专题02 平面向量重难点模型（五大模型）训练-2025-2026学年高一数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教A版必修二）

专题02 平面向量重难点模型（五大模型） 模型1 三角形的四心问题 1.重心问题 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 2.外心问题 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 3.内心问题 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 4.垂心问题 1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 【典例1】（多选题）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若P为的垂心，，则 B．若P为锐角的外心，且，则 C．若P为的重心，则 D．若，则点P的轨迹经过的内心 【答案】AB 【分析】根据计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；由重心的性质可知可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D． 【详解】对于A选项，因为，又因为为的垂心，所以， 所以，故A正确； 对于B选项，因为且， 所以，整理得：，即， 如图所示，设为中点，则，所以三点共线， 又因为为锐角的外心，则，所以垂直平分，故，故B正确； 对于C选项，如图所示，设中点为，则，由重心的性质可知，故C错误； 对于D选项，因为 ， 如图所示，设中点为，则，所以， 所以， 所以，即， 所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D错误． 故选：ABC. 【变式1】为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 【变式2】已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④. 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 【变式3】（多选题）设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是（   ） A．若点是的重心，则 B．若，则点是的垂心 C．若点是的垂心，则 D．若为的外心，为的垂心，则 【答案】ACD 【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A；根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断B；根据垂心的性质及向量的线性运算判断C；根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D. 【详解】对于A，若点是的重心，则，即，A正确； 对于B，由， 得，得， 所以为的外心，B错误； 对于C，若点是的垂心，则， 所以，C正确； 对于D，如图，为圆的直径，则． 又因为为的垂心，所以，所以． 同理，所以四边形为平行四边形， 所以，D正确． 故选：ACD． 【变式4】（多选题）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的运算，结合三角形内心，外心，垂心和重心的性质，即可判断选项. 【详解】A.由， 即，同理，，则点是的垂心，故A正确； B. 若，则点是垂直平分线的交点，则，故B正确； C.由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点在的中线上，则动点的轨迹经过的重心，故C错误； D. 设的中点为，， 所以， ， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 模型2 奔驰定理 1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 3、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 4、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 【典例2】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 【变式1】（多选题）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【答案】AB 【分析】对于A：利用重心的性质 ，代入即可； 对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以 ， 又因为， 所以.正确； 对于B：记点到的距离分别为，， 因为， 则， 即， 又因为，所以，所以点是的内心，正确； 对于C：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于D：因为是的外心，，所以,， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知同时为负， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，错误. 故答案为：AB. 【变式2】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 【变式3】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D. 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即 ，故C正确； 对于D，当O为的内心时， （r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式4】（多选题）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解. 【详解】因为为的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC 【变式5】在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。 【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 模型3 三点共线（鸡爪模型） 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知在线段上，且，则 【典例3】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又 ，所以，解得m，t． 故答案为：． 【变式1】如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________． 【答案】 【分析】根据，可得，根据，以及E、B、D三点共线，可求出． 【详解】因为，所以， 则， 因为E、B、D三点共线，所以，所以． 故答案为：． 【变式2】在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 模型4 等和线定理 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 技巧： 等和线的性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2) 当等和线在点和直线之间时, ； （3)当直线在点和等和线之间时, ； （4)当等和线过点时,； （5)若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （6)定值的变化与等和线到点的距离成正比 对用等和线求系数和最值问题，可以先作基准线，然后建立等和线，然后找目标线，平移找临界，计算比值。 【典例4】如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 【变式1】，点在边上，，设，，则，则____，______. 【答案】 【分析】利用平面向量的减法可得出、的值. 【详解】因为，所以， 解得， 又因为，所以，. 故答案为：；. 【变式2】在平行四边形中，，交于点，若，则__________. 【答案】/ 【分析】由三角形相似推出，利用平面向量基本定理将用线性表示，对照系数即得. 【详解】如图，中，，则与相似， 因，则， 故 ， 即，故. 故答案为：. 【变式3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，若，则等于 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】．故选A． 模型5 极化恒等式 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明： ①， ②， 1 ②两式相加得： 从几何角度理解与记忆， 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 【求最值技巧】 若题目中给出两个定点（或者为定长）与一个动点，为的中点，则根据极化恒等式有 由于长度固定，则数量积的范围由的范围来决定。 【典例5】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量中点公式，得到，把原式化简为，根据向量的数量积运算确定最小时点的位置，再利用均值不等式求出最小值. 【详解】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 【变式1】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，AB、AF分别为x，y轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段GF（除）上、在线段GH上运动和在线段AH（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案． 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 【变式2】已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得， ，最后由，求解即可. 【详解】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 【变式3】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】设，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于的方程组，求解得出的值，进而表示出，即可得出答案. 【详解】设，则由已知可得. 又 ， ， 所以联立得，. 所以 ． 故选：D. 【变式4】在中，是中点，，，则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用向量的加减法以及数量积的运算规则，结合中点的性质来求解BC的长度. 【详解】因为是BC中点，所以，且，. 可得：. 已知，又因为，所以，移项可得. 因为是BC中点，所以，而，则，所以. 故选: D. 【变式5】如图，在圆内接四边形中，，，．若为的中点，则的值为______． 【答案】 【分析】由余弦定理求出，由正弦定理可得为圆的直径，，，所以为等边三角形；以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系：求出、，由的坐标运算可得答案. 【详解】由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，所以为圆的直径， 所以，所以，从而， 又，所以为等边三角形； 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如下图所示的 平面直角坐标系：则，，，，， 故． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量重难点模型（五大模型） 模型1 三角形的四心问题 1.重心问题 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 2.外心问题 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 3.内心问题 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 4.垂心问题 1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 【典例1】（多选题）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若P为的垂心，，则 B．若P为锐角的外心，且，则 C．若P为的重心，则 D．若，则点P的轨迹经过的内心 【变式1】为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【变式2】已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（多选题）设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是（   ） A．若点是的重心，则 B．若，则点是的垂心 C．若点是的垂心，则 D．若为的外心，为的垂心，则 【变式4】（多选题）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 模型2 奔驰定理 1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 3、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 4、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 【典例2】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【变式1】（多选题）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【变式2】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【变式4】（多选题）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 模型3 三点共线（鸡爪模型） 爪子定理源于平面向量三点共线定理。 已知在线段上，且，则 【典例3】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【变式1】如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________． 【变式2】在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 模型4 等和线定理 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 技巧： 等和线的性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2) 当等和线在点和直线之间时, ； （3)当直线在点和等和线之间时, ； （4)当等和线过点时,； （5)若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （6)定值的变化与等和线到点的距离成正比 对用等和线求系数和最值问题，可以先作基准线，然后建立等和线，然后找目标线，平移找临界，计算比值。 【典例4】如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【变式1】，点在边上，，设，，则，则____，______. 【变式2】在平行四边形中，，交于点，若，则__________. 【变式3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，若，则等于 A． B． C． D． 模型5 极化恒等式 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明： ①， ②， 1 ②两式相加得： 从几何角度理解与记忆， 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 【求最值技巧】 若题目中给出两个定点（或者为定长）与一个动点，为的中点，则根据极化恒等式有 由于长度固定，则数量积的范围由的范围来决定。 【典例5】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【变式3】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 【变式4】在中，是中点，，，则（ ） A． B． C．2 D．4 【变式5】如图，在圆内接四边形中，，，．若为的中点，则的值为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $