4.1 数列的概念（第2课时 数列的递推公式）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念 学习目标 学科素养 1.通能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊与一般的数学思想.(重点) 3.能说出数列的前n项和的含义，能根据数列的前n项和的定义推出数列的通项an与前n项和Sn之间的关系： 并能根据这一关系由前n项和公式Sn求通项公式an,体会分类与整合的数学思想.(难点) 数学抽象 数学运算 逻辑推理 4.1 (第2课时) 数列的递推公式 人教A版2019选择性必修第二册 把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项 第2项 第n项 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… (n∈N*). 简记作{an} . 注: 右下角标表示这一项在数列中的位置序号 {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an 表示数列{an}中的第n项. 定义： 复习导入 数列的分类 与函数类似，我们可以定义数列的单调性： 递减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 常数列：各项相等的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 对任意n∈N*，总有an+1=an (或an+1-an=0). 如：2，4，6，8，10，… 如：2，3，2，5，2，7，… 如：1，，，，，… 如：1，1，1，1，… 按数列中项的个数进行分类 有穷数列：个数有限的的数列 无穷数列：个数无限的的数列 周期数列：项呈周期性变化. 复习导入 数列的通项公式： 如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. 并不是每个数列都能写出通项公式. 复习导入 an＝f(n) 探究新知 例3.如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 令n2+2n=120 解这个关于n的方程，得 n=10 所以，120是这个数列的项，是第10项． 解： 探究新知 例4.图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 着色的三角形个数: 1 3 9 27 思考:换个角度你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？ 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算去寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察. ×3 ×3 ×3 a1=1 a2=3a1 a3=3a2 a4=3a3 从第二项起，后一项是前一项的3倍 3an-1(n≥2) 1(n=1) an= 猜想 探究新知 数列的递推公式 思考:通项公式与递推公式有什么联系呢？ 项与序号之间的关系: 项与项之间的关系： 区 别: 1，3，9，27，… 递推公式 通项公式 联 系: 两者都能确定一个数列. 像这样. 知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 探究新知 例5.已知数列{an}的首项为a1 =1，递推公式为 写出这个数列的前5项． 探究新知 变式.已知数列{an}的首项为a1 =2，递推公式为 写出这个数列的前5项． 探究新知 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 问题3 什么是数列的前n项和？ 数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即 Sn =a1+a2+...+an . 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 问题4:数列的前n项和公式与数列的通项公式有什么关系呢？ 探究新知 = 当n≥2时， 当n = 1时， ★ Sn 与an的关系式： 由Sn求an 探究新知 例.已知数列{an}的前n项和公式为Sn =n2+n，你能求出{an}的通项公式吗？ 当n=1时，a1=2×1=2，a1满足上式. 当n = 1时， 当n≥2时， 综上所述，{an}的通项公式是an =2n . 解： 分段求解 检验结果能否统一形式 由Sn求an 探究新知 变式:已知数列{an}的前n项和公式为Sn =2n2－n＋1，求an. 当n=1时，4×1-3=1≠a1，a1不符上式. 当n = 1时， 当n≥2时， 综上所述，{an}的通项公式是 . 解： 分段求解 检验结果能否统一形式 探究新知 探究新知 1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 探究新知 2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 试猜想它们的通项公式 探究新知 探究新知 1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 递推公式 探究新知 思考：如何由递推公式求通项公式？ 35 探究新知 1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式. 解：（1）由递推式可得， a2－a1 = 1， a3－a2 = 1， … an－an－1 = 1 把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1 ∴数列的通项为 an = n. 又 a1 = 1 总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式. 累加法求通项公式 探究新知 2.已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式. 解：由递推式可得 ∴数列的通项为 . 把以上n-1个式子相乘得 又 a1 = 1 总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式. 累乘法求通项公式 探究新知 方法总结 由数列的递推公式求通项公式的常用方法 1.累加法 一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，常用an= (an - an-1 )+ (an-1 - an-2 )+…+(a2 - a1 )+a1求通项公式. 2.累乘法 一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，常用 求通项公式. 题型一 数列的周期性问题 变式训练 解析 探究新知 探究新知 题型一 数列的周期性问题 变式训练 解析 探究新知 题型一 数列的周期性问题 变式训练 解析 探究新知 题型二 数列最值问题的求解 例题 分析 解析 探究新知 题型二 数列最值问题的求解 方法总结 求数列最值的常用方法 探究新知 题型二 数列最值问题的求解 变式训练 解析 探究新知 题型二 数列最值问题的求解 变式训练 解析 1.数列的递推公式：数列的相邻两项或多项之间的关系式. 2.数列的前n项和：Sn =a1+a2+...+an 数列的前n项和公式：Sn 与n之间的关系式. 3.Sn与an的关系： 知道了首项和递推公式，就能依次求出数列的每一项了. 课堂小结 课堂小结 方法总结 由数列的递推公式求通项公式的常用方法 1.累加法 一般递推关系为 ， 常用an= (an - an-1 )+ (an-1 - an-2 )+…+(a2 - a1 )+a1求通项公式. 2.累乘法 一般递推关系为 常用 求通项公式. an+1 - an = f (n) 作业布置 1.导学案:P1-P7. 2.课时作业（一） 课后作业答案 教科书第9页习题4.1第4题 课后作业答案 教科书第9页习题4.1第5题 5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项． 课后作业答案 课本P9-4.已知数列{an}满足a1=1，a2=2，以后各项由an=an－1 +an－2(n≥3)给出， 则数列的前9项分别是________________________________. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 斐波那契数列(又称黄金分割数列)：1，1，2， 3， 5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，…… ①an=an－1 +an－2(n≥3)：从第3项开始，每一项都等于前两项之和； 知识拓展 向日葵花盘上的螺旋线条， 顺时针的螺旋线：21条； 逆时针的螺旋线：34条。 知识拓展 斐波那契数与松果 松果上的螺旋线条， 顺时针的螺旋线：8条； 逆时针的螺旋线：13条。 斐波那契数与海螺 斐波那契螺旋线 知识拓展 绘制斐波那契螺旋线，验证课本P11的结论 {an}: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… +…+ 随着边长的增加，螺旋线的形状越来越接近“黄金比例螺旋”. 前n个小正方形的面积和为相邻两个斐波那契数an与an+1之积 (n≥2) 知识拓展 知识拓展 斐波那契在《算盘书》中的兔子繁殖问题 (兔子数单位：对) 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子? 知识拓展 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，求an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式为：an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式要分段表示为:an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2.)) 在数列中，，，则等于（ ） A． B． C．2 D．3 由题意知，，当时，； 当时，；当时，； 当时，；…， 所以数列是周期为3的周期数列，故． 故选：B 若数列满足，，，则 . 由，得， 因此数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故答案为：2 若数列满足，，，则 . 由，得， 则，因此数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故答案为：2 已知数列的通项公式是，试问数列有没有 最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 根据题意，计算，判断数列单调性即可求解. 因为， 所以当时，；当时，；当时，． 于是，数列的第8项和第9项为最大项，且， 即最大项为. (1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值. (2)通过建立不等式组求解:若设第()项最大,则有解该 不等式组确定的值即得数列的最大值（注意）. (3)通过建立不等式组求解:若设第()项最大,则有解该 不等式组确定的值即得数列的最小值（注意）. 已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． （1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. 已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． （2）由已知得， 当时，， 则，即，得， 即， 所以当，的最大项为第7项，又， 所以数列的最大项是该数列的第7项. $