10.5 用二元一次方程组解决问题 同步练习2025-2026学年苏科版七年级数学下册

10.5《用二元一次方程组解决问题》同步练习 一、单选题 1.小明去距市区40km的旅游景点游玩,先乘汽车,后步行,全程共用了2h,已知汽车的速度为38km/h,步行的速度为4km/h,设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为xkm和ykm,则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知某一铁路隧道长1500米.有一列火车匀速从隧道通过,测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟,整列火车都在隧道里的时间为40秒,设火车长x米,火车的速度y米/秒,则可得方程组( ) A. B. C. D. 3.线段图是解决行程问题的重要数学工具,如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形.设甲的平均速度是xkm/h,乙的平均速度是ykm/h,则可列方程组为( ) A. B. C. D. 4.甲、乙两个工程队负责修建一条长为800米的公路,甲工程队独立施工3天后,乙工程队加入.两工程队联合施工7天后,还剩70米的工程未能完成.已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米,求甲、乙工程队每天各施工多少米?设甲工程队每天施工x米,乙工程队每天施工y米.根据题意,所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知一个两位数,十位数字比个位数字大1,若将个位数字与十位数字对调后,新得的两位数比原来的两位数小9,设原来的两位数个位数字为x,十位数字为y,则可列方组是( ) A. B. C. D. 6.一个两位数的数字之和为11,若把十位数字与个位数字对调,所得的两位数比原来大63,则原来两位数为( ) A.92 B.38 C.47 D.29 7.佳佳坐在匀速行驶的车上,将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下: 时刻 12:00 13:00 14:00 里程碑上的数 是一个两位数,数字之和为7 十位数字与个位数字相比12:00时看到的刚好颠倒 比12:00看到的两位数中间多了个0 则12:00时看到的两位数是( ) A.15 B.16 C.25 D.34 8.现代办公纸张通常以A0,A1,A2,A3,A4等标记来表示纸张的规格,一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸.现计划将100张A2纸全部裁成A3纸和A4纸,两者共计300张.设裁成A3纸x张,A4纸y张,则可列方程组为( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.如图是一个周长为16的长方形ABCD,它恰好可以分割成5个小长方形(分别标记为①,②,③,④,⑤),其中AE=CG,AH=CF,DF=BH,DE=BG.若⑤为正方形,则②的周长为 ;若①的周长为9.4,则⑤的长与宽之差为 . 10.我国古代夏禹时期的“洛书”(如图①所示),就是一个三阶“幻方”(如图②所示),观察图①、图②,我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”(如图③所示)中,根据寻找出的关系,可推算出x,y的值分别为 . 11.加密是保障数据安全的一种方式,明文通过加密规则加密成密文.某加密规则为:明文(x,y)对应加密文(x+2y,2x+3y),如明文(1,2)对应加密文(5,8).若接收到的加密文为(7,12),则发送的明文是 . 12.如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录,则哥哥想买的平板电脑的原价 为 元. 发送者 对话内容 弟弟 哥,你之前提到的平板电脑买了没? 哥哥 还没,因为它的售价比我的预算还要多100元. 弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦! 哥哥 这样的话,那就比我的预算便宜了100元. 13.我国古代数学著作《算法统宗》中记载:“今有绫三尺,绢四尺,共价四钱八分;又绫七尺,绢二尺,共价六钱八分.问:绫、绢各价若干?”大意为:三尺绫和四尺绢共值四钱八分;七尺绫和二尺绢共值六钱八分.则绫、绢每尺各值多少?已知一钱等于十分,则每尺绢的价格是 分. 14.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米,下坡路每分钟走80米,上坡路每分钟走40米,从家里到学校需10分钟,从学校到家里需15分钟,则小华家离学校 米. 三、解答题 15.列二元一次方程组解下列问题. (1)某校计划购买一批篮球和足球,已知购买2个篮球和3个足球共需430元,购买3个篮球和2个足球共需420元,求每个篮球和每个足球的售价. (2)A、B两地相距36千米,若甲、乙两人都从A地去B地,乙比甲先出发2小时,甲出发4小时后追上乙;若甲、乙分别从A、B两地出发,相向而行,乙比甲早出发1.5小时,两人在甲出发后3小时相遇.求甲、乙两人的速度. 16.甲、乙两地相距200千米,一列慢车从甲地开出,一列快车从乙地开出,如果两车同向而行,快车10小时追上慢车;如果两车相向而行,2小时后两车相遇. (1)两车的速度分别是多少? (2)若两车同时相向而行,多少时间可以相距100千米? 17.2025年世乒赛在成都举办,来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城,体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力,组委会为感谢工作人员与志愿者,计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共150件,其中蜀绣纪念品每件售价150元,熊猫文创纪念品每件售价90元. (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了15900元,求购买这两种纪念品各是多少件? (2)设购买蜀绣纪念品m(50≤m≤52)件,问组委会共有几种购买方案?哪一种方案总费用最低?则费用是多少元? 18.2026年郑州黄河文化节筹备期间,组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区,安排了两种货车运输物资.调查得知,3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品;4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品. (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品? (2)现有2700件物资需要再次运往该地,准备同时租用这两种货车,每辆货车均全部装满货物,若1辆小货车需租金400元/次,1辆大货车需租金500元/次.若组委会计划支出4000元用于租车,是否够用,请说明理由. 19.《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.其中《盈不足》章记载了一道数学问题:今有共买物,人出六,盈二;人出五,不足三.问人数、物价各几何?译文:今有人合伙购物,每人出6钱,会多出2钱;每人出5钱,又差3钱,问人数、物价各多少?请利用二元一次方程组解答上述问题. 20.为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召,某中学准备购进A,B两种品牌的排球.已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球,一共花费4600元;购进50个A品牌排球和30个B品牌排球,一共花费4900元. (1)求A,B两种品牌的排球的单价分别是多少元? (2)学校决定再次购进一批排球,正好赶上商场对排球的价格进行调整,每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元,每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售.如果该校计划出资1200元全部用于购进A,B两种品牌的排球(两种排球均购买),则学校共有几种购进方案?并列出所有可行的方案. 21.为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召,某中学准备购进A,B两种品牌的排球.已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球,一共花费4600元;购进50个A品牌排球和30个B品牌排球,一共花费4900元. (1)求A,B两种品牌的排球的单价分别是多少元? (2)学校决定再次购进一批排球,正好赶上商场对排球的价格进行调整,每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元,每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售.如果该校计划出资1200元全部用于购进A,B两种品牌的排球(两种排球均购买),则学校共有几种购进方案?并列出所有可行的方案. 22.有一个两位正整数,十位数字的8倍比原数小9,将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1,求原来的两位数.(列方程组解答) 23.10年前,小明妈妈的年龄是小明的6倍;10年后,小明妈妈的年龄是小明的2倍,小明和他妈妈现在的年龄分别是多少? 24.在长方形ABCD中,不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形,位置和尺寸如图所示.求小长方形的长和宽. 25.某校为补充课间体育器材,计划采购沙包和篮球共90个.已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元,购买5个沙包和8个篮球共花费300元. (1)沙包和篮球的单价各是多少元? (2)若采购总资金不超过1764元,且篮球的数量不少于沙包数量的,请问有几种购买方案?写出所有购买方案. 26.北京时间2025年5月20日19时50分,长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空.