重难专题 数列的递推公式与通项公式（11大基础题型+能力提升+拓展提升）（专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

培优专题01 数列的递推公式及通项公式 题型一 求递推公式 1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【解析】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含， 由此可得数列满足. 故选：B． 2．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的， 所以递推公式为，故C正确，D错误. 故选：C. 3．数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将代入四个选项中， 对于A，，所以A不满足； 对于B，，所以B满足； 对于C，，所以C不满足； 对于D，，所以D不满足 所以只有B满足， 故选：B 题型二 周期数列 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题知， 所以3是数列的一个周期，所以. 故选：C. 2．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）设数列中，，（），则（   ） A．-1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意知数列中，，（）， 则， ， 故数列是以3为周期的数列，则， 故选：A 3．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由数列满足， 可得， 所以数列是周期数列，且周期为，则. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）设数列满足：，，那么等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为，设， 所以，，， .所以数列是以4为周期的周期数列. 所以，所以. 故选：A. 题型三 观察法求通项公式 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【解析】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，取前六项得2，0，2，0，2，0，不满足条件，故A错误； 对于B，，取前六项得，不满足条件，故B错误； 对于C，，取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件，故C正确； 对于D，，取前六项得0，2，2，8，12，22，不满足条件，故D错误． 故选：C 3．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式有，故B正确； 对于A，当时，，这与条件不符，故A错误； 对于C，当时，，这与条件不符，故C错误； 对于D，当时，，这与条件不符，故D错误. 故选：B. 题型四 累加法求通项公式 1．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 所以当时，， 累加得当时，， 又当时，也满足，所以， 所以. 故选：C 2．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列满足，， 所以， 所以， 则， 所以，故选：A. 3．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【解析】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 4．（24-25高三上·福建三明·月考）若数列满足，数列的前项和为，则 . 【答案】 【解析】由，则, 当时，上式相加得，又， 所以，又符合上式， 可知，所以， 所以. 题型五 累乘法求通项公式 1．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 2．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【解析】由得， ， .故选：D 3．（24-25高三上·天津·月考）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 所以是常数列，所以， 又，所以．故选：B 4．（24-25高三上·河南驻马店·月考）若数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 题型六 Sn与an型求通项 1．（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知数列的前项和满足：，且，那么（    ） A．2 B．4 C．2026 D．2028 【答案】A 【解析】由数列满足，且， 令，可得，即， 再令，可得. 故选：A. 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段练习）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【答案】D 【解析】由，得. 故选：D 3．（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）已知数列的前项和为，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以当时， ，所以. 当时，， 所以， 化简得. 所以. 因为，所以是首项为4，公比为2的等比数列. 所以.所以. 故. 故选：B. 题型七 常数型构造求通项公式 1．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，∴. 故选：A. 2．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 题型八 n阶型构造同除求通项公式 1.已知在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，解得．故选：A 2.已知数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 于是同除得， 因此数列是公差为1的等差数列，首项， 则，所以.故选：D 3.数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________. 【答案】． 【解析】∵，所以，即， ∴是等差数列，而， 所以， 所以． 故答案为：． 题型九 分式型取倒数求通项公式 1．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 2．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，即． 题型十 待定系数法求通项公式 1．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ． 【答案】 【解析】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 2．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知，当时，，则的通项公式为 【答案】 【解析】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 题型十一 相邻三项构造求通项公式 1.已知数列满足：，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 由得，即， 所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4， 所以．故选：C． 2.已知数列的前n项和为，且，，则__________． 【答案】 【解析】由题意得，所以，解得， 又因为，于是， 因此数列是以为首项、2为公比的等比数列， 故，于是， 因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列， 故，故, 故答案为： 3.已知数列中，，，，求（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 则， ∴，解得或， 当，时，， ∴是以首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴，. 当，时,， ∴是以首项为，公比为的等比数列，∴， 设，解得， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴，故选：A. 1．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且， 所以，， ，，， 所以是以4为周期的周期数列，所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·期中）已知数列中，，，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由可得  ①，当时，  ②， 将②式代入①式可得，，即， 即数列是以3为周期的周期数列，故． 故选：B. 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 4．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 5．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【解析】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 6．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，即， 所以，故数列为常数列，故， 因此，. 故选：C. 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【解析】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 8．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知正项数列，满足，，则（    ） A．2 B． C．2024 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以当时，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为数列为正项数列， 所以， 所以，所以， 所以，又， 所以，所以 故选：D． 9.若是数列的前n项和，已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得当时，， 设，得， 也满足上式， 故，， 故，故选：A 10.在数列中，，，则的值为( ) A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】∵，，∴，解得. ∵，∴，两式相减得，， ∴， ∴是以＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴，两边同除以，则， ∴是以为公差，为首项的等差数列， ∴， ∴， ∴.故选：A. 11．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则 【答案】 【解析】已知，当时，有， 两式相减得：，即， 所以时，有， 时，由，有，又，解得， 则，，， 故当时，为等比数列，公比为2， 当时，，故，所以. 12．（25-26高三上·天津武清·阶段练习）设为数列的前项和，若，则 【答案】513 【解析】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，所以. 故答案为：513 13.已知数列满足，且，则的通项公式_________. 【答案】 【解析】由,得，则， 由得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，， 所以， 当时，也适合上式，所以， 14．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由得：， 当且时，， ， 即， 又，，； ，，解得：， 数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）方法一：由（1）得：， 当且时，，， ， 当时，满足， 综上所述：. 方法二：由（1）得：； ，，， ，令，则数列为常数列， ，. 15．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为，所以，所以当时， ， 又，符合上式，所以； （2）由，得，又， 所以数列以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以； （3）因为，所以，又，所以； 因为，所以 ， 又，所以， 则． 1．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，则（    ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】C 【解析】函数的周期为：，即每8项重复一次. 计算到8内的和： 由题可知总共2024项，所以， 同理有 所以 故选：C． 2.两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________. 【答案】 【解析】因为，， 所以， 所以，即， 所以的特征方程为，解得特征根或， 所以可设数列的通项公式为，因为，， 所以，所以，解得， 所以，所以； 3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由条件，当时，， 所以累加得 又，所以， 取也成立，所以． （2）由， 相减，得， 所以． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01 数列的递推公式及通项公式 题型一 求递推公式 1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 2．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 3．数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（    ） A． B． C． D． 题型二 周期数列 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）设数列中，，（），则（   ） A．-1 B． C．2 D． 3．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）设数列满足：，，那么等于（   ） A． B．2 C． D． 题型三 观察法求通项公式 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 题型四 累加法求通项公式 1．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 . 4．（24-25高三上·福建三明·月考）若数列满足，数列的前项和为，则 . 题型五 累乘法求通项公式 1．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 3．（24-25高三上·天津·月考）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 4．（24-25高三上·河南驻马店·月考）若数列满足，，则 ． 题型六 Sn与an型求通项 1．（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知数列的前项和满足：，且，那么（    ） A．2 B．4 C．2026 D．2028 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段练习）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 3．（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）已知数列的前项和为，满足，则（  ） A． B． C． D． 题型七 常数型构造求通项公式 1．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 题型八 n阶型构造同除求通项公式 1.已知在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 2.已知数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 3.数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________. 题型九 分式型取倒数求通项公式 1．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 题型十 待定系数法求通项公式 1．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ． 2．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知，当时，，则的通项公式为 题型十一 相邻三项构造求通项公式 1.已知数列满足：，，则（ ） A． B． C． D． 2.已知数列的前n项和为，且，，则__________． 3.已知数列中，，，，求（ ） A． B． C． D． 1．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·期中）已知数列中，，，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 6．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 8．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知正项数列，满足，，则（    ） A．2 B． C．2024 D． 9.若是数列的前n项和，已知，，且，则（ ） 10.在数列中，，，则的值为( ) A． B． C． D．无法确定 11．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则 12．（25-26高三上·天津武清·阶段练习）设为数列的前项和，若，则 13.已知数列满足，且，则的通项公式_________. 14．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式． 15．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 1．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，则（    ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 2.两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________. 3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $