解答题专项突破之二次根式（七大板块）2025-2026学年人教版数学八年级下册

解答题专项突破之二次根式2025-2026学年人教版 八年级下册（七大板块） 板块一：二次根式化简 1．化简： (1)； (2)． 2.把下列二次根式化为最简二次根式： (1)(2)(3)(4) 3．把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 5．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 板块二：二次根式乘除运算 1.计算： (1) (2) (3) (4)． 2．计算 （1）       （2）           (3)     (4)    3．计算： （1）； （2）； （3）． 4．计算： (1)；(2)． 5.计算：． 板块三：二次根式加减运算 1.计算：． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算：． 板块四：二次根式混合运算 1.化简： （1）；（2）． 2.计算： (1)(2) 3.计算： （1）；（2）． 4．计算：． 5．计算： （1）； （2）． 板块五：二次根式化简求值 1.先化简，后求值：，其中． 2.已知x＝+2，y＝． （1）化简y； （2）求的值． 3.已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 4.已知，，求x2+xy+y2的值． 5.已知，，求． 板块六：二次根式应用题 1.有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 2.如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为m，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长（）m，宽（）m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 3.某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长BC为米，宽AB为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 4.有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　dm，　　dm； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 5.如图，长方形内两个正方形的面积分别为． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和(精确到，参考数据：， ， )． 板块七：二次根式材料阅读题 1.阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如： 请仿照上述方法解决下面问题： （1）分母有理化的结果是 ． （2）分母有理化的结果是 ． （3）分母有理化的结果是 ． 2.将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 3.请解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 4.阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】 解答题专项突破之二次根式2025-2026学年人教版 八年级下册（七大板块） 板块一：二次根式化简 1．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2.把下列二次根式化为最简二次根式： (1)(2)(3)(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 3．把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4(2)(3)(4) 【详解】（1）解：==4 ； （2）解：===； （3）解：==； （4）解：． 4．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）27；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 5．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 板块二：二次根式乘除运算 1.计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)(2)3(3)(4)8 【详解】（1） （2） （3） （4） 2．计算 （1）       （2）           (3)     (4)    【答案】（1）4；（2）；（3）2；（4） 【详解】（1）= =2 （2）== （3）== = （4）= 3．计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）120；（2）；（3）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 4．计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 5.计算：． 【答案】 【详解】解： 板块三：二次根式加减运算 1.计算：． 【答案】． 【解答】解： ＝ ＝． 2．计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 3．计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 4．计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 板块四：二次根式混合运算 1.化简： （1）；（2）． 【答案】（1）2； （2）8． 【解答】解：（1） ＝9﹣7+2﹣2 ＝2； （2） ＝6﹣+3 ＝8． 2.计算： (1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 3.计算： （1）；（2）． 【答案】（1）4+； （2）10﹣6． 【解答】解：（1）原式＝﹣+2 ＝4﹣+2 ＝4+； （2）原式＝3﹣4+9﹣6+2 ＝10﹣6 4．计算：． 【答案】． 【解答】解：． 5．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2）． 【解答】解：（1）； （2）． 板块五：二次根式化简求值 1.先化简，后求值：，其中． 【答案】解： ＝ ＝； 当时， 原式＝． 2.已知x＝+2，y＝． （1）化简y； （2）求的值． 【答案】（1）﹣2； （2）18． 【解答】解：（1）y＝＝＝﹣2； （2）∵x＝+2，y＝﹣2， ∴xy＝（+2）（﹣2）＝1，x+y＝+2+﹣2＝2， ∴＝＝＝﹣2＝﹣2＝20﹣2＝18． 3.已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 【答案】解：∵a＝+2，b＝﹣2， ∴a+b＝+2+﹣2＝2， a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4， （1）a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2 ＝42 ＝16； （2）a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝2×4 ＝8． 4.已知，，求x2+xy+y2的值． 【答案】15． 【解答】解：∵x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy； 把，代入（x+y）2﹣xy， ∴ ＝ ＝ ＝42﹣1 ＝15． 5.已知，，求． 【答案】62． 【解答】解：∵a＝＝＝4， b＝＝＝4﹣， ∴a+b＝8，ab＝（4+）（4﹣）＝16﹣15＝1． ∴原式＝ ＝ ＝ ＝62． 板块六：二次根式应用题 1.有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】乙的宽为 【详解】解： ， ∴乙的宽为． 2.如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为m，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长（）m，宽（）m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 【答案】（1）长方形ABCD的周长14m； （2）种植青菜部分的面积为2m2． 【解答】解：（1）2+2＝8+6＝14（m）， 答：长方形ABCD的周长14m； （2）（）×（）＝3﹣1＝2（m2）， 答：种植青菜部分的面积为2m2． 3.某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长BC为米，宽AB为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】1680元． 【解答】解：通道面积：×﹣2×（+1）×（﹣1） ＝8×5﹣2×（13﹣1） ＝80﹣24 ＝56（平方米）， 购买地砖需要花费：30×56＝1680（元）， 答：购买地砖需要花费1680元． 4.有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　dm，　　dm； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 【答案】（1）3，4； （2）6dm2； （3）2． 【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为＝3dm，＝4dm， 故答案为：3，4； （2）根据题意得：矩形的长为3（dm），宽为4dm， ∴剩余木料的面积＝（7）﹣18﹣32＝6（dm2）； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为3dm，宽为4＝（dm）， ∵3，， ∴能截出2×1＝2块这样的木条． 故答案为：2． 5.如图，长方形内两个正方形的面积分别为． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和(精确到，参考数据：， ， )． 【答案】（1）解：正方形面积为的正方形，其边长为；面积为的正方形，其边长为， 长方形的长为，宽为， 长方形周长； ∴长方形周长约为． （2）解：长方形面积 ， 两个正方形面积和， 阴影部分面积和 ； ∴两块阴影部分面积和约为． 板块七：二次根式材料阅读题 1.阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如： 请仿照上述方法解决下面问题： （1）分母有理化的结果是 ． （2）分母有理化的结果是 ． （3）分母有理化的结果是 ． 【答案】 / / / 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 2.将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3.请解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 4.阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∵， ∴； ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $