第七章 万有引力与宇宙航行（易错56题20大考点）-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第七章 万有引力与宇宙航行（易错56题20大考点）（原卷版） 一．天体运动的探索历程（共3小题） 二．开普勒三大定律（共4小题） 三．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共3小题） 四．万有引力的基本计算（共2小题） 五．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共4小题） 六．计算天体的质量和密度（共3小题） 七．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义（共3小题） 八．宇宙速度的计算（共3小题） 九．同步卫星的特点及相关计算（共3小题） 十．近地卫星（共3小题） 十一．卫星或行星运行参数的计算（共2小题） 十二．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共3小题） 十三．卫星的发射及变轨问题（共3小题） 十四．卫星的追及相遇问题（共2小题） 十五．双星系统及相关计算（共3小题） 十六．多星系统及相关计算（共2小题） 十七．中子星与黑洞（共3小题） 十八．拉格朗日点（共2小题） 十九．狭义相对论的原理和两个基本假设（共3小题） 二十．牛顿力学的适用范围与局限性（共2小题） 一．天体运动的探索历程（共3小题） 1．以下关于行星运动及万有引力的描述正确的是（　　） A．开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是椭圆，行星在椭圆轨道上各个地方的速率均相等 B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于不同性质的力 C．牛顿提出的万有引力定律只适用于天体之间 D．卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量的数值 2．关于引力常量G，下列说法中正确的是（　　） A．引力常量G的值是由牛顿第一次比较准确地测出的 B．引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比 C．引力常量G的物理意义是：两个质量都是1 kg的物体相距1 m时相互吸引力为6.67×10﹣11N D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制的选择无关 3．（多选）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离成反比”的猜想 B．牛顿根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论 C．牛顿根据F∝m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F∝m1m2 D．卡文迪许用“月﹣地检验”检验了万有引力定律的正确性 二．开普勒三大定律（共4小题） 4．下列关于行星运动的描述正确的是（　　） A．所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟自转周期的二次方的比值都相等 D．所有行星轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等 5．质量为m的人造地球卫星与地心距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。如图，该卫星开始时在半径为R的圆轨道Ⅰ上绕地球做圆周运动，某时刻经过A点加速进入椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ上远地点B到地心的距离为3R，忽略加速后卫星的质量变化，则（　　） A．卫星在Ⅰ轨道上运行时线速度大小为 B．卫星在Ⅱ轨道上运行的周期为 C．卫星在Ⅰ轨道上运行时机械能为 D．卫星经过B点时的速度大小为 6．如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ。则地球与行星绕太阳转动的（　　） A．线速度比值为 B．角速度比值为 C．向心加速度比值为sinθ D．向心力比值为sin2θ 7．2019年4月人类首张黑洞照片公布，再一次激起了人们对浩瀚宇宙深入探索的热情，经长期观测发现，宇宙中绕某恒星O运行的行星A可看成做匀速圆周运动，如图所示，行星A的轨道半径为R0．周期为T0，但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离（总体上行星仍然可看成匀速圆周运动）。天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星在远离恒星方向的外侧与其共面的圆形轨道上可能还存在着一颗未知轨道半径的行星B（认为B近似做匀速圆周运动），已知t0T0，则 （1）请说明A、B两行星的圆周运动方向是否相同； （2）求行星B的轨道半径。 三．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共3小题） 8．关于万有引力和重力，下列说法正确的是（　　） A．万有引力定律公式中的G是一个比例常数，没有单位 B．到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的 C．两物体受到彼此的万有引力是一对平衡力 D．若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，则它们间的万有引力也变为原来的一半 9．要使两个物体之间的万有引力减小到原来的，可采用的方法是（　　） A．使两物体之间的距离增至原来的2倍，质量不变 B．使两物体的质量各减少一半，距离增至原来的2倍 C．使其中一个物体的质量减为原来的，距离减为原来的 D．使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的 10．开普勒于1609年和1619年发表了行星运动三定律，其中k，k为开普勒常量；牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳和行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其它天体的影响。 （1）通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式（选用用MS、MP、L、G和其它常数表示）； （2）实际上太阳并非保持静止不动，如图所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为k′，请推导k的表达式（用MS、MP、L、G和其它常数表示），并说明k′＝k需满足的条件。 四．万有引力的基本计算（共2小题） 11．如图所示两球之间的距离是r，两球的质量分布均匀，大小分别是m1和m2，半径分别是r1和r2，则两球间的万有引力大小为（　　） A．G B．G C．G D．G 12．（多选）与地球公转轨道相切于A点的小行星甲和相切于B点的小行星乙的公转轨道如图所示，A为小行星甲的近日点，B为小行星乙的远日点。假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，万有引力常量为G，则（　　） A．小行星甲在A点的速度大于乙在B点的速度 B．小行星乙在B点的加速度小于甲在A点的加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．若已知甲的公转周期为T1，则太阳质量 五．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共4小题） 13．木星是太阳系中拥有最多卫星的行星，多达92颗，其中木卫一、木卫二、木卫三、木卫四是意大利天文学家伽利略在1610年用自制的望远镜发现的，这四颗卫星被后人称为伽利略卫星。木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的周期之比为1：9。则木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的线速度之比为（　　） A． B．3：1 C． D．9：1 14．同一“探测卫星”分别围绕某星球和地球多次做圆周运动。“探测卫星”在圆周运动中的周期二次方T与轨道半径三次方r3的关系图像如图所示，其中P表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足T2＝c，图中c、m、n已知，则（　　） A．该星球和地球的密度之比为m：n B．该星球和地球的密度之比为n：m C．该星球和地球的第一宇宙速度之比为 D．该星球和地球的第一宇宙速度之比为 15．（多选）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到O'的距离为x，则（　　） A．列车在隧道中A点的合力大小为mg B．列车在P点的重力加速度小于g C．列车在P点的加速度 D．列车在P点的加速度 16．我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是：F＝G．但是，在某些特殊情况下，非质点之间的万有引力计算及其应用的问题，我们可以利用下面两个已经被严格证明是正确的结论，而获得快速有效地解决： a．若质点m放置在质量分布均匀的大球壳M（球壳的厚度也均匀）的空腔之内，那么m和M之间的万有引力总是为零。 b．若质点m放置在质量分布均匀的大球体M之外（r≥r0），那么它们之间的万有引力为：F＝G，式中的r为质点m到球心之间的距离；r0为大球体的半径。 假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，通过地球的南北两极之间能够打通一个如图所示的真空小洞。若地球的半径为R，万有引力常数为G，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动。 （1）求：小球运动到距地心为0.5R处的加速度大小a； （2）证明：小球在洞内做简谐运动； （3）求：小球在运动过程中的最大速度vm。 六．计算天体的质量和密度（共3小题） 17．已知嫦娥六号在环月圆轨道上运行的周期为T，轨道半径与月球半径之比为k，万有引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 18．2024年10日21时50分，中国在西昌卫星发射中心成功将卫星互联网高轨星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知高轨卫星03星绕地球近似做圆周运动，卫星距离地面高度为h，环绕周期为T，已知引力常量为G，地球半径为R。则下列说法正确的是（　　） A．03星运行的线速度大于7.9km/s B．03星运行的线速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的密度为 19．我国计划在2030年前实现载人登月计划，该计划各项工作进展顺利。假设我国航天员登陆月球后，从月表以初速度v0竖直向上抛出一颗小球（可视为质点），经过时间t小球落回到抛出点。已知月球半径为R，引力常量为G，月球无空气且不考虑月球自转。求： （1）月球表面的重力加速度g月； （2）月球的质量M。 七．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义（共3小题） 20．最新观测到一颗与地球相似的M星球，观测发现M星球有一颗近地卫星，当地球的近地卫星转了5圈时，M星球的近地卫星只转了1圈，M星球的半径约为地球半径的，设地球和M星球的密度、表面的重力加速度分别用，ρ1、ρ2、g1、g2表示。则下列说法正确的是（　　） A．地球与M星球的第一宇宙速度之比为5：1 B．地球和M星球的密度之比ρ1：ρ2＝1：25 C．M星球的自转角速度增加到（R1为地球半径）时，会发生解体 D．地球和M星球表面的重力加速度之比g1：g2＝50：1 21．2021年5月，我国天问一号着陆器顺利降落在火星乌托邦平原，实现了我国首次火星环绕、着陆、巡视探测三大目标，一次性实现这三大目标在人类历史上也是首次。已知火星与太阳的距离是地球与太阳距离的1.5倍，火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，火星与地球均视为质量均匀的球体，它们的公转轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　） A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度 B．天问一号着陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的 C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的 D．火星公转的加速度约为地球公转加速度的 22．据国家航天局副局长介绍，中国探月工程三期圆满收官后，探月四期已全面启动。中国航天将坚持面向世界航天发展前沿、而向国家航天重大战略需求，陆续发射嫦娥六号、嫦娥七号、嫦娥八号探测器，开展关键技术攻关和国际月球科研站建设等工作。其中嫦娥六号计划到月球背面采样，并正在论证构建环月球通信导航卫星星座。如果2028年我国的月球科研站建成后，宇航员在月球表面以速度v0竖直上抛一小球，经时间t小球返回抛出点。已知月球的半径为R，求 （1）月球表面的重力加速度g′； （2）月球的第一宇宙速度大小。 八．宇宙速度的计算（共3小题） 23．2019年1月3日“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度。已知地球和月球的半径之比约为4：1，分别在离月球表面高度为h处和离地球表面高度为h处自由下落的小球运动时间之比为，由此可知（　　） A．地球表面重力加速度和月球表面重力加速度之比为 B．小球在地球表面落地的速度和在月球表面落地的速度之比为6：1 C．地球的质量与月球的质量之比为96：1 D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为8：1 24．（多选）在星球A上将一小物块P竖直向上抛出，P的速度的二次方v2与位移x间的关系如图中实线所示；在另一星球B上用另一小物块Q完成同样的过程，Q的速度的二次方v2与位移x间的关系如图中虚线所示。已知A的半径是B的半径的，若两星球均为质量均匀分布的球体（球的体积公式为Vπr3，r为球的半径），两星球上均没有空气，不考虑两星球的自转，则（　　） A．相同物体分别在A、B星球表面相同高度下落，重力做功之比为9：1 B．物Q抛出上升到最高点的时间是物P下落回原处的时间的9倍 C．星A的密度是星B的密度的9倍 D．星A的第一宇宙速度是星B的第一宇宙速度的倍 25．已知地球半径为R，地球的质量为M，不考虑地球自转的影响． （1）推导地球的第一宇宙速度的表达式： （2）某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，若取地球的第一宇宙速度为8km/s，求该行星的第一宇宙速度的大小． 九．同步卫星的特点及相关计算（共3小题） 26．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（　　） A．距地面的高度变小 B．向心加速度变小 C．线速度变大 D．角速度变大 27．（多选）我国自主研制建设的卫星移动通信系统“天通一号”，目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球同步卫星运行的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星只能位于赤道上方某一高度的稳定轨道上 B．地球同步卫星离地球表面的高度都相同，均为 C．地球同步卫星的向心加速度与地球表面赤道上静止物体的向心加速度相同 D．地球同步卫星绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s 28．2025年6月20日，我国自主研发的广播电视专用直播卫星中星9C在西昌发射成功。如图所示，该卫星在东经92.2°赤道上空的同步轨道上运行，已知地球质量为M、半径为R、自转周期为T，引力常量为G，用题中已知物理量的符号表示： （1）地球的第一宇宙速度； （2）中星9C距离地面的高度； （3）中星9C的加速度与地球表面的重力加速度的比值。 十．近地卫星（共3小题） 29．如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知P、Q、M三颗卫星均做匀速圆周运动，其中P是地球同步卫星，则（　　） A．卫星Q也可能相对地面静止 B．卫星P的周期大于卫星M的周期 C．卫星P的线速度大小等于卫星M的线速度大小 D．地球对卫星P的引力一定小于地球对卫星M的引力 30．2024年2月29日，我国成功将互联网卫星01星送入预定轨道，若将该卫星轨道近似为圆形，其围绕地球做匀速圆周运动的周期可表示为，则（　　） A．a为地球半径，b为地球表面的重力加速度，c为卫星的轨道半径 B．a为卫星的轨道半径，b为地球表面的重力加速度，c为地球半径 C．a为地球半径，b为该卫星的向心加速度，c为卫星的轨道半径 D．a为卫星的轨道半径，b为该卫星的向心加速度，c为地球半径 31．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。如图所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。求： （1）地球的质量M； （2）第一宇宙速度v1的表达式； （3）该北斗卫星的轨道距离地面的高度h。 十一．卫星或行星运行参数的计算（共2小题） 32．哈雷彗星是能用裸眼从地球看见的短周期彗星。哈雷彗星在近日点a处与地球公转轨道相切，运行轨迹如图所示。在相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积分别为S1、S2，地球与太阳连线扫过的面积为S3。天体均视为质点。下列说法正确的是（　　） A．哈雷彗星在a点的速度小于c点的速度 B．面积S1和S3相等 C．从b点逆时针第一次运行到c点的过程，太阳对哈雷彗星的引力做正功 D．在a点地球的加速度大小等于哈雷彗星的加速度大小 33．（多选）截至2025年5月，我国在轨卫星的数量已超过1000颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星A绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T0。另一颗做圆周运动的地球同步卫星B到地心的距离为2（a+b）。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．根据已知条件，可估算卫星A的运转周期T0为3h C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算卫星A在近地点的加速度大小是卫星B的倍 十二．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共3小题） 34．火星和地球都是太阳的行星，火星质量为地球质量的，火星半径为地球半径的，火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径的比值为k（k＞1），忽略火星和地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．火星表面与地球表面的重力加速度之比为2：5 B．地球的公转周期大于火星的公转周期 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星和地球的向心加速度大小之比为k2：1 35．木星一共有79颗卫星，其中最大的4颗是1610年由伽利略•伽利雷发现的，因此它们又被称为“伽利略卫星”，按照距离木星的距离依次是木卫一、木卫二、木卫三和木卫四，它们的轨道呈圆形，其轨道平面几乎都和木星的赤道面重合。其中木卫一、木卫二与木卫三的周期之比为1：2：4。木卫三是太阳系中最大的卫星，其半径约为地球半径的，其质量约为地球质量的，其绕木星运动的轨道半径约为月球绕地球运动的轨道半径的3倍。木星质量约为地球质量的320倍。以下说法正确的是（　　） A．木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径之比为 B．木卫一、木卫二、木卫三的线速度大小之比为16：4：1 C．木卫三表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为5：32 D．木卫三绕木星运动的公转周期与月球绕地球的公转周期之比为 36．如图所示，A是地球的一颗同步卫星，O为地球中心，地球半径为R，地球自转周期为T0。另一卫星B的圆形轨道也位于赤道平面内，且距地面的高度h＝R，地球表面的重力加速度大小为g。 （1）求卫星B所在处的重力加速度； （2）求卫星B的运行周期T1； （3）若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，求从A、B两卫星相距最近时刻到紧邻的相距最远时刻的时间间隔Δt0（用T0和T1表示）。 十三．卫星的发射及变轨问题（共3小题） 37．2020年4月24日，国家航天局将我国行星探测任务被命名为“天问（Tianwen）系列”。根据计划，2020年我国将实施“天问一号”，目标是通过一次发射任务，实现“火星环绕、火星表面降落、巡视探测”三大任务。若探测器登陆火星前，除P点在自身动力作用下改变轨道外，其余过程中仅受火星万有引力作用，经历从椭圆轨道Ⅰ→圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的过程，如图所示，则探测器（　　） A．在轨道Ⅰ上从P点到Q点的过程中，速度变大 B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期 C．在轨道Ⅲ上运行速度大于火星的第一宇宙速度 D．在轨道Ⅲ上P点受到火星万有引力等于在轨道Ⅱ上P点受到火星万有引力 38．如图所示，发射距地球较远的圆轨道卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为目标圆轨道上的Q点），到达远地点Q时再次变轨，使卫星在目标圆轨道上稳定运动。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在目标圆轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，三个轨道在P、Q两点的加速度分别为a1、a2P、a2Q、a3，则下列说法正确的是（　　） A．发射卫星时为了节约能源可以由东向西发射 B．a1＞a2P＞a2Q＞a3 C．T1＞T2＞T3，v2＞v1＞v4＞v3 D．在P、Q点变轨时，想让卫星进入远离地球的目标轨道，需要在P、Q点加速，如想让在目标轨道上运动的卫星返回近地圆轨道，则需要在Q、P点减速 39．（多选）2025年2月20日，我国航天科技研制的实践25号卫星在距离地面36000km的同步轨道，成功实现了人类历史上首次太空加油。如图为实践25号卫星发射的简化示意图，实践25号卫星经过多次变轨到达圆轨道Ⅰ，然后经轨道Ⅱ最终进入预定圆轨道Ⅲ。已知轨道Ⅰ距离地面高度为27944km，地球的半径为6400km，轨道Ⅰ、Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ、Ⅲ相切于Q点。下列说法正确的是（　　） A．实践25号卫星由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ应在P点加速 B．实践25号卫星在轨道Ⅰ的线速度小于在轨道Ⅲ的线速度 C．实践25号卫星在轨道Ⅱ经过Q点时的加速度大于在轨道Ⅲ经过Q点时的加速度 D．实践25号卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ的周期之比为93：103 十四．卫星的追及相遇问题（共2小题） 40．2024年9月21日发生海王星冲日现象，即海王星、地球、太阳三者处于同一直线，此时是观察海王星的最佳时间。已知地球到太阳距离为1个天文单位，海王星到太阳距离约为30个天文单位，则下列说法正确的是（　　） A．发生海王星冲日时太阳位于地球和海王星之间的某一点 B．海王星绕太阳公转的周期约为164年 C．上一次出现海王星冲日现象是在2022年9月的某一天 D．在相同时间内，海王星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等 41．假设太阳系中各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球公转的轨道半径为r，公转周期为T0，万有引力常量为G。假设地外行星绕太阳公转的轨道半径为4r。求： （1）太阳的质量M； （2）地外行星绕太阳公转的周期T； （3）经历“行星冲日”后再经过多长时间又会出现“行星冲日”。 十五．双星系统及相关计算（共3小题） 42．如图所示，相距为L的A、B星球构成的双星系统正绕O点做匀速圆周运动，运动周期为T，环绕半径分别为RA、RB，且RA＜RB。C为B的卫星，D为A的卫星，C、D做匀速圆周运动的轨道半径均为R，忽略A与C、B与D之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B、A与D之间的引力。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．D绕A运行的周期等于C绕B运行的周期 B．C绕B运行的周期等于 C．A、B的质量之比为 D．A、B的质量之和为 43．（多选）天文学家观测到一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，如图甲所示。在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到恒星a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图乙所示，引力常量为G。对该双星系统，下列说法正确的有（　　） A．该双星系统的周期为t0 B．恒星a、b的线速度之比为va：vb＝4：3 C．该双星系统的总质量为 D．点A观测到两个天体的投影运动均为简谐运动 44．2023年6月，中国天眼FAST发现了一个名为PSRJ1953+1844的双星系统，该双星系统是目前发现运行周期最短的脉冲星双星系统。假设该双星系统是由两颗质量之和为M的脉冲星组成，二者之间距离为L，绕连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G，求： （1）该双星系统的运行周期T； （2）该双星的线速度大小之和v。 十六．多星系统及相关计算（共2小题） 45．随着人类对太空的不断探索，发现太空中存在如图所示的三星系统，三颗质量均为m的星体位于正三角形的三个顶点，三颗星体环绕正三角形的中心做匀速圆周运动，理论上其环绕周期为T，通过测量实际上环绕周期为kT，造成这一现象的原因可能是中心O处存在一未知天体，忽略其他星系的影响，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．理论上，正三角形的边长为 B．理论上，三颗星体的线速度大小为 C．理论上，三颗星体的加速度大小为 D．中心O处未知天体的质量为 46．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，现观测到某三星系统三颗星A、B、C分别分布在边长为L的正三角形三个顶点，质量分别为2m、m和m，三颗星相对位置不变，在同一个平面内绕一公共圆心做匀速圆周运动。已知引力常量为G，求： （1）A星体所受万有引力的大小； （2）三星系统公转的周期。 十七．中子星与黑洞（共3小题） 47．近来，有越来越多的天文观测现象和数据证实黑洞确实存在．科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速度，为第一宇宙倍）超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的第一宇宙速度为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（　　） A． B． C． D． 48．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则（　　） A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力 C．两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越大 D．两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越小 49．黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，求： （1）该黑洞的质量； （2）该黑洞的最大半径。 十八．拉格朗日点（共2小题） 50．我国在2018年5月21日发射了嫦娥四号的中继星“鹊桥”，为我国嫦娥四号卫星在月球背面的工作提供通讯支持；“鹊桥”号随月球同步绕地球运动，并绕地月连线的延长线上的一点（拉格朗日点L2）做圆周运动，轨道被称为“晕轨道”，已知引力常量为G．下列说法正确的是（　　） A．静止在地球上的观察者认为“鹊桥”号做圆周运动 B．“鹊桥”号受地球引力、月球引力和向心力作用 C．已知月球绕地球公转的周期和半径可以求得地球质量 D．已知“鹊桥”号的周期和轨道半径可以测得月球质量 51．拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使小物体稳定的点（小物体质量相对两大天体可忽略不计）。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的，1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，其中连线上有三个拉格朗日点，分别是L1、L2、L3，如图所示。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统平衡点L2点做周期运动，通过定期轨控保持轨道的稳定性，可实现对着陆器和巡视器的中继通信覆盖，首次实现地月L2点周期轨道的长期稳定运行。设某两个天体系统的中心天体质量为M，环绕天体质量为m，两天体间距离为L，万有引力常量为G，L1点到中心天体的距离为R1，L2点到中心天体的距离为R2。求： （1）处于L1点小物体的向心加速度； （2）处于L2点小物体运行的线速度； （3）若R2：L＝8：7，试求M：m的值（保留3位有效数字）。 十九．狭义相对论的原理和两个基本假设（共3小题） 52．如图所示，观察者乙乘坐速度为0.8c（c为光在真空中的速度）的列车追赶其正前方的观察者甲，甲乘坐的飞行器速度为0.5c。乙用列车车厢里的光源发出一束光和甲进行联络，由狭义相对论，甲和乙观测到该光束的传播速度分别为（　　） A．0.2c，c B．0.3c，0.2c C．c，c D．1.3c，0.3c 53．（多选）一枚火箭静止于地面时长为30m，两个完全相同的时钟分别放在火箭内和地面上。火箭以速度v飞行，光速为c，下列判断正确的是（　　） A．若v＝0.5c，则火箭上的观察者测得火箭的长度仍为30m B．若v＝0.5c，则地面上的观察者测得火箭的长度仍为30m C．若v＝0.5c，则火箭上的观察者认为地面上的时钟走得快 D．若v＝0.5c，则地面上的观察者认为火箭上的时钟走得慢 54．一飞船的固有长度为L0，相对于地面作匀速直线运动的速度大小为u，飞船上一人从飞船的后端向飞船前端的靶子发射一颗相对飞船速度为v的子弹，求： （1）在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔Δt； （2）在地面上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔Δt′。 二十．牛顿力学的适用范围与局限性（共2小题） 55．下列说法中正确的是（　　） A．经典力学适用于微观领域质子、电子的运动 B．经典力学适用于投出的篮球、人造卫星的运动 C．经典力学可以解决自然界中涉及的所有物理学问题 D．相对论与量子力学的出现，表示经典力学失去了意义 56．（多选）下列服从经典力学规律的是 （　　） A．自行车、汽车、火车、飞机等交通工具的运动 B．发射导弹、人造卫星、宇宙飞船 C．物体运动的速率接近于真空中的光速 D．地壳的变动 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 万有引力与宇宙航行（易错56题20大考点）（解析版） 一．天体运动的探索历程（共3小题） 二．开普勒三大定律（共4小题） 三．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共3小题） 四．万有引力的基本计算（共2小题） 五．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共4小题） 六．计算天体的质量和密度（共3小题） 七．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义（共3小题） 八．宇宙速度的计算（共3小题） 九．同步卫星的特点及相关计算（共3小题） 十．近地卫星（共3小题） 十一．卫星或行星运行参数的计算（共2小题） 十二．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共3小题） 十三．卫星的发射及变轨问题（共3小题） 十四．卫星的追及相遇问题（共2小题） 十五．双星系统及相关计算（共3小题） 十六．多星系统及相关计算（共2小题） 十七．中子星与黑洞（共3小题） 十八．拉格朗日点（共2小题） 十九．狭义相对论的原理和两个基本假设（共3小题） 二十．牛顿力学的适用范围与局限性（共2小题） 一．天体运动的探索历程（共3小题） 1．以下关于行星运动及万有引力的描述正确的是（　　） A．开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是椭圆，行星在椭圆轨道上各个地方的速率均相等 B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于不同性质的力 C．牛顿提出的万有引力定律只适用于天体之间 D．卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量的数值 【答案】D 【解答】解：A、开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运动，但行星在椭圆轨道上各个地方的速率不相等，故A错误； B、牛顿发现地球对周围物体的引力与太阳对行星的引力是相同性质的力，故B错误； C、牛顿发现了万有引力定律，适用自然界中任何物体，故C错误； D、卡文迪许通过实验测出引力常量，故D正确； 故选：D。 2．关于引力常量G，下列说法中正确的是（　　） A．引力常量G的值是由牛顿第一次比较准确地测出的 B．引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比 C．引力常量G的物理意义是：两个质量都是1 kg的物体相距1 m时相互吸引力为6.67×10﹣11N D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制的选择无关 【答案】C 【解答】解：A、引力常量G的大小是由卡文迪什在实验室测得的，G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，可用万有引力定律进行定量计算，故A错误； B、G的数值是常数，与两物体质量乘积和两物体间距离的平方无关，故B错误； C、引力常量G的物理意义是：两个质量都是1 kg的物体相距1 m时相互吸引力为6.67×10﹣11 N，故C正确； D、G是一个常量，其大小与单位制有关系，在国际单位中大小是6.67×10﹣11 N•m2/kg2，故D错误； 故选：C。 3．（多选）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离成反比”的猜想 B．牛顿根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论 C．牛顿根据F∝m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F∝m1m2 D．卡文迪许用“月﹣地检验”检验了万有引力定律的正确性 【答案】ABC 【解答】解：A、牛顿接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想。故A正确。 BC、牛顿根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论，根据牛顿第三定律，得出F∝m1m2．故B正确，C也正确。 D、牛顿用“月﹣地检验”第一次检验了万有引力定律的正确性，故D错误。 故选：ABC。 二．开普勒三大定律（共4小题） 4．下列关于行星运动的描述正确的是（　　） A．所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟自转周期的二次方的比值都相等 D．所有行星轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等 【答案】A 【解答】解：AB、根据开普勒第一定律可知，所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，故A正确，B错误； CD、由开普勒第三定律可知，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故CD错误。 故选：A。 5．质量为m的人造地球卫星与地心距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。如图，该卫星开始时在半径为R的圆轨道Ⅰ上绕地球做圆周运动，某时刻经过A点加速进入椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ上远地点B到地心的距离为3R，忽略加速后卫星的质量变化，则（　　） A．卫星在Ⅰ轨道上运行时线速度大小为 B．卫星在Ⅱ轨道上运行的周期为 C．卫星在Ⅰ轨道上运行时机械能为 D．卫星经过B点时的速度大小为 【答案】B 【解答】解：A、卫星在圆轨道Ⅰ上绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力有Gm，解得卫星在Ⅰ轨道上运行时线速度大小为v，故A错误； B、卫星在Ⅰ轨道上运行的周期为T12πR，轨道Ⅱ的半长轴a2R，根据开普勒第三定律可得 ，解得卫星在Ⅱ轨道上运行的周期为T2，故B正确； C、卫星在Ⅰ轨道上运行时机械能为E1，解得E1，故C错误； D、设卫星在Ⅱ轨道上经过A、B两点时的速度大小分别为v1、v2，由开普勒第二定律可知 v1R＝3v2R，故v1＝3v2 由机械能守恒定律得 解得：v2，故D错误。 故选：B。 6．如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ。则地球与行星绕太阳转动的（　　） A．线速度比值为 B．角速度比值为 C．向心加速度比值为sinθ D．向心力比值为sin2θ 【答案】B 【解答】解：由题图可知，当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切。 根据几何关系有R行＝R地sinθ 根据开普勒第三定律有： B、角速度比值：，故B正确； A、线速度比值：，故A错误； C、向心加速度比值：sin2θ，故C错误； D、行星和地球的质量未知，则向心力无法比较，故D错误。 故选：B。 7．2019年4月人类首张黑洞照片公布，再一次激起了人们对浩瀚宇宙深入探索的热情，经长期观测发现，宇宙中绕某恒星O运行的行星A可看成做匀速圆周运动，如图所示，行星A的轨道半径为R0．周期为T0，但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离（总体上行星仍然可看成匀速圆周运动）。天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星在远离恒星方向的外侧与其共面的圆形轨道上可能还存在着一颗未知轨道半径的行星B（认为B近似做匀速圆周运动），已知t0T0，则 （1）请说明A、B两行星的圆周运动方向是否相同； （2）求行星B的轨道半径。 【解答】解：（1）A、B周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离，且t0T0，即它们“相遇”（指A、B、O在同一侧共线）周期小于T0，说明它们做圆周运动方向相反。 （2）A行星发生最大偏离时，A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，设行星B的运行周期为T、半径为R，则有： 2π TB＝8T0 根据开普勒第三定律： 解得：RB＝4R0 答：（1）A、B做圆周运动方向相反。 （2）行星B的轨道半径为4R0。 三．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共3小题） 8．关于万有引力和重力，下列说法正确的是（　　） A．万有引力定律公式中的G是一个比例常数，没有单位 B．到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的 C．两物体受到彼此的万有引力是一对平衡力 D．若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，则它们间的万有引力也变为原来的一半 【答案】B 【解答】解：A、万有引力定律公式中的G是一个比例常数，根据知G的单位为N•m2/kg2，故A错误； B、根据mg＝G，得g，可知到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的，故B正确； C、两物体受到彼此的万有引力是一对作用力和反作用力，故C错误； D、若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，根据知它们间的万有引力变为原来的4倍，故D错误。 故选：B。 9．要使两个物体之间的万有引力减小到原来的，可采用的方法是（　　） A．使两物体之间的距离增至原来的2倍，质量不变 B．使两物体的质量各减少一半，距离增至原来的2倍 C．使其中一个物体的质量减为原来的，距离减为原来的 D．使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的 【答案】A 【解答】解：已知两个物体之间的万有引力大小为。 A、若使两物体之间的距离增至原来的2倍，质量不变，则，即万有引力减小到原来的，故A正确； B、若使两物体的质量各减少一半，距离增至原来的2倍，则F′＝GF，即万有引力减小到原来的，故B错误； C、若使其中一个物体的质量减为原来的，距离减为原来的，则，即万有引力增大为原来的4倍，故C错误； D、若使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的，则F′＝GF，万有引力不变，故D错误。 故选：A。 10．开普勒于1609年和1619年发表了行星运动三定律，其中k，k为开普勒常量；牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳和行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其它天体的影响。 （1）通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式（选用用MS、MP、L、G和其它常数表示）； （2）实际上太阳并非保持静止不动，如图所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为k′，请推导k的表达式（用MS、MP、L、G和其它常数表示），并说明k′＝k需满足的条件。 【解答】解：（1）行星绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得 GMpL 解得k （2）设行星做匀速圆周运动的轨道半径为r，太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，则 r+R＝L 对行星，根据万有引力提供向心力得 GMpr 对太阳，根据万有引力提供向心力得 GMsR 由以上两式可得 则k′ 故若要使k′≈k，即 必须满足Mp≪Ms 即行星的质量远小于太阳的质量。 答：（1）开普勒第三定律中常量k的表达式为； （2）需要行星的质量远小于太阳的质量。 四．万有引力的基本计算（共2小题） 11．如图所示两球之间的距离是r，两球的质量分布均匀，大小分别是m1和m2，半径分别是r1和r2，则两球间的万有引力大小为（　　） A．G B．G C．G D．G 【答案】D 【解答】解：两个球的半径分别为r1和r2，两球之间的距离为r，所以两球心间的距离为r1+r2+r，根据万有引力定律得两球间的万有引力大小为：F＝G。 故选：D。 12．（多选）与地球公转轨道相切于A点的小行星甲和相切于B点的小行星乙的公转轨道如图所示，A为小行星甲的近日点，B为小行星乙的远日点。假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，万有引力常量为G，则（　　） A．小行星甲在A点的速度大于乙在B点的速度 B．小行星乙在B点的加速度小于甲在A点的加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．若已知甲的公转周期为T1，则太阳质量 【答案】AC 【解答】解：B、设太阳的质量为M，根据牛顿第二定律有，解得a，加速度大小与小行星的质量无关，只与到太阳的距离有关，所以小行星甲在A点的加速度等于乙在B点的加速度，故B错误； A、当行星围绕太阳做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有，解得v，小行星甲在A点做离心运动，所以小行星甲在A点的速，小行星乙在B点做近心运动，所以小行星乙在B点的速度，则小行星甲在A点的速度大于乙在B点的速度，故A正确； C、甲的半长轴为，乙的半长轴为，根据开普勒第三定律有，解得，故C正确； D、根据万有引力提供向心力，对甲有，解得M，故D错误。 故选：AC。 五．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共4小题） 13．木星是太阳系中拥有最多卫星的行星，多达92颗，其中木卫一、木卫二、木卫三、木卫四是意大利天文学家伽利略在1610年用自制的望远镜发现的，这四颗卫星被后人称为伽利略卫星。木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的周期之比为1：9。则木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的线速度之比为（　　） A． B．3：1 C． D．9：1 【答案】A 【解答】解：由开普勒第三定律有： 整理得： 木卫一、木卫四均由木星的万有引力提供向心力做圆周运动，则有 m1 m4 联立方程，可得： 故A正确，BCD错误。 故选：A。 14．同一“探测卫星”分别围绕某星球和地球多次做圆周运动。“探测卫星”在圆周运动中的周期二次方T与轨道半径三次方r3的关系图像如图所示，其中P表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足T2＝c，图中c、m、n已知，则（　　） A．该星球和地球的密度之比为m：n B．该星球和地球的密度之比为n：m C．该星球和地球的第一宇宙速度之比为 D．该星球和地球的第一宇宙速度之比为 【答案】C 【解答】解：AB、设中心天体质量为M，半径为R，环绕天体的质量为m′，轨道半径为r，环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的周期为T，根据万有引力提供向心力有 Gm′r 可得M 则中心天体的密度为ρ 当“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足T2＝c，则ρ 当r＝R，则ρ，可知该星球和地球的密度之比为1：1，故AB错误； CD、由图可知，该星球的半径为，地球的半径为，该星球和地球的第一宇宙速度分别为 v星，v地，则v星：v地，故C正确，D错误。 故选：C。 15．（多选）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到O'的距离为x，则（　　） A．列车在隧道中A点的合力大小为mg B．列车在P点的重力加速度小于g C．列车在P点的加速度 D．列车在P点的加速度 【答案】BD 【解答】解：A、列车在隧道中A点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示。 则有， 由几何关系有：，联立解得列车在隧道中A点的合力大小为：，故A错误； B、由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，则在P点有： 由于质量均匀分布，则有 解得列车在P点的重力加速度为：，故B正确； CD、令，根据上述，则有，，解得：，故C错误，D正确。 故选：BD。 16．我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是：F＝G．但是，在某些特殊情况下，非质点之间的万有引力计算及其应用的问题，我们可以利用下面两个已经被严格证明是正确的结论，而获得快速有效地解决： a．若质点m放置在质量分布均匀的大球壳M（球壳的厚度也均匀）的空腔之内，那么m和M之间的万有引力总是为零。 b．若质点m放置在质量分布均匀的大球体M之外（r≥r0），那么它们之间的万有引力为：F＝G，式中的r为质点m到球心之间的距离；r0为大球体的半径。 假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，通过地球的南北两极之间能够打通一个如图所示的真空小洞。若地球的半径为R，万有引力常数为G，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动。 （1）求：小球运动到距地心为0.5R处的加速度大小a； （2）证明：小球在洞内做简谐运动； （3）求：小球在运动过程中的最大速度vm。 【解答】解：（1）根据题意可知，若质点m放置在质量分布均匀的大球壳M（球壳的厚度也均匀）的空腔之内，那么m和M之间的万有引力总是为零。 则小球距离地心为r＝0.5R处，受到的万有引力由半径r＝0.5R的中心天体提供， 万有引力大小：， 其中M， 根据牛顿第二定律可知：a， 联立可得：a。 （2）假设小球相对于球心的位移是x，根据题干信息，则有： 万有引力F， 其中M＝ρV， 两式联立可得：F， 考虑万有引力F的方向总是指向地心，即F的方向和小球相对于地心的位移x的方向总是相反的， 若令：k， 则有：F＝﹣kx， 结论：小球在洞内做简谐运动。 （3）由（2）可知，从洞口到地心，小球的万有引力大小F是随着做功的距离线性减少的， 所以W0， 解得，vm。 答：（1）小球运动到距地心为0.5R处的加速度大小为。 （2）小球在洞内做简谐运动。 （3）小球在运动过程中的最大速度为。 六．计算天体的质量和密度（共3小题） 17．已知嫦娥六号在环月圆轨道上运行的周期为T，轨道半径与月球半径之比为k，万有引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设月球的质量为M，嫦娥六号的质量为m，月球的半径为R，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力有 又 解得月球的平均密度为 ，故A正确，BCD错误。 故选：A。 18．2024年10日21时50分，中国在西昌卫星发射中心成功将卫星互联网高轨星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知高轨卫星03星绕地球近似做圆周运动，卫星距离地面高度为h，环绕周期为T，已知引力常量为G，地球半径为R。则下列说法正确的是（　　） A．03星运行的线速度大于7.9km/s B．03星运行的线速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的密度为 【答案】C 【解答】解：A、地球的第一宇宙速度7.9km/s是卫星的最大环绕速度，则03星运行的线速度小于第一宇宙速度7.9km/s，故A错误； B、地球半径为R，03星距离地面高度为h，则03星的轨道半径r＝R+h，03星运行的线速度大小为v，故B错误； C、设地球和03星的质量分别为M和m，03星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 Gm（R+h） 解得M，故C正确； D、地球的体积为V，地球的密度为ρ，解得ρ，故D错误。 故选：C。 19．我国计划在2030年前实现载人登月计划，该计划各项工作进展顺利。假设我国航天员登陆月球后，从月表以初速度v0竖直向上抛出一颗小球（可视为质点），经过时间t小球落回到抛出点。已知月球半径为R，引力常量为G，月球无空气且不考虑月球自转。求： （1）月球表面的重力加速度g月； （2）月球的质量M。 【解答】解：（1）小球在月球表面以初速度v0做竖直上抛运动，其加速度等于月球表面的重力加速度g月，则有 t 可得 g月 （2）在月球表面，根据物体的重力等于万有引力，得 mg月＝G 联立解得：M 答：（1）月球表面的重力加速度g月为； （2）月球的质量M为。 七．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义（共3小题） 20．最新观测到一颗与地球相似的M星球，观测发现M星球有一颗近地卫星，当地球的近地卫星转了5圈时，M星球的近地卫星只转了1圈，M星球的半径约为地球半径的，设地球和M星球的密度、表面的重力加速度分别用，ρ1、ρ2、g1、g2表示。则下列说法正确的是（　　） A．地球与M星球的第一宇宙速度之比为5：1 B．地球和M星球的密度之比ρ1：ρ2＝1：25 C．M星球的自转角速度增加到（R1为地球半径）时，会发生解体 D．地球和M星球表面的重力加速度之比g1：g2＝50：1 【答案】D 【解答】解：B、由题意可知：5T1＝T2， 对于近地卫星，在星球表面万有引力提供向心力： 星球的体积为： 星球的密度为： 故地球和M星球的密度之比：，故B错误； D、对于近地卫星，在星球表面有： 根据质量与密度关系式可知：M∝ρR3 可得：g∝ρR 地球和M星球表面的重力加速度之比：，故D正确； A、对贴近地面的卫星，根据万有引力提供向心力： 第一宇宙速度之比为：，故A错误； C、设M星球最外端的一物体质量为m0，当角速度为ω时，若物体将要离开M星球： 解得此时M星球角速度的大小：，故C错误。 故选：D。 21．2021年5月，我国天问一号着陆器顺利降落在火星乌托邦平原，实现了我国首次火星环绕、着陆、巡视探测三大目标，一次性实现这三大目标在人类历史上也是首次。已知火星与太阳的距离是地球与太阳距离的1.5倍，火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，火星与地球均视为质量均匀的球体，它们的公转轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　） A．天问一号的发射速度小于地球的第二宇宙速度 B．天问一号着陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的 C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的 D．火星公转的加速度约为地球公转加速度的 【答案】B 【解答】解：A、天问一号要脱离地球引力，则发射速度要大于地球的第二宇宙速度，故A错误； B、当不考虑自转因素时，根据重力等于万有引力： 可知：，则火星陆器在火星上受到的重力约为在地球上受到重力的，故B正确； C、第一宇宙速度： 则火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的，故C错误； D、根据牛顿第二定律m行a，所以公转加速度： 则火星公转的加速度约为地球公转加速度的，故D错误。 故选：B。 22．据国家航天局副局长介绍，中国探月工程三期圆满收官后，探月四期已全面启动。中国航天将坚持面向世界航天发展前沿、而向国家航天重大战略需求，陆续发射嫦娥六号、嫦娥七号、嫦娥八号探测器，开展关键技术攻关和国际月球科研站建设等工作。其中嫦娥六号计划到月球背面采样，并正在论证构建环月球通信导航卫星星座。如果2028年我国的月球科研站建成后，宇航员在月球表面以速度v0竖直上抛一小球，经时间t小球返回抛出点。已知月球的半径为R，求 （1）月球表面的重力加速度g′； （2）月球的第一宇宙速度大小。 【解答】解：（1）在月球上，对小球根据竖直上抛运动的对称规律可得： 变形整理解得： （2）在月球表面上，不考虑月球自转时，万有引力和重力的关系可得： 而对绕月球表面做匀速圆周运动的卫星来说，根据万有引力提供向心力可得： 联立解得月球的第一宇宙速度大小： 答：（1）月球表面的重力加速度g′为； （2）月球的第一宇宙速度大小为。 八．宇宙速度的计算（共3小题） 23．2019年1月3日“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度。已知地球和月球的半径之比约为4：1，分别在离月球表面高度为h处和离地球表面高度为h处自由下落的小球运动时间之比为，由此可知（　　） A．地球表面重力加速度和月球表面重力加速度之比为 B．小球在地球表面落地的速度和在月球表面落地的速度之比为6：1 C．地球的质量与月球的质量之比为96：1 D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为8：1 【答案】C 【解答】解：A、根据得g 可知，地球表面重力加速度和月球表面重力加速度之比为 ，故A错误； B、根据v2＝2gh可知，小球在地球表面落地的速度和在月球表面落地的速度之比为 ，故B错误； C、根据万有引力等于重力有 得M 解得地球的质量与月球的质量之比为 •，故C正确； D、根据第一宇宙速度的计算公式，可知地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 ，故D错误。 故选：C。 24．（多选）在星球A上将一小物块P竖直向上抛出，P的速度的二次方v2与位移x间的关系如图中实线所示；在另一星球B上用另一小物块Q完成同样的过程，Q的速度的二次方v2与位移x间的关系如图中虚线所示。已知A的半径是B的半径的，若两星球均为质量均匀分布的球体（球的体积公式为Vπr3，r为球的半径），两星球上均没有空气，不考虑两星球的自转，则（　　） A．相同物体分别在A、B星球表面相同高度下落，重力做功之比为9：1 B．物Q抛出上升到最高点的时间是物P下落回原处的时间的9倍 C．星A的密度是星B的密度的9倍 D．星A的第一宇宙速度是星B的第一宇宙速度的倍 【答案】AD 【解答】解：A、物体做竖直上抛运动，根据速度与位移的关系式有：2gx 结合图像有：2gA，2gB 联立两式解得：9，故A正确； B、小物块P初速度为，则有gAtP 小物块Q初速度为v0，则有﹣v0＝v0﹣gBtQ 联立解得：，故B错误； C、在星球表面有：mgA，mgB，星球密度ρA，ρB 联立解得：18，故C错误； D、第一宇宙速度等于星球表面卫星的环绕速度，则有：， 解得：，故D正确。 故选：AD。 25．已知地球半径为R，地球的质量为M，不考虑地球自转的影响． （1）推导地球的第一宇宙速度的表达式： （2）某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，若取地球的第一宇宙速度为8km/s，求该行星的第一宇宙速度的大小． 【解答】解：（1）第一宇宙速度是在地面附近发射飞行器所需的最小速度，根据万有引力等于向心力，有： ， 解得： v； （2）某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，根据v，有： 解得：v＝2v地＝2×8km/s＝16km/s； 答：（1）地球的第一宇宙速度的表达式为v； （2）该行星的第一宇宙速度的大小为16km/s． 九．同步卫星的特点及相关计算（共3小题） 26．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（　　） A．距地面的高度变小 B．向心加速度变小 C．线速度变大 D．