2,x2=-1-2V2, ∴点D的坐标为-1+22，-4或(-1-22，-4)， 综上，点D的坐标为(-1,4)或-1+2V2,-4或-1-22，-4： (3)解：：抛物线解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, :抛物线y=-(x+1)2+4的对称轴为直线x=-1, 当x=0时，y=3, C(0,3), 设P(-1,m), B(-3,0),C0,3), Bp2=[-3-(-1]+(0-m2=4+m2,Cp2=(1-0)2+(m-3)2=m2-6m+10, BC2=(-3-0)2+(0-3)2=18, 当∠BPC=90°时，则BP2+CP2=BC2, .4+m2+m2-6m+10=18, 解得：m=3土7 2 点P的坐标为-1，，回 当∠BCP=90°时，则BC2+CP2=BP2, .18+m2-6m+10=4+m2, 解得：m=4, :点P的坐标为-1,4)； 当∠PBC=90°时，则BC2+BP2=CP2, .,18+4+m2=m2-6m+10, 解得：m=-2, :点P的坐标为-1，-2)： 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 缘上所达存作这的点P,发号8C为直角张，点P约生标为州-肉2一2文 (-1-2）. 例3.(25-26九年级上·江苏扬州期末)如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,0),C(0,3),并交x轴于另一点 B,点Px,y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D. 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为1,4时，求四边形B0CP的面积； 3)当PD 台D的值最大时，求此时P点的坐标， (④)若点Q在抛物线上，在(3)的条件下，当△APQ是直角三角形时，直接写出点Q的横坐标 【答案】(1)y=-x2+2x+3 层》 ④2或或1或 7 6 3 【详解】(1)解：把A-1,0),C(0,3)代入抛物线解析式得： [a-2+c=0 c=3 Ja=-1 (c=3, 抛物线解析式为y=-x2+2x+3: (2)解：如图所示，过点P作PE⊥x轴于E, 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3, B(3,0, 六S四边形BOCP=S梯形EOCP+S△BEP 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 3+4 1+x4x3-l） 2 2 15 2: B (3)解：如图所示，过点P作PF∥x轴交直线BC于F, ∴△PFD∽△ABD, B PD PF AD AB' ~AB=4是个定值， 当PF最大时， PD有最大值， A 设直线BC的解析式为y=a+b, 「3k+b=0 b=3 「k=-1 b=3 直线BC的解析式为y=-x+3, 设点P的坐标为(m,-m2+2m+3,则F(m2-2m,-m2+2m+3, ∴PF=m-m2+2m=-m2+3m=- -1<0, 当m=时，PF有最大值，此时点P的坐标为，15】 24 (4)解：设点Q的坐标为n,-n2+2n+3; 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 当∠APQ=90°时，如图所示， 过点P作PP⊥x轴于B,过点Q作QP⊥PP于P, B ∴∠QPP=∠PPA=90°， .∠PQP+∠PPQ=90°=∠PPQ+PPA, ∠PQP=PPA, △PQP∽△PPA, 15 器器 4 -m+2n+3-531 42+1 3 解得n=6或n=2 (不符合题意)； 6 当∠PAQ=90°时，如图所示，过点P作PA,⊥x轴于A,过点Q作QA⊥x轴于A, 同理可证△PAA,∽△AQA2, A A2 B 15 会货啡 n+1 3m-2n-3 1+ 3或m=1(不符合题意)： 1 解得n= 当∠AQP=90°时，如图所示，过点Q作Q22⊥x轴于g,过点P作PQ2⊥QQ2于2， 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 同理可证△PQQ,∽△QAQ, 3 P2- n- 2 -n2+2n+3 004g'即下-m+2m+3 n+1 4 解得n=1或n=5, 综上所述，点Q的横坐标为？或 6 或1或5 31 1 、11 5 故答案为：二或二或1或 6 3 变式1.(25-26九年级上四川自贡·期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点（点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C,B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E, 连接BD ①连接CD,当△CDB的面积为10时，求点F的横坐标： ②直线BC能否把BDF分成面积之比为2：3的两部分，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由. (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标. 【答案】(1)y=-x2+4x+5 (2)①1或4；②点E的坐标是 ）引 (3)点M的坐标是2,7)或(2，-3)或(2,6)或(2，-1) 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A-1,0),B(5,0)两点， a-b+5=0 25a+5b+5=0' a=-1 解得：b=4 抛物线解析式为y=-x2+4x+5; (2)抛物线y=-x2+4x+5与y轴交于点C, 当x=0时，y=5 .C0,5), 设直线BC的解析式为y=kx+m,过点B(5,0),C(0,5), 5k+m=0 m=5 k=-1 解得： (m=5, ∴直线BC的解析式为y=-x+5, 设D(x,-x2+4x+5,则E(x,-x+5),F(x,0)(0<x<5), .DE=-x2+4x+5-（-x+5=-x2+5x,EF=-x+5, ①：△CDB的面积为10， 10=DE:0B=x-x2+5xx5, 2 解得：x=1,x2=4, ∴当△CDB的面积为10时，点F的横坐标为1或4； ②直线BC能把BDF分成面积之比为2：3的两部分.理由如下： DF⊥x轴于点F,EF=-x+5, ·BDE与△BEF的底在同一直线上，高为BF, 当SA BDE△SAEr=2:3时，则DE:EF=2:3,如图， 9 二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题专项训练 B 即-x2+5x:(-x+5)=2:3, 解得：5 ，=5（不符合题意，舍去）， 此时点E的坐标为子3月 (213) 当SADE△SAEr=3:2时，则DE:EF=3:2,如图， 即(-x2+5x:(-x+5)=3:2, 解得：2，=5（不符合题意，舍去， 此时点E的坐标为 37 22月 综上所述，直线BC能把BDF分成面积之比为2：3的两部分，点E的坐标是 号》 4 (3)抛物线y=-x2+4x+5的对称轴为直线x=- =2, 2×(-1 设M(2,), B(5,0,C0,5), ∴BC2=(5-02+(0-5)2=50, MC2=22+(t-5)2=t2-10t+29, MB2=(2-5)2+t-0)2=t2+9, 10