某超市为了满足广大航天爱好者需求,销售A,B两种型号运载火箭模型.下表是近两周的销售情况: 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2件 1件 350元 第二周 1件 2件 400元 求A、B两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元? 27.为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费,表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息:(水价计费=自来水销售费用+污水处理费用) 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价:元/吨 单价:元/吨 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨,交水费66元;5月份用水25吨,交水费91元. (1)求a,b的值. (2)小王家6月份交水费184元,则小王家6月份用水多少吨? 28.贴春联是中国人过年的重要习俗.春节临近,某百货超市用3960元购进A,B两种春联进行销售,春联的进价和售价如下表所示.全部销售后可获得利润810元. A种春联 B种春联 进价(元/副) 15 12 售价(元/副) 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副? (2)由于销量比较好,该超市决定再用1500元购进这两种春联(1500元正好用完且两种春联均购买),因货品紧俏,批发市场春联涨价,A种春联为20元/副,B种春联为17元/副,请问有哪几种购买方案? 参考答案 一、单选题 1.解:根据题意可列方程组为, 故选:B. 2.解:设火车的速度为每秒x米,车长为y米,由题意得 , 故选:B. 3.解:依题意,得:. 故选:A. 4.解:由题意知:x=y+3; 依题意,甲单独施工3天完成3x米,两队联合施工7天完成7(x+y)米, ∴, 即, 故选:D. 5.(解:根据题意列方程组为:; 故选:B. 6.解:设这个两位数十位为x,个位为y, 由题意得,, 解得:, 则这个两位数为:29. 故选:D. 7.解:设12:00时看到的两位数的十位数字为x,个位数字为y, 依题意得:, 解得, ∴10x+y=16,即12:00时看到的两位数是16. 故选:B. 8.解:由题意得:, 故选:A. 二、填空题 9.解:设AE=CG=x,AH=CF=y,DF=BH=m,DE=BG=n, ∵长方形ABCD的周长为16, ∴根据题意列二元一次方程得,x+y+m+n=8, 则⑤的长和宽为:y﹣m和n﹣x, 若⑤为正方形, 则y﹣m=n﹣x, ∴x+y=m+n, ∴x+y=m+n=4, ∴2(m+n)=8,即②的周长为8, ∵2(x+y)=9.4,即①的周长为9.4, ∴x+y=4.7, ∵x+y+m+n=8, ∴m+n=8﹣4.7=3.3, ∵⑤的长和宽分别为y﹣m和n﹣x, ∴⑤的长与宽之差为y﹣m﹣(n﹣x)=x+y﹣(m+n)=1.4, 故答案为:8,1.4. 10.解:由图②可知“九宫图”中各数字之间的关系: 4+9+2=15, 3+5+7=15, 8+1+6=15, 4+3+8=15, 9+1+5=15, 2+7+6=15, 4+5+6=15, 2+5+8=15, ∴“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等, 由图③中的第二行与第三列得: , 解得:, ∴x、y的值分别为﹣2、﹣6. 故答案为:﹣2、﹣6. 11.解:设明文为(x,y), 根据加密规则得二元一次方程组: , 解得:, 则发送的明文为:(3,2), 故答案为:(3,2). 12.解:设平板电脑原价为x元,哥哥的预算为y元. 根据题意, 解得: 则平板电脑的原价为2000元, 故答案为:2000. 13.解:设每尺绫的价格是x分,每尺绢的价格是y分, 根据题意得:, 解得:, 即每尺绢的价格是6分, 故答案为:6. 14.解:设小华从家里到学校的平路长为x米,坡路长为y米, 根据题意得:, 解得:, ∴x+y=300+400=700(米), ∴小华家离学校700米.故答案为:700. 三、解答题 15.解:(1)设每个篮球的售价为x元,每个足球的售价为y元,购买2个篮球和3个足球共需430元,购买3个篮球和2个足球共需420元, , 解得, 答:每个篮球的售价为80元,每个足球的售价为90元. (2)设甲的速度为mkm/h,乙的速度为nkm/h, 由题意得:, 解得:. 答:甲的速度为6km/h,乙的速度为4km/h. 16.(1)设快车、慢车的速度分别为xkm/h、ykm/h,(x>y)则由题意,得, , 解得, 即快车、慢车的速度分别为60km/h、40km/h, 答:快车、慢车的速度分别为60km/h、40km/h. (2)设时间为t小时,则由题意,得, (60+40)t+100=200或(60+40)t﹣100=200, 解得t=1或t=3, 答:两车相向而行,1小时或者3小时可以相距100km. 17.解:(1)设购买蜀绣纪念品x件,购买熊猫文创纪念品y件. 根据题意,得, , 解得, 即购买蜀绣纪念品40件,购买熊猫文创纪念品110件, 答:购买蜀绣纪念品40件,购买熊猫文创纪念品110件; (2)根据题意可知,共有三种购买方案: ( )购买蜀绣纪念品50件,购买熊猫文创纪念品100件,可得, 总费用=50 150+100 90=7500+90000=16500(元), ( )购买蜀绣纪念品51件,购买熊猫文创纪念品99件,可得, 总费用=51 150+99 90=16560(元), ( )购买蜀绣纪念品52件,购买熊猫文创纪念品98件,可得, 总费用=52 150+98 90=16620(元), 综上所述,购买蜀绣纪念品50件,购买熊猫文创纪念品100件时,总费用最低,为16500元. 18.解:(1)设1辆小货车一次满载运输x件文创产品,1辆大货车一次满载运输y件文创产品, 依题意列二元一次方程组得:, 解得:, 即1辆小货车一次满载运输300件文创产品,1辆大货车一次满载运输400件文创产品, 答:1辆小货车一次满载运输300件文创产品,1辆大货车一次满载运输400件文创产品; (2)该组委会计划支出4000元用于租车,够用,理由如下: 设租用小货车a辆,大货车b辆, 依题意列二元一次方程得:300a+400b=2700 解得 又∵a,b均为正整数, ∴当b=3,a=5;当b=6,a=1; ∴或 ∴共有2种租车方案, 方案1:租用5辆小货车,3辆大货车,租车费为400 5+3 500=2000+1500=3500元; 方案2:租用1辆小货车,6辆大货车,租车费为400 1+6 500=400+3000=3400元; 3500<4000;3400<4000; ∴该组委会计划支出4000元用于租车,够用. 19.解:设有x人,物价为y钱, 根据题意列二元一次方程组可得,, 解得. 即有5人,物价为28钱, 答:人数有5人,物价为28钱. 20.解:(1)设B品牌排球的单价是y元,A品牌排球的单价是x元, 根据题意,得, 解得, 答:A品牌排球的单价是50元,B品牌排球的单价是80元. (2)设购进B品牌排球n个,A品牌排球m个, 根据题意,得(50+10)m+0.9 80n=1200, 60m+72n=1200, ∴. 由题意得m,n均为正整数, 或或. ∴学校共有三种购进方案: 方案一:购进A品牌排球2个,B品牌排球15个;方案二:购进A品牌排球14个,B品牌排球5个;方案三:购进A品牌排球8个,B品牌排球10个. 21.解:(1)设B品牌排球的单价是y元,A品牌排球的单价是x元, 根据题意,得, 解得, 答:A品牌排球的单价是50元,B品牌排球的单价是80元. (2)设购进B品牌排球n个,A品牌排球m个, 根据题意,得(50+10)m+0.9 80n=1200, 60m+72n=1200, ∴. 由题意得m,n均为正整数, 或或. ∴学校共有三种购进方案: 方案一:购进A品牌排球2个,B品牌排球15个;方案二:购进A品牌排球14个,B品牌排球5个;方案三:购进A品牌排球8个,B品牌排球10个. 22.解:设原来的两位数的十位上的数字为x,个位上的数字为y, 根据题意得:, 解得:, 答:原来的两位数是41. 23.解:设小明现在的年龄是x岁,小明妈妈现在的年龄为y岁, 依题意,得:, 解得:. 答:小明现在的年龄是15岁,小明妈妈现在的年龄为40岁. 24.解:设小长方形宽为a,长为b, 根据题意得:, 解得:, 答:小长方形的长为8,宽为2. 25.解:(1)设沙包的单价为x元,篮球的单价为y元, 根据题意列二元一次方程组得: , 解得, 答:沙包的单价为12元,篮球的单价为30元. (2)设购买沙包m个,购买篮球(90﹣m)个, 根据题意列一元一次不等式组得: 解得:52≤m≤54, ∴一共有三种方案,分别是: 方案一:购买沙包52个,购买篮球38个; 方案二:购买沙包53个,购买篮球37个; 方案三:购买沙包54个,购买篮球36个. 26.解:设A种型号的销售单价为x元,B种型号的销售单价为y元, 根据题意列二元一次方程组得, ② 2﹣①得,3y=450, 解得y=150, 将y=150代入②中,得x+2 150=400, 解得x=100, ∴原方程组的解为, 即A种型号的销售单价为100元,B种型号的销售单价为150元, 答:A种型号的销售单价为100元,B种型号的销售单价为150元. 27.解:(1)根据题意可得, , 解得,, 即a的值是2.2,b的值是4.2; (2)设小王家6月份用水x吨, 根据题意知,30吨的水费为:17 2.2+13 4.2+30 0.8=116, ∵184>116, ∴小王家6月份计划用水超过了30吨 ∴6.0(x﹣30)+116+0.80 (x﹣30)=184, 解得,x=40 即小王家6月份用水量40吨. 28.解:(1)设购进x副A种春联,y副B种春联, 根据题意列二元一次方程组得,, 解得, 即该超市购进A种春联120副,B种春联180副, 答:该超市购进A种春联120副,B种春联180副. (2)设购进A种春联m副,B种春联n副, 根据题意列二元一次方程得,20m+17n=1500, 整理得,. 因为m,n均为正整数, 所以满足题意的m,n值为, 所以根据题意有4种购买方案, 方案一:购买58副A种春联,20副B种春联; 方案二:购买41副A种春联,40副B种春联; 方案三:购买24副A种春联,60副B种春联; 方案四:购买7副A种春联,80副B种春联. 学科网(北京)股份有限公司 $