角速度变大 【答案】B 【解答】解：A、设同步卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，地球同步卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得： Gmr， 解得：T＝2π， 由题意知，地球自转在逐渐变慢，地球自转周期T变大，同步卫星绕地球做圆周运动的周期T变大，则同步卫星的轨道半径r增大，同步卫星距地面的高度变大，故A错误； B、地球同步卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得： Gma， 解得，向心加速度a，由于r变大，则向心角速度a变小，故B正确； C、地球同步卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得： Gm 解得v，由于r变大，则线速度v变小，故C错误 D、同步卫星做圆周运动的角速度ω，由于周期T变大，则角速度ω变小，故D错误。 故选：B。 27．（多选）我国自主研制建设的卫星移动通信系统“天通一号”，目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球同步卫星运行的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星只能位于赤道上方某一高度的稳定轨道上 B．地球同步卫星离地球表面的高度都相同，均为 C．地球同步卫星的向心加速度与地球表面赤道上静止物体的向心加速度相同 D．地球同步卫星绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s 【答案】AB 【解答】解：AB、对地球同步卫星绕地球做圆周运动有： 又因为物体在地球表面有： 联立解得卫星轨道半径为： 根据几何关系知：r＝R+h 可得卫星的离地高度为： 即地球同步卫星只能位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，故AB正确； C、地球同步卫星与地球表面赤道上静止物体具有相同的周期，根据：，因地球同步卫星的半径更大，故地球同步卫星的向心加速度更大，故C错误； D、7.9km/s是地球的第一宇宙速度，它卫星围绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，所以地球同步卫星绕地球做圆周运动的速度小于7.9km/s，故D错误。 故选：AB。 28．2025年6月20日，我国自主研发的广播电视专用直播卫星中星9C在西昌发射成功。如图所示，该卫星在东经92.2°赤道上空的同步轨道上运行，已知地球质量为M、半径为R、自转周期为T，引力常量为G，用题中已知物理量的符号表示： （1）地球的第一宇宙速度； （2）中星9C距离地面的高度； （3）中星9C的加速度与地球表面的重力加速度的比值。 【解答】解：（1）对于近地卫星，根据万有引力提供向心力有 解得地球的第一宇宙速度为 （2）对中星9C在同步轨道上运行过程，根据万有引力提供向心力有 解得中星9C距离地面的高度为 （3）对中星9C有 对地球表面的物体有 解得 答：（1）地球的第一宇宙速度为； （2）中星9C距离地面的高度为； （3）中星9C的加速度与地球表面的重力加速度的比值为。 十．近地卫星（共3小题） 29．如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知P、Q、M三颗卫星均做匀速圆周运动，其中P是地球同步卫星，则（　　） A．卫星Q也可能相对地面静止 B．卫星P的周期大于卫星M的周期 C．卫星P的线速度大小等于卫星M的线速度大小 D．地球对卫星P的引力一定小于地球对卫星M的引力 【答案】B 【解答】解：A、由于地球自转方向与卫星Q的转动方向不一致，故卫星Q不可能相对地面静止，故A错误； B、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：Gmr，解得：T＝2π，由图示可知，卫星P的轨道半径大于卫星M的轨道半径，则卫星P的周期大于卫星M的周期，故B正确； C、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：Gm，解得：v，卫星P的轨道半径大于卫星M的轨道半径，则卫星P的线速度小于卫星M的线速度，故C错误； D、地球对卫星的引力：F＝G，由于不知卫星P、M间的质量关系，无法判断地球对卫星的引力大小关系，故D错误； 故选：B。 30．2024年2月29日，我国成功将互联网卫星01星送入预定轨道，若将该卫星轨道近似为圆形，其围绕地球做匀速圆周运动的周期可表示为，则（　　） A．a为地球半径，b为地球表面的重力加速度，c为卫星的轨道半径 B．a为卫星的轨道半径，b为地球表面的重力加速度，c为地球半径 C．a为地球半径，b为该卫星的向心加速度，c为卫星的轨道半径 D．a为卫星的轨道半径，b为该卫星的向心加速度，c为地球半径 【答案】B 【解答】解：卫星围绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 解得 又在地球表面上，有 mg＝G 即GM＝gR2 联立可知 T 对比可知，a为该卫星的轨道半径，b为地球表面的重力加速度，c为地球半径，故ACD错误，B正确。 故选：B。 31．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。如图所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。求： （1）地球的质量M； （2）第一宇宙速度v1的表达式； （3）该北斗卫星的轨道距离地面的高度h。 【解答】解：（1）设一物体的质量为m′，在地球表面附近，其所受重力等于地球对物体的万有引力，即有m′g＝G 解得地球质量M （2）对于近地卫星，根据重力提供向心力，得 mg＝m 解得：v1 （3）设卫星质量为m，根据万有引力提供向心力，得 Gm（R+h） 联立解得hR 答：（1）地球的质量M为； （2）第一宇宙速度v1的表达式为。 （3）该北斗卫星的轨道距离地面的高度h为R。 十一．卫星或行星运行参数的计算（共2小题） 32．哈雷彗星是能用裸眼从地球看见的短周期彗星。哈雷彗星在近日点a处与地球公转轨道相切，运行轨迹如图所示。在相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积分别为S1、S2，地球与太阳连线扫过的面积为S3。天体均视为质点。下列说法正确的是（　　） A．哈雷彗星在a点的速度小于c点的速度 B．面积S1和S3相等 C．从b点逆时针第一次运行到c点的过程，太阳对哈雷彗星的引力做正功 D．在a点地球的加速度大小等于哈雷彗星的加速度大小 【答案】D 【解答】解：A、根据开普勒第二定律可知，彗星在a点的速度大于c点的速度，故A错误； B、根据开普勒第二定律可知，S1、S2为哈雷彗星与太阳连线扫过的面积，则S1和S2相等。S1为哈雷彗星与太阳连线扫过的面积，S3为地球与太阳连线扫过的面积，而开普勒第二定律是针对同一轨道上运行的行星，则面积S1和S3不相等，故B错误； C、从b点逆时针第一次运行到c点的过程，太阳对哈雷彗星的引力引力与彗星速度间的夹角为钝角，则太阳对哈雷彗星的引力做负功，故C错误； D、根据牛顿第二定律得，可得，可知在a点地球的加速度大小等于哈雷彗星的加速度大小，故D正确。 故选：D。 33．（多选）截至2025年5月，我国在轨卫星的数量已超过1000颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星A绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T0。另一颗做圆周运动的地球同步卫星B到地心的距离为2（a+b）。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．根据已知条件，可估算卫星A的运转周期T0为3h C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算卫星A在近地点的加速度大小是卫星B的倍 【答案】BD 【解答】解：A、根据开普勒第二定律，卫星在同一椭圆轨道运行时，单位时间扫过的面积相等，但不同轨道的卫星与地心的连线单位时间扫过的面积不同，故A错误； B、地球同步卫星B的周期为24h，轨道半径为2（a+b），卫星A的椭圆轨道半长轴为，根据开普勒第三定律 代入，rB＝2（a+b） 解得，故B正确； C、对于近地轨道卫星，根据万有引力提供向心力有 又， 联立解得地球密度 仅适用于近地轨道（轨道半径≈地球半径），卫星A的轨道半长轴为，不等于地球半径，无法直接套用此公式，故C错误； D、根据牛顿第二定律得 解得卫星的加速度为 卫星A在近地点的加速度和卫星B在近地点的加速度之比为 解得，故D正确。 故选：BD。 十二．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共3小题） 34．火星和地球都是太阳的行星，火星质量为地球质量的，火星半径为地球半径的，火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径的比值为k（k＞1），忽略火星和地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．火星表面与地球表面的重力加速度之比为2：5 B．地球的公转周期大于火星的公转周期 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星和地球的向心加速度大小之比为k2：1 【答案】A 【解答】解：A、在行星表面，根据万有引力等于重力有，可得行星表面的重力加速度，则火星表面与地球表面的重力加速度之比为（）2，故A正确； B、行星绕太阳公转时，根据可得，因火星公转轨道半径大于地球公转轨道半径，所以火星的公转周期大于地球的公转周期，故B错误； C、根据万有引力提供向心力有，可得行星的第一宇宙速度，则火星与地球的第一宇宙速度之比为，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误； D、根据牛顿第二定律得，可得，则火星和地球的向心加速度大小之比为，故D错误。 故选：A。 35．木星一共有79颗卫星，其中最大的4颗是1610年由伽利略•伽利雷发现的，因此它们又被称为“伽利略卫星”，按照距离木星的距离依次是木卫一、木卫二、木卫三和木卫四，它们的轨道呈圆形，其轨道平面几乎都和木星的赤道面重合。其中木卫一、木卫二与木卫三的周期之比为1：2：4。木卫三是太阳系中最大的卫星，其半径约为地球半径的，其质量约为地球质量的，其绕木星运动的轨道半径约为月球绕地球运动的轨道半径的3倍。木星质量约为地球质量的320倍。以下说法正确的是（　　） A．木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径之比为 B．木卫一、木卫二、木卫三的线速度大小之比为16：4：1 C．木卫三表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为5：32 D．木卫三绕木星运动的公转周期与月球绕地球的公转周期之比为 【答案】C 【解答】解：A、根据开普勒第三定律k可得，已知木卫一、木卫二与木卫三的周期之比为1：2：4，解得木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径之比为。故A错误； B、由圆周运动公式可得，代入数值解得木卫一、木卫二、木卫三的线速度大小之比为，故B错误； C、在星球表面，根据万有引力等于重力可得 得g 故木卫三表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比，故C正确； D、卫星绕行星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得 可得卫星的运行周期T＝2π 设月球绕地球运动的轨道半径为r'，则木卫三绕木星运动的公转周期为 月球绕地球的公转周期为 故木卫三绕木星运动的公转周期与月球绕地球的公转周期之比为，故D错误。 故选：C。 36．如图所示，A是地球的一颗同步卫星，O为地球中心，地球半径为R，地球自转周期为T0。另一卫星B的圆形轨道也位于赤道平面内，且距地面的高度h＝R，地球表面的重力加速度大小为g。 （1）求卫星B所在处的重力加速度； （2）求卫星B的运行周期T1； （3）若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，求从A、B两卫星相距最近时刻到紧邻的相距最远时刻的时间间隔Δt0（用T0和T1表示）。 【解答】解：（1）在地球表面上，根据万有引力等于重力有 卫星B处，有 又h＝R，解得卫星B所在处的重力加速度为 （2）卫星B绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得 结合 解得 （3）A、B两卫星从相距最近到相距最远，有 θB﹣θA＝π 即 解得 答：（1）卫星B所在处的重力加速度为； （2）卫星B的运行周期T1为； （3）从A、B两卫星相距最近时刻到紧邻的相距最远时刻的时间间隔Δt0为。 十三．卫星的发射及变轨问题（共3小题） 37．2020年4月24日，国家航天局将我国行星探测任务被命名为“天问（Tianwen）系列”。根据计划，2020年我国将实施“天问一号”，目标是通过一次发射任务，实现“火星环绕、火星表面降落、巡视探测”三大任务。若探测器登陆火星前，除P点在自身动力作用下改变轨道外，其余过程中仅受火星万有引力作用，经历从椭圆轨道Ⅰ→圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的过程，如图所示，则探测器（　　） A．在轨道Ⅰ上从P点到Q点的过程中，速度变大 B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期 C．在轨道Ⅲ上运行速度大于火星的第一宇宙速度 D．在轨道Ⅲ上P点受到火星万有引力等于在轨道Ⅱ上P点受到火星万有引力 【答案】D 【解答】解：A、根据开普勒第二定律可知，在轨道Ⅰ上从P点到Q点的过程中，由于距离越来越远，那么相等时间内扫过的弧长越来越短，故速度变小，故A错误； B、根据开普勒第三定律： 轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅲ的半长轴，则在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，故B错误； C、第一宇宙速度是最大环绕速度，所以在轨道Ⅲ上运行速度小于火星的第一宇宙速度，故C错误； D、根据万有引力定律，在距离相同时，在轨道Ⅲ上P点受到火星万有引力等于在轨道Ⅱ上P点受到火星万有引力，故D正确。 故选：D。 38．如图所示，发射距地球较远的圆轨道卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为目标圆轨道上的Q点），到达远地点Q时再次变轨，使卫星在目标圆轨道上稳定运动。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在目标圆轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，三个轨道在P、Q两点的加速度分别为a1、a2P、a2Q、a3，则下列说法正确的是（　　） A．发射卫星时为了节约能源可以由东向西发射 B．a1＞a2P＞a2Q＞a3 C．T1＞T2＞T3，v2＞v1＞v4＞v3 D．在P、Q点变轨时，想让卫星进入远离地球的目标轨道，需要在P、Q点加速，如想让在目标轨道上运动的卫星返回近地圆轨道，则需要在Q、P点减速 【答案】D 【解答】解：A、发射卫星时为了节约能源，可以充分利用地球自转，卫星要由西向东发射，故A错误； BC、设近地圆轨道半径为r1，目标圆轨道半径为r2。 根据牛顿第二定律得，可得，可知在同一位置卫星的加速度相等，Q点比P点更高，r2＞r1，则有a1＝a2P＞a2Q＝a3 卫星在P点点火加速做离心运动才能由圆轨道变轨到椭圆轨道上，则v2＞v1。同理，卫星在Q点点火加速做离心运动才能变轨到目标圆轨道上，则v4＞v3。 卫星在两个圆轨道上运行时，根据万有引力提供向心力得 解得 目标圆轨道半径更高，则v1＞v4，可知线速度关系是v2＞v1＞v4＞v3。椭圆轨道半长轴大小处于两个圆轨道半径之间，根据开普勒第三定律知周期关系是T1＜T2＜T3，故BC错误； D、结合上边分析可知，在P、Q点变轨时，想让卫星进入远离地球的目标轨道，在P、Q点加速，相反，如要想让在目标轨道上运动的卫星返回近地圆轨道，则需要在Q、P点减速，故D正确。 故选：D。 39．（多选）2025年2月20日，我国航天科技研制的实践25号卫星在距离地面36000km的同步轨道，成功实现了人类历史上首次太空加油。如图为实践25号卫星发射的简化示意图，实践25号卫星经过多次变轨到达圆轨道Ⅰ，然后经轨道Ⅱ最终进入预定圆轨道Ⅲ。已知轨道Ⅰ距离地面高度为27944km，地球的半径为6400km，轨道Ⅰ、Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ、Ⅲ相切于Q点。下列说法正确的是（　　） A．实践25号卫星由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ应在P点加速 B．实践25号卫星在轨道Ⅰ的线速度小于在轨道Ⅲ的线速度 C．实践25号卫星在轨道Ⅱ经过Q点时的加速度大于在轨道Ⅲ经过Q点时的加速度 D．实践25号卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ的周期之比为93：103 【答案】AD 【解答】解：A、实践25号卫星由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ做离心运动，应在P点点火加速，故A正确； B、实践25号卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上均环绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 解得 因为轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径，所以实践25号卫星在轨道Ⅰ的线速度大于在轨道Ⅲ的线速度，故B错误； C、根据牛顿第二定律结合万有引力定律有 解得 则实践25号卫星在轨道Ⅱ经过Q点时的加速度等于在轨道Ⅲ经过Q点时的加速度，故C错误； D、实践25号卫星在轨道Ⅰ的轨道半径为r1＝（27994+6400）km＝34344km，实践25号卫星在轨道Ⅲ的轨道半径为r2＝（36000+6400）km＝42400km 根据开普勒第三定律可得，解得，故D正确。 故选：AD。 十四．卫星的追及相遇问题（共2小题） 40．2024年9月21日发生海王星冲日现象，即海王星、地球、太阳三者处于同一直线，此时是观察海王星的最佳时间。已知地球到太阳距离为1个天文单位，海王星到太阳距离约为30个天文单位，则下列说法正确的是（　　） A．发生海王星冲日时太阳位于地球和海王星之间的某一点 B．海王星绕太阳公转的周期约为164年 C．上一次出现海王星冲日现象是在2022年9月的某一天 D．在相同时间内，海王星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等 【答案】B 【解答】解：A、海王星、地球都绕太阳做圆周运动，即太阳为中心天体，海王星冲日是地球、海王星、太阳在同一直线上，且海王星和地球在太阳的同一侧，此时海王星离地球最近，是在地球上观察海王星的最佳时间，故A错误； BC、对于海王星、地球，根据开普勒第三定律可知 可得海王星绕太阳公转的周期，即海王星绕太阳公转的周期约为164年。 如果两次海王星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有 解得年≈1.01年 故上一次出现海王星冲日现象是在2023年9月的某一天，故B正确，C错误； D、根据开普勒第二定律可知，对同一行星而言，它与太阳中心连线在相等的时间内扫过的面积相等，故D错误。 故选：B。 41．假设太阳系中各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球公转的轨道半径为r，公转周期为T0，万有引力常量为G。假设地外行星绕太阳公转的轨道半径为4r。求： （1）太阳的质量M； （2）地外行星绕太阳公转的周期T； （3）经历“行星冲日”后再经过多长时间又会出现“行星冲日”。 【解答】解：（1）地球绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得太阳的质量为 （2）地外行星绕太阳公转，由万有引力提供向心力得 联立可得地外行星绕太阳公转的周期为 T＝8T0 （3）设经历“行星冲日”后再经过t时间又会出现“行星冲日”，则有 ，（n＝1，2，3⋯） 解得 ，（n＝1，2，3⋯） 答：（1）太阳的质量M为； （2）地外行星绕太阳公转的周期T为8T0； （3）经历“行星冲日”后再经过（n＝1，2，3⋯）时间又会出现“行星冲日”。 十五．双星系统及相关计算（共3小题） 42．如图所示，相距为L的A、B星球构成的双星系统正绕O点做匀速圆周运动，运动周期为T，环绕半径分别为RA、RB，且RA＜RB。C为B的卫星，D为A的卫星，C、D做匀速圆周运动的轨道半径均为R，忽略A与C、B与D之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B、A与D之间的引力。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．D绕A运行的周期等于C绕B运行的周期 B．C绕B运行的周期等于 C．A、B的质量之比为 D．A、B的质量之和为 【答案】D 【解答】解：AC、对双星系统AB分析，根据万有引力提供向心力有 则得 因RA＜RB，故MA＞MB 对C、D，根据万有引力提供向心力有 可得 因MA＞MB，R相同，故D绕A运行的周期不等于C绕B运行的周期，故AC错误； B、C和B环绕的中心天体不同，开普勒第三定律不适用，且T为双星的运行周期，故B错误； D、双星系统在万有引力作用下绕O点做匀速圆周运动，对A，有 对B，有 解得A、B的质量之和，故D正确。 故选：D。 43．（多选）天文学家观测到一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，如图甲所示。在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到恒星a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图乙所示，引力常量为G。对该双星系统，下列说法正确的有（　　） A．该双星系统的周期为t0 B．恒星a、b的线速度之比为va：vb＝4：3 C．该双星系统的总质量为 D．点A观测到两个天体的投影运动均为简谐运动 【答案】BD 【解答】解：A.由图像可知，图示中a、b的中心和O点间距离从零到最远所用时间为四分之一个周期，可知该双星系统的周期为2t0，故A错误； B.a与轨迹中心间的距离为4x0b与轨迹中心间的距离为3x0，可得ra：rb＝4：3，由线速度 v＝ωr，可知a、b的线速度之比为va：vb＝4：3，故B正确； C.由题意可知 代入数据得ma：mb＝3：4，对b由万有引力提供向心力可知 解得，，该双星系统的总质量为星，故C错误； D.设圆心O在A点上的投影为坐标原点建立x轴，某时刻恒星距圆心O的距离为r1，其在x轴上的投影位置坐标为x＝r1cosθ ＝A1cosθ，其中θ为恒星a与圆心O连线与x轴的夹角，设恒星a做圆周运动的角速度为ω，则有θ＝ωt， 代入上式得x＝A1cosωt，满足简谐运动的表达式 x＝Acosωt，同理恒星b的投影运动也满足简谐运动的表达式，所以地球上观测到两个天体的投影运动均为简谐运动，故D正确。 故选：BD。 44．2023年6月，中国天眼FAST发现了一个名为PSRJ1953+1844的双星系统，该双星系统是目前发现运行周期最短的脉冲星双星系统。假设该双星系统是由两颗质量之和为M的脉冲星组成，二者之间距离为L，绕连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G，求： （1）该双星系统的运行周期T； （2）该双星的线速度大小之和v。 【解答】解：（1）设双星系统中两个星球的质量分别为m1、m2，其圆周运动半径分别为r1、r2，由万有引力提供向心力得 对星球m1有 对星球m2有 又 m1+m2＝M r1+r2＝L 联立可得 （2）设两个星球的线速度大小分别为v1、v2，则由圆周运动规律有 故v 联立可得 v 答：（1）该双星系统的运行周期T为2π； （2）该双星的线速度大小之和v为。 十六．多星系统及相关计算（共2小题） 45．随着人类对太空的不断探索，发现太空中存在如图所示的三星系统，三颗质量均为m的星体位于正三角形的三个顶点，三颗星体环绕正三角形的中心做匀速圆周运动，理论上其环绕周期为T，通过测量实际上环绕周期为kT，造成这一现象的原因可能是中心O处存在一未知天体，忽略其他星系的影响，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．理论上，正三角形的边长为 B．理论上，三颗星体的线速度大小为 C．理论上，三颗星体的加速度大小为 D．中心O处未知天体的质量为 【答案】A 【解答】解：A、设正三角形边长为L。理论上，任意两颗星对第三颗星的引力的合力提供第三颗星所需要的向心力，则有 2Gcos30°＝m• 解得，故A正确； B、理论上，三颗星体的线速度大小为，联立解得，故B错误； C、理论上，三颗星体的加速度大小为ar•，联立解得，故C错误； D、设中心O处未知天体的质量为mx。实际上，对其中一颗星体，有 2Gcos30°+Gm• 解得，故D错误。 故选：A。 46．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，现观测到某三星系统三颗星A、B、C分别分布在边长为L的正三角形三个顶点，质量分别为2m、m和m，三颗星相对位置不变，在同一个平面内绕一公共圆心做匀速圆周运动。已知引力常量为G，求： （1）A星体所受万有引力的大小； （2）三星系统公转的周期。 【解答】解：（1）A星体所受万有引力是B星和C星对A星的万有引力的合力，根据万有引力定律可知，B星和C星对A星的万有引力大小相等，均为 F＝G 则A星体所受万有引力的大小为 FA＝2Fcos30°F （2）B星和C星之间的万有引力大小相等为F2 A星对B星和A星对C星的万有引力大小均为F12F2 由余弦定理可得B星受到的万有引力的大小为：2F1F2cos120°＝7F22 解得：FB 三颗星绕上图中的O点做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得： FA＝2mROA；FB＝mROB 可得：ROA：ROB 设ROA，ROB，在△OBD中由勾股定理得： （）2+（ROA）2 解得：x，ROA，ROB 由：FA＝2mROA 解得：T 答：（1）A星体所受万有引力的大小为； （2）三星系统公转的周期为。 十七．中子星与黑洞（共3小题） 47．近来，有越来越多的天文观测现象和数据证实黑洞确实存在．科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速度，为第一宇宙倍）超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的第一宇宙速度为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：地球的第一宇宙速度为v1，根据万有引力提供向心力，有：，得到：GM 由题得第二宇宙速度v2 又由题：星体成为黑洞的条件为：v2＞c 即：•c 解得：R′．故B正确，ACD错误。 故选：B。 48．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则（　　） A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力 C．两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越大 D．两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越小 【答案】A 【解答】解：AB、两个黑洞A、B组成双星系统，两者周期相同，各自由相互的万有引力提供向心力，黑洞A和B的向心力大小相等。设黑洞A、B的轨道半径分别为rA、rB，由牛顿第二定律得 对A，有GmArA 对B，有GmBrB 又rA+rB＝L 联立解得：，M＝mA+mB 因为rA＞rB，所以mA＜mB，即黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量，故A正确，B错误； CD、两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越小，两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越大，故CD错误。 故选：A。 49．黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，求： （1）该黑洞的质量； （2）该黑洞的最大半径。 【解答】解：（1）天体绕黑洞运动时，由黑洞对天体的万有引力提供向心力，则有 解得： （2）黑洞的逃逸速度不小于光速，则有 解得该黑洞的半径： 所以该黑洞的最大半径。 答：（1）该黑洞的质量为； （2）该黑洞的最大半径为。 十八．拉格朗日点（共2小题） 50．我国在2018年5月21日发射了嫦娥四号的中继星“鹊桥”，为我国嫦娥四号卫星在月球背面的工作提供通讯支持；“鹊桥”号随月球同步绕地球运动，并绕地月连线的延长线上的一点（拉格朗日点L2）做圆周运动，轨道被称为“晕轨道”，已知引力常量为G．下列说法正确的是（　　） A．静止在地球上的观察者认为“鹊桥”号做圆周运动 B．“鹊桥”号受地球引力、月球引力和向心力作用 C．已知月球绕地球公转的周期和半径可以求得地球质量 D．已知“鹊桥”号的周期和轨道半径可以测得月球质量 【答案】C 【解答】解：A、因为“鹊桥”号与月球同步绕地球运动，并绕地月连线的延长线上的一点（拉格朗日点L2）做圆周运动，则静止在地球上的观察者看到“鹊桥”号不是做圆周运动，故A错误。 B、“鹊桥”号受地球引力、月球引力作用，向心力是月球和地球的引力的矢量和，故B错误。 C、根据，已知月球绕地球公转的周期T和半径r可以求得地球质量M，故C正确。 D、因“鹊桥”号做圆周运动的向心力由地球和月球共同提供，则已知“鹊桥”号的周期和轨道半径不可以测得月球质量，故D错误。 故选：C。 51．拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使小物体稳定的点（小物体质量相对两大天体可忽略不计）。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的，1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，其中连线上有三个拉格朗日点，分别是L1、L2、L3，如图所示。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统平衡点L2点做周期运动，通过定期轨控保持轨道的稳定性，可实现对着陆器和巡视器的中继通信覆盖，首次实现地月L2点周期轨道的长期稳定运行。设某两个天体系统的中心天体质量为M，环绕天体质量为m，两天体间距离为L，万有引力常量为G，L1点到中心天体的距离为R1，L2点到中心天体的距离为R2。求： （1）处于L1点小物体的向心加速度； （2）处于L2点小物体运行的线速度； （3）若R2：L＝8：7，试求M：m的值（保留3位有效数字）。 【解答】解：（1）L1上的卫星处在地月系统的拉格朗日点上，同时受地球和月球的万有引力作用，合力提供向心力，设L1上的卫星质量为m1，则有： F1m1a1 则处于L1点小物体的向心加速度：a1 （2）处在L2点小物体，同理， 合力提供向心力：F2，则处在L2点小物体线速度：v2 （3）当处在L2点有卫星时，环绕天体受卫星和中心天体共同的万有引力，合力提供向心力，但由于卫星的质量远小于中心天体的质量，则环绕天体可近似认为只有中心天体的万有引力提供向心力： F3mω2L 处在L2点有卫星合力提供向心力：F2 根据拉格朗日点上卫星的特点，和两个大天体每时每刻都处在同一条直线上，即角速度相等。上面两式子相除，化简并将R2：L＝8：7代入计算，可得：M：m≈130 答：（1）处于L1点小物体的向心加速度为： （2）处在L2点小物体线速度为： （3）若R2：L＝8：7，M：m的值约等于130。 十九．狭义相对论的原理和两个基本假设（共3小题） 52．如图所示，观察者乙乘坐速度为0.8c（c为光在真空中的速度）的列车追赶其正前方的观察者甲，甲乘坐的飞行器速度为0.5c。乙用列车车厢里的光源发出一束光和甲进行联络，由狭义相对论，甲和乙观测到该光束的传播速度分别为（　　） A．0.2c，c B．0.3c，0.2c C．c，c D．1.3c，0.3c 【答案】C 【解答】解：根据爱因斯坦狭义相对论可知，在任何参考系中，光速不变，即光速不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变。所以甲和乙观测到该光束的传播速度均为c，故C正确，ABD错误。 故选：C。 53．（多选）一枚火箭静止于地面时长为30m，两个完全相同的时钟分别放在火箭内和地面上。火箭以速度v飞行，光速为c，下列判断正确的是（　　） A．若v＝0.5c，则火箭上的观察者测得火箭的长度仍为30m B．若v＝0.5c，则地面上的观察者测得火箭的长度仍为30m C．若v＝0.5c，则火箭上的观察者认为地面上的时钟走得快 D．若v＝0.5c，则地面上的观察者认为火箭上的时钟走得慢 【答案】AD 【解答】解：A、一枚静止时长为30m的火箭以0.5c的速度飞行时，根据狭义相对论可知，火箭上的观察者测得火箭的长度仍为30m，故A正确； B、根据长度收缩效应知，可得地面上的观察者测得火箭的长度为l＝26m，故B错误； CD、根据时间延缓效应，运动的钟比静止的钟走得慢，而且运动速度越大，钟走得越慢，同时运动是相对的，火箭相对于地面上的人是运动的，地面上的人相对于火箭也是运动的，因此若v＝0.5c，则火箭上的观察者认为地面上的时钟走得慢，同时地面上的观察者认为火箭上的时钟走得慢，故C错误，D正确。 故选：AD。 54．一飞船的固有长度为L0，相对于地面作匀速直线运动的速度大小为u，飞船上一人从飞船的后端向飞船前端的靶子发射一颗相对飞船速度为v的子弹，求： （1）在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔Δt； （2）在地面上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔Δt′。 【答案】（1）在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔Δt为 （2）在地面上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔Δt′为。 【解答】解：（1）飞船的长度为L0，子弹相对于飞船的速度为v，两者参照物相同，故时间间隔为： （2）根据狭义相对论的时间膨胀效应，相对于地面，子弹飞行的时间为： Δt′ 答：（1）在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔Δt为 （2）在地面上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔Δt′为。 二十．牛顿力学的适用范围与局限性（共2小题） 55．下列说法中正确的是（　　） A．经典力学适用于微观领域质子、电子的运动 B．经典力学适用于投出的篮球、人造卫星的运动 C．经典力学可以解决自然界中涉及的所有物理学问题 D．相对论与量子力学的出现，表示经典力学失去了意义 【答案】B 【解答】解：AC、经典力学不能解决自然界中微观粒子以及高速运动的问题，所以经典力学不适用于微观领域质子、电子的运动，故AC错误； B、经典力学适用于投出的篮球、人造卫星的运动等宏观、低速运动的物体，故B正确； D、相对论与量子力学并不否定经典力学理论，经典力学是相对论在低速（即物体的速度远远小于光速）的条件下的近似，故D错误。 故选：B。 56．（多选）下列服从经典力学规律的是 （　　） A．自行车、汽车、火车、飞机等交通工具的运动 B．发射导弹、人造卫星、宇宙飞船 C．物体运动的速率接近于真空中的光速 D．地壳的变动 【答案】ABD 【解答】解： ABD、自行车、汽车、火车、飞机、导弹、卫星、宇宙飞船和地壳的运动均属于宏观、低速的问题，经典力学能适用，故ABD正确。 C、而接近光速时，根据爱因斯坦相对论，会出现时间延长、空间缩短、质量增加等效应，不能用经典物理去解释，故C错误。 故选：ABD。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $