第六章 圆周运动（易错58题20大考点）-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第六章 圆周运动（易错58题20大考点）（原卷版） 一．线速度的物理意义及计算（共3小题） 二．线速度与角速度的关系（共3小题） 三．角速度、周期、频率与转速的关系及计算（共3小题） 四．传动问题（共2小题） 五．牛顿第二定律与向心力结合解决问题（共5小题） 六．向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素（共3小题） 七．向心加速度的计算（共2小题） 八．水平转盘上物体的圆周运动（共2小题） 九．倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动（共3小题） 十．物体被系在绳上做圆锥摆运动（共3小题） 十一．物体在圆锥面上做圆周运动（共2小题） 十二．车辆在道路上的转弯问题（共3小题） 十三．火车的轨道转弯问题（共3小题） 十四．绳球类模型及其临界条件（共3小题） 十五．杆球类模型及其临界条件（共3小题） 十六．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共3小题） 十七．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共3小题） 十八．拱桥和凹桥类模型分析（共3小题） 十九．离心运动的应用和防止（共3小题） 二十．圆周运动与平抛运动相结合的问题（共3小题） 一．线速度的物理意义及计算（共3小题） 1．（多选）如图所示，一长为l的轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，小球绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，在时间Δt内转过的圆心角为θ，下列说法正确的是（　　） A．在时间Δt内小球转过的弧长为θl B．在时间Δt内小球转过的弧长为 C．小球转动的角速度大小为 D．小球转动的线速度大小为θlΔt 2．（多选）一种射箭游戏的示意图如图所示，已知竖直圆盘的直径D＝5m，箭头距圆盘的水平距离L＝10m，对准圆盘上的最高点水平射出箭，圆盘绕轴OO'做匀速圆周运动，箭射出瞬间，圆盘的最高点为P点，箭头、轴OO'和P点在同一竖直平面内。取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。若箭刚好射中P点，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的角速度可能为πrad/s B．圆盘转动的角速度可能为2πrad/s C．箭水平射出时的初速度大小为10m/s D．箭水平射出时的初速度大小为20m/s 3．如图所示，光滑杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k、原长为l0的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接。OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ．则： （1）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a及小球速度最大时弹簧的压缩量Δl1； （2）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为Δl2，求匀速转动的角速度ω。 二．线速度与角速度的关系（共3小题） 4．如图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（　　） A．A、B的线速度相同 B．A、B的角速度不相同 C．轻杆转动的角速度为 D．小球A的线速度大小为 5．在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，其示意图为图乙。假设泼水过程中杯子的运动看成匀速圆周运动，人在0.5s内把杯子旋转了210°。下列说法不正确的是（　　） A．P位置的小水珠速度方向沿2方向 B．杯子在P位置时的向心加速度方向沿PO方向 C．杯子在旋转时的角速度大小为rad/s D．杯子在旋转时的线速度大小约为πm/s 6．如图，在同一水平高度上有A、B两物体，质量分别为m、M。A从图示位置开始以角速度ω绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为R．同时B物体在恒力F作用下，由静止开始在光滑水平面上沿x轴正方向做直线运动，求： （1）A物体运动到什么位置时，它的速度方向可能与B物体相同？ （2）要使两物体的速度相同，作用在B物体上的力F应多大？ （3）当两物体速度相同时，B物体的最小位移为多少？ 三．角速度、周期、频率与转速的关系及计算（共3小题） 7．教师在黑板上画圆，圆规脚之间的距离是25cm，他保持这个距离不变，让粉笔在黑板上匀速的画了一个圆，粉笔的线速度是2.5m/s．关于粉笔的运动，有下列说法：①角速度是0.1rad/s；②角速度是10rad/s；③周期是10s；④周期是0.628s；⑤转速小于2r/s；⑥转速大于2r/s；⑦向心加速度是2.5m/s2；⑧向心加速度是25m/s2．下列选项结果全部正确的是（　　） A．①③⑥⑦ B．②④⑤⑧ C．①④⑥⑦ D．②④⑥⑧ 8．如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦转动，两轮的半径R：r＝2：1．当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1；若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则（　　） A． B． C． D． 9．调速器可用来控制电动机的转速，其结构如图所示。圆筒状的外壳固定不动，中心转轴随电动机旋转，轴上两侧各有一轻质细杆，其上端与中心转轴链接，下端各有一个质量为m＝1.0kg的摆锤，两细杆与中心转轴恒在同一平面，且此平面随中心转轴旋转时，细杆可以自由张开或合拢。当张角θ＝45°时，摆锤恰好与外壳接触；当转速足够大时，摆锤会贴紧外壳，并对外壳施力，通过传感器传递电动机转速过大的信息。已知外壳的内径为r＝0.40m，重力加速度g＝10m/s2。 （1）当摆锤恰好与外壳接触时，求中心转轴的角速度； （2）当中心转轴以角速度ω＝6rad/s旋转时，求任一摆锤对外壳施加压力的大小； （3）若摆锤和外壳之间的动摩擦因数μ＝0.25，当中心转轴的角速度维持ω＝6rad/s时，求两个摆锤克服摩擦做功的功率。 四．传动问题（共2小题） 10．机动车检测站进行车辆尾气检测原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定速度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。现有如下检测过程简图：车轴A的半径ra，车轮B的半径rb，滚动圆筒C的半径rc，车轮与滚动圆筒间不打滑，当车轮以恒定转速n （每秒中N转）运行时，下列说法正确的是（　　） A．C的边缘线速度为2πnrc B．A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动 C．A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针方向转动 D．B、C的角速度之比 11．如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力．自行车车轮的半径R1＝35cm，小齿轮的半径R2＝4.0cm，大齿轮的半径R3＝10.0cm．求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比．（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动） 五．牛顿第二定律与向心力结合解决问题（共5小题） 12．如图所示，C为可绕过O点竖直轴转动的光滑小圆环。质量分别为m1、m2的妹妹和哥哥拉住穿过圆环的细绳两端A、B，绕C在空中做圆锥摆运动，运动的周期相等，AC、BC长分别为L1、L2。不计空气阻力，人可视为质点，则下列判断正确的是（　　） A．若L1＞L2，哥哥运动的轨迹平面更高 B．若L1＞L2，哥哥运动的轨迹平面更低 C．一定有m1L1＝m2L2 D．一定有L1L2 13．如图所示，一根光滑绝缘轻杆的下端固定于竖直转动轴OO′的O点，轻杆上套有一根劲度系数为k的绝缘轻弹簧，弹簧的下端固定在O点，上端与中心有孔的带电小球相连，小球的质量为m、电荷量为﹣q（q＞0），小球可以随杆一起绕转动轴OO′匀速转动，小球运动所在的空间存在辐射状的电场。当小球与杆之间没有弹力作用时，小球运动的轨迹圆的半径为R，且小球运动中杆与水平面间的夹角均为53°。已知轨迹圆上的场强大小，方向沿半径方向向外辐射，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，小球的孔径略大于杆的直径，弹簧始终处于弹性限度内，忽略空气阻力，则小球做圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，在横杆上有A、B两点，且OA＝AB，在A、B两点分别用两根等长的轻质细线悬挂两个相同的小球a和b，将整个装置绕竖直杆匀速转动，则a、b两球稳定时的位置关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 15．如图所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体AB﹣CD﹣EF，可绕其竖直中心轴OO'在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动。二面体的二面角为120°。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm，CD距水平地面的高度为h＝1.1m，取重力加速度g＝10m/s2。 （1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小； （2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距A点的距离。 16．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g． （1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0； （2）若ω＝（1±k）ω0，且0＜k≤1，求小物块受到的摩擦力大小和方向． 六．向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素（共3小题） 17．由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P点的线速度大小不变 B．P点的加速度方向不变 C．Q点在竖直方向做匀速运动 D．Q点在水平方向做匀速运动 18．如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，则关于A、B、C三轮边缘a、b、c三点的下列物理量的比，错误的是（　　） A．角速度之比为1：2：2 B．线速度大小为1：1：2 C．向心加速度大小之比为1：2：4 D．周期之比为2：2：1 19．长度为L＝0.5m，一端固定一小球，另一端固定在转动轴o上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆每隔0.1s转过30°，试求： （1）小球运动的线速度的大小，角速度； （2）小球运动的向心加速度． 七．向心加速度的计算（共2小题） 20．（多选）如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则（　　） A．M点的速度方向垂直于吊臂 B．N点的角速度为ω C．两点的线速度大小关系为vN＝4vM D．N点的向心加速度大小为2ω2L 21．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R＝1m，BC段长L＝1.5m。弹射装置将一个质量为0.1kg的小球（可视为质点）以v0＝3m/s的水平初速度从A点射入轨道，小球从C点离开轨道随即水平出，桌子的高度h＝0.8m，不计空气阻力，g取10m/s2。求： （1）小球在半圆轨道上运动时，向心加速度an的大小； （2）小球在半圆轨道上运动时，圆管对小球弹力的大小； （3）小球落到地面D点时的速度。 八．水平转盘上物体的圆周运动（共2小题） 22．如图所示，矩形框架ABCD位于竖直平面内，轻弹簧的一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿在框架的光滑竖直杆CD上并处于静止状态。现让框架绕AB边所在的O1O2轴由静止开始转动，在角速度逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的长度变短 B．弹簧的长度不变 C．CD杆对小球的弹力变大 D．CD杆对小球的弹力不变 23．如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间的动摩擦因数为μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，重力加速度为g，则： （1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； （2）当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，求物块所受的摩擦力大小； （3）当水平转盘以角速度ω3匀速转动时，求细绳拉力大小。 （4）若角速度从零开始缓慢增大，在坐标系中画出绳子的拉力F随ω2的变化关系图像，并标出相应的坐标值。 九．倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动（共3小题） 24．如图所示，与水平方向成θ＝30°角的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆周运动，角速度ω。盘面上距轴r＝0.5m处有一可视为质点的小物块恰能与圆盘保持相对静止。小物块的质量m＝1kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法错误的是（　　） A．物块与盘面间的动摩擦因数为 B．物块从最低点转到最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小 C．物块转至与圆盘圆心高度相同处时，圆盘对物块的摩擦力大小为2.5N D．在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块在最高点的摩擦力不可能为零 25．（多选）如图所示，倾角为30°的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上质量为4m的滑块通过轻质刚性绳穿过光滑的圆环与质量为m的小球（可视为质点）相连，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为30°．斜面体和滑块始终静止，小球与圆环之间的绳长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．斜面体受地面的摩擦力大小为mg B．滑块所受摩擦力大小为2mg C．若改变小球的转速，当滑块恰好不受摩擦力时，小球的动能为 D．若改变小球的转速，当滑块恰好不受摩擦力时，小球的向心加速度大小为 26．如图所示为马戏团的猴子表演杂技示意图．平台上质量为5kg的猴子（可视为质点）从平台边球A点抓住绳长为0.8m的水平绳末端，由静止开始绕绳的另一个固定端O点做圆周运动，运动至O点正下方B点时绳子恰好断裂，之后做平抛运动。在B点右侧平地上固定一个倾角为37°的斜面滑梯，猴子做平抛运动至斜面的最高点C时的速度方向恰好沿斜面方向。不计空气阻力，已知猴子刚运动到B点时的速度大小为4m/s（g取10m/s2）求： （1）绳子能承受的最大张力； （2）猴子从B点运动到C点的时间； （3）BC两点间的水平距离。 十．物体被系在绳上做圆锥摆运动（共3小题） 27．如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，横杆上的A、B两点处均用长为L的轻质细线分别悬挂相同的小球a、b（均可视为质点），且OA＝AB＝L。当整个装置绕竖直杆匀速转动且小球a、b稳定时，悬挂小球a、b的细线与竖直方向的夹角分别为α、β。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是 A．小球a的向心加速度大小为gtanβ B．小球a的角速度大小为 C．小球b的线速度大小为 D． 28．游乐场内有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，静止时的状态可简化为如图所示。左边绳长大于右边绳长，左边人与飞椅的总质量大于右边人与飞椅的总质量。当匀速转动时，下列四幅图可能的状态为（　　） A． B． C． D． 29．悬挂在水平天花板上的轻质弹性绳（满足胡克定律）处于原长时下端正好在A点，弹性绳穿过薄板间的光滑小孔悬挂质量m＝10kg的物块（可视为质点），物块静止在水平平台上的B点处，如图甲所示，A、B两点间的距离L＝0.64m，此时物块对平台的压力太小F1＝36N。当平台绕AB轴匀速转动，物块相对平台静止时，弹性绳与AB轴的夹角θ＝37°，如图乙所示。已知物块与平台间的动摩擦因数μ＝0.8，且接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，弹性绳处于弹性限度内。 （1）求弹性绳的劲度系数k； （2）若图乙中物块恰好与平台间无摩擦力，求物块的角速度大小ω1； （3）要保证图乙中物块与平台不发生相对滑动，求物块的角速度大小的取值范围。 十一．物体在圆锥面上做圆周运动（共2小题） 30．如图，竖直面内一倾角θ为37°的细杆上，与底端O'相距l＝1m处套着一个小球，小球随细杆一起绕竖直轴OO'做匀速圆周运动。已知小球和细杆间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球可看作质点，重力加速度g大小取10m/s2，不计空气阻力，sin37°＝0.6，为使小球和细杆始终保持相对静止，细杆做匀速圆周运动的最大角速度为（　　） A．rad/s B．rad/s C．5rad/s D．6rad/s 31．如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，结果可用根式表示）。求： （1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ （2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ （3）若小球的角速度ω时，细线上的拉力为多大？ 十二．车辆在道路上的转弯问题（共3小题） 32．某段水平公路转弯处弯道所在圆半径为40m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.25，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g＝10m/s2，汽车转弯时不发生侧滑的最大速率为（　　） A．5m/s B．10m/s C．15m/s D．20m/s 33．赣深高铁于2021年12月10日正式开通运营，设计速度为350km/h。在修筑高速铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨（用于减小外轨的损耗）。某铁路模型的某段弯道可视为半径7km的圆上的最高点的一小段圆弧，两根铁轨间的距离为143.5mm，若圆弧的圆心与两根铁轨共面，模型车通过该段弯道的线速度为252km/h时，模型车（可视为质点）对铁轨恰无沿轨道半径方向的作用力。g取10m/s2。则该圆弧位置两根铁轨间的高度差约为（　　） A．0.8cm B．1cm C．1.2cm D．1.4cm 34．汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量m＝1.6×103kg的汽车（可视为质点）在水平公路的弯道上行驶，速度大小v＝10m/s，其轨迹可视为半径R＝40m的圆弧。 （1）求这辆汽车转弯时需要的向心力大小F； （2）在冬天如果路面出现结冰现象，为防止汽车侧滑而发生危险，请给汽车驾驶员提出一条驾驶建议。 十三．火车的轨道转弯问题（共3小题） 35．如图所示，是生活中常见的圆周运动实例。下列说法正确的是（　　） A．图甲中，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 B．图乙中，汽车通过凹形路面的最低点时处于超重状态 C．图丙中，杂技演员骑着摩托车沿着光滑的内壁进行“飞车走壁”表演时，经过C处受到的侧壁弹力小于D处受到的弹力 D．图丁中，细绳拉住装水的小桶制成“水流星”，它可以在竖直平面内以任意大小的速度做完整的圆周运动 36．为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角θ很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在θ很小时，tanθ≈sinθ≈θ。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过Δx，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 37．有一列重为100t的火车，以72km/h速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400m（g取10m/s2）。 （1）试求铁轨受到的侧压力； （2）若要是火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为0，我们可以适当倾斜路基，试计算倾斜角度θ的正切值的大小． 十四．绳球类模型及其临界条件（共3小题） 38．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT﹣v2图像如图乙所示，则（　　） A．数据a与小球的质量无关 B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为 D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等 39．一个内壁光滑的圆形管道固定在倾角θ＝53°的斜面上，一个直径略小于管道直径、质量m＝1kg的小球（可视为质点）在管道中做圆周运动。已知圆形管道的半径R＝8m且远大于小球的直径，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，当地的重力加速度g＝10m/s2。 （1）若小球运动到最高点A时的速度大小vA＝8m/s，求小球在A点时对管道的弹力FA的大小； （2）若小球在最低点B时的速度大小vB＝20m/s，求此时管道对小球的弹力FB的大小。 40．如图所示，一个人用一根长为R＝1米，能承受最大拉力为F＝74N的绳子，系着一个质量为m＝1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面高h＝6米．运动中小球在圆周的最低点时绳子刚好被拉断，绳子的质量和空气阻力均忽略不计，g＝10m/s2．求： （1）绳子被拉断的瞬间，小球的速度v的大小？ （2）绳断后，小球落地点与圆周的最低点间的水平距离x多大？ 十五．杆球类模型及其临界条件（共3小题） 41．如图所示，轻杆上端可绕光滑铰链O在竖直平面内自由转动。可视为质点的小球A固定在轻杆末端。用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方的小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力F作用于小球A，使杆保持水平，某时刻撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为3L，OP长为5L，重力加速度为g，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．杆保持水平时，轻杆对小球A的拉力大小为 B．运动过程中，两小球速度大小相等时的速度值为 C．运动过程中，两小球速度大小相等时细绳对小球A的拉力大小为 D．运动过程中，两小球速度大小相等时轻杆对小球A的拉力大小为 42．（多选）如图所示，长为2L的轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定着质量为m的小球A，质量也为m的小球B固定在轻杆的中间位置。轻杆随转轴O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球A经过最高点时对轻杆的作用力为0。已知重力加速度大小为g，小球A、B均可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．小球A经过最高点时，小球B的线速度大小为 B．小球A经过最高点时，轻杆对小球B的作用力大为 C．小球A经过最低点时，轻杆对小球A的作用力大小为2mg D．小球A经过最低点时，轻杆对小球B的作用力大小为 43．如图所示，一顶端带有轻质滑轮的光滑斜劈固定在水平面上，斜面倾角为37°，一转轴固定在天花板上的O点，O点与斜劈等高，长为L的轻杆一端可绕转轴在竖直平面内自由转动，另一端固定一小球P，一根不可伸长的轻绳绕过定滑轮A（大小不计），一端与小球P相连，另一端与斜面底端的滑块Q相连，已知，P、Q两物体质量相等，滑块Q与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，小球、滑块均可看作质点，不计转轴及滑轮摩擦力的影响，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6。 （1）当小球P、滑块Q速度大小相等时，求杆与水平面的夹角的余弦值； （2）若L＝4.1m，求小球P到最低点时的速度大小； （3）在（2）中若O点离水平面的高度为6.1m，当小球P摆到最低点时突然与绳子、杆脱离接触，假设小球P落地即静止，连接处平滑，求小球P、滑块Q最终的水平距离。 十六．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共3小题） 44．“太极球”是近年来较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上。现将球拍和太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，球的重力为1N，不计拍的重力，则tanθ与F的关系为（　　） A．tanθ＝F+1 B．tanθ＝F+2 C．tanθ＝F﹣1 D．tanθ＝F﹣2 45．如图所示，在光滑水平桌面EAB上有质量为M＝0.2kg的小球P和质量为m＝0.1kg的小球Q，P、Q之间压缩一轻弹簧（轻弹簧与两小球不拴接），桌面边缘E处放置一质量也为m＝0.1kg的橡皮泥球S，在B处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧，P、Q两小球被轻弹簧弹出，小球P与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C；小球Q与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥球S碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的D点。已知水平桌面高为h＝0.2m，D点到桌面边缘的水平距离为x＝0.2m，重力加速度为g＝10m/s2，求： （1）小球P经过半圆形轨道最低点B时对轨道的压力大小NB′； （2）小球Q与橡皮泥球S碰撞前瞬间的速度大小vQ； （3）被压缩的轻弹簧的弹性势能Ep。 46．如图所示，竖直平面内固定着光滑半圆形轨道AMB，其中直径AOB为竖直方向，半径R＝1.6m，质量M＝1kg的长薄板静置于倾角θ＝37°的粗糙斜面CD上，其最上端刚好在斜面顶端C点。一质量为：m＝1.5kg的滑块（可看作质点）从圆轨道B点以v0＝4m/s的初速度进入轨道，并刚好通过最高点A点，接着从A点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上开始向下运动，小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时，立即与D处挡板碰撞，速度立即减为0。已知斜面CD长L2＝14.75m，薄板长L1＝7.25m，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数μ1＝0.25，滑块与长薄板间的动摩擦因数为μ2＝0.5，运动过程中空气阻力均忽略不计，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，试求： （1）滑块在A点时的初速度； （2）AC两点间的水平距离； （3）滑块从C点到达D点所需要的时间。 十七．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共3小题） 47．如图所示，一滑块（可视为质点）在水平力F的作用下由静止沿粗糙水平直轨道AB开始运动，该力的功率恒定，达到最大速度后，撤掉该力，滑块继续前进一段距离后进入竖直光滑半圆轨道BCD，并恰好通过该轨道最高点D，然后进入光滑半圆管道DEF，最终停在粗糙水平直轨道FG上。已知水平力的恒定功率为10W，滑块的质量为0.2kg，滑块与轨道AB的动摩擦因数为0.5，半圆轨道BCD的半径R＝0.5m，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．滑块在D点的速度大小为 B．半圆管道DEF的半径r可能为0.15m C．在轨道AB上，滑块的最大速度为10m/s D．在轨道AB上，滑块减速过程的距离为2.5m 48．（多选）如图甲所示，一段只有部分的光滑圆管A竖直固定在木板B上（管口M为最高点），木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地面上，使B不能左右移动，现将一小球在管口N的正上方h高处由静止释放，小球通过最低点时管壁对它的弹力F与h的关系如图乙所示。已知管A和板B的总质量为0.3kg，小球的直径和圆管的粗细忽略，重力加速度取10m/s2则（　　） A．小球的质量为0.1kg B．圆管的半径为0.5m C．当h＝1m时，小球从管口M飞出后将落入管口N D．当h＝1.2m时，小球通过管口M时会使AB整体跳起 49．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与光滑水平面BC平滑连接于B点，且BC的长度为1m，BC右端连接内壁光滑、半径r＝0.2m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口端平齐。一个质量为m＝2kg的小球放在曲面AB上，现从距BC的高度h＝0.6m处静止释放小球，小球进入管口C端时，它对上管壁有作用力，重力加速度取g＝10m/s2。求： （1）小球第一次经过C点时对管壁压力的大小； （2）若水平面BC粗糙且小球与BC间的动摩擦因数0.2，弹簧最大压缩量为5cm，其他条件均不变。在压缩弹簧过程中弹簧最大弹性势能为多少。 十八．拱桥和凹桥类模型分析（共3小题） 50．汽车过拱桥时的运动可以看成圆周运动。如图所示，汽车以速度v通过半径为R的拱形桥最高点时，以下说法正确的是（　　） A．汽车处于超重状态 B．汽车对桥的压力小于桥对汽车的支持力 C．无论汽车速度多大，汽车对桥始终有压力 D．桥对汽车的支持力大小为 51．关于如图甲、乙、丙、丁所示的四种圆周运动模型，下列说法不正确的是（　　） A．图甲中拱形桥半径为R，若车在最高点时速度大小为，车对桥面的压力为零，车将做平抛运动 B．图乙中，在固定圆锥筒（内壁光滑）内做匀速圆周运动的小球，受重力、弹力和向心力的作用 C．图丙中，仅在重力和轻绳拉力作用下，绕O点在竖直面内做圆周运动的小球，最容易拉断轻绳的位置一定是最低点 D．图丁中，当火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，外轨对火车有侧压力，火车易脱轨做离心运动 52．如图一辆质量为500kg的汽车通过一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部时。 （1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ （2）如果汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是多大？ （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少多大。（重力加速度g取10m/s2，地球半径R取6.4×103km） 十九．离心运动的应用和防止（共3小题） 53．关于离心运动，下列说法中正确的是（　　） A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动 B．物体受的离心力大于向心力时将做离心运动 C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化，就将做离心运动 D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或变小时将做离心运动 54．（多选）以下是书本上的一些图片，说法正确的是（　　） A．有些火星的轨迹不是直线，说明炽热微粒不是沿砂轮的切线方向飞出的 B．两个影子在x，y轴上的运动就是物体的两个分运动 C．无论小锤用多大的力去打击弹性金属片，A、B两球总是同时落地 D．做变速圆周运动的物体所受合外力F在半径方向的分力大于所需要的向心力 55．（多选）关于如图所示的四种圆周运动模型，说法正确的是（　　） A．图甲：轻质细绳一端系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点所受的合力不可能为零 B．图乙：汽车过拱桥最高点时速度越大，对桥面的压力越小 C．图丙：铁路弯道处的外轨会略高于内轨，当火车的质量改变时，规定的行驶速度也改变 D．图丁：洗衣机脱水过程中，吸附在衣服上的水所受合力大于所需向心力 二十．圆周运动与平抛运动相结合的问题（共3小题） 56．如图所示，m为在水平传送带上被传送的小物块（可视为质点），A为终端皮带轮，已知皮带轮半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑．若物块被水平抛出，则A轮每秒的转数至少是（　　） A． B． C． D． 57．（多选）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L，当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（　　） A．圆盘的半径可能为 B．飞镖击中P点所需的时间为 C．圆盘转动角速度的最小值为 D．P点随圆盘转动的线速度不可能为 58．质量m＝2kg的小球在长为L＝2m的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝45N，转轴离地高度h＝4m。g取10m/s2。则： （1）若恰好能通过最高点，则最高点处小球的速度大小； （2）在某次运动中在最低点细绳恰好被拉断，则此时小球的速度大小； （3）若在（2）中细绳被拉断后小球继续做平抛运动，如图所示。求小球落地水平距离x。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆周运动（易错58题20大考点）（解析版） 一．线速度的物理意义及计算（共3小题） 二．线速度与角速度的关系（共3小题） 三．角速度、周期、频率与转速的关系及计算（共3小题） 四．传动问题（共2小题） 五．牛顿第二定律与向心力结合解决问题（共5小题） 六．向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素（共3小题） 七．向心加速度的计算（共2小题） 八．水平转盘上物体的圆周运动（共2小题） 九．倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动（共3小题） 十．物体被系在绳上做圆锥摆运动（共3小题） 十一．物体在圆锥面上做圆周运动（共2小题） 十二．车辆在道路上的转弯问题（共3小题） 十三．火车的轨道转弯问题（共3小题） 十四．绳球类模型及其临界条件（共3小题） 十五．杆球类模型及其临界条件（共3小题） 十六．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共3小题） 十七．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共3小题） 十八．拱桥和凹桥类模型分析（共3小题） 十九．离心运动的应用和防止（共3小题） 二十．圆周运动与平抛运动相结合的问题（共3小题） 一．线速度的物理意义及计算（共3小题） 1．（多选）如图所示，一长为l的轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，小球绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，在时间Δt内转过的圆心角为θ，下列说法正确的是（　　） A．在时间Δt内小球转过的弧长为θl B．在时间Δt内小球转过的弧长为 C．小球转动的角速度大小为 D．小球转动的线速度大小为θlΔt 【答案】AC 【解答】解：AB、根据数学知识可知，在时间Δt内小球转过的弧长为θl，故A正确，B错误； C、根据角速度的定义可知，小球转动的角速度大小为，故C正确； D、小球转动的线速度大小为v＝ωl，故D错误； 故选：AC。 2．（多选）一种射箭游戏的示意图如图所示，已知竖直圆盘的直径D＝5m，箭头距圆盘的水平距离L＝10m，对准圆盘上的最高点水平射出箭，圆盘绕轴OO'做匀速圆周运动，箭射出瞬间，圆盘的最高点为P点，箭头、轴OO'和P点在同一竖直平面内。取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。若箭刚好射中P点，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的角速度可能为πrad/s B．圆盘转动的角速度可能为2πrad/s C．箭水平射出时的初速度大小为10m/s D．箭水平射出时的初速度大小为20m/s 【答案】AC 【解答】解：AB、飞镖在竖直方向是自由落体运动，由，解得：t＝1s。时间关系满足： 当n＝0时，ω＝πrad/s；当n＝1时，ω＝3πrad/s，故A正确，B错误； CD、箭水平射出时的初速度大小： C正确，D错误。 故选：AC。 3．如图所示，光滑杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k、原长为l0的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接。OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ．则： （1）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a及小球速度最大时弹簧的压缩量Δl1； （2）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为Δl2，求匀速转动的角速度ω。 【解答】解：（1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律有：mgsinθ＝ma 解得：a＝gsinθ 小球速度最大时其加速度为零，则有：kΔl1＝mgsinθ 则Δl1 （2）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为Δl2时小球圆周运动的半径为 r＝（l0+Δl2）cosθ 弹簧伸长Δl2时，球受力如图所示，根据牛顿第二定律有： 水平方向上有 竖直方向上有 FNcosθ＝kΔl2sinθ+mg 联立解得ω 答：（1）小球释放瞬间的加速度大小a是gsinθ，小球速度最大时弹簧的压缩量Δl1是。 （2）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为Δl2，匀速转动的角速度ω为ω。 二．线速度与角速度的关系（共3小题） 4．如图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（　　） A．A、B的线速度相同 B．A、B的角速度不相同 C．轻杆转动的角速度为 D．小球A的线速度大小为 【答案】D 【解答】解：如图所示 根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将B点运动的速度vB＝v沿垂直于杆和沿杆的方向分解成v2和v1，其中v2＝vBsinθ＝vsinθ为B点做圆周运动的线速度，v1＝vBcosθ为B点沿杆运动的速度。当杆与水平方向夹角为θ时，OB A、A、B两点都围绕O点做圆周运动，由于同一杆上运动，故角速度ω相同，由于转动半径不一样，故A、B的线速度不相同，故A错误； B、由于A、B在同一杆上绕O点做圆周运动，故A、B绕O做圆周运动的角速度相同，故B错误； C、由于B点的线速度为v2＝vsinθ＝OBω，所以，故C错误； D、由C分析知，杆转动的角速度ω，所以A的线速度vA＝Lω，故D正确。 故选：D。 5．在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，其示意图为图乙。假设泼水过程中杯子的运动看成匀速圆周运动，人在0.5s内把杯子旋转了210°。下列说法不正确的是（　　） A．P位置的小水珠速度方向沿2方向 B．杯子在P位置时的向心加速度方向沿PO方向 C．杯子在旋转时的角速度大小为rad/s D．杯子在旋转时的线速度大小约为πm/s 【答案】D 【解答】解：A、杯子的运动看成匀速圆周运动，小水珠速度方向沿圆周的切线方向，由图可知P点左侧的水珠轨迹向下偏转，则知P位置的小水珠速度方向沿2方向，故A正确； B、杯子做匀速圆周运动，在P位置时的向心加速度方向指向圆心，即沿PO方向，故B正确； C、在t＝0.5s内把杯子旋转了θ＝210°πradπrad，则杯子在旋转时的角速度大小为ωrad/srad/s，故C正确； D、杯子做圆周运动的半径约为1m，则杯子在旋转时的线速度大小约为v＝ωr1πm/sπm/s，故D错误。 本题选不正确的， 故选：D。 6．如图，在同一水平高度上有A、B两物体，质量分别为m、M。A从图示位置开始以角速度ω绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为R．同时B物体在恒力F作用下，由静止开始在光滑水平面上沿x轴正方向做直线运动，求： （1）A物体运动到什么位置时，它的速度方向可能与B物体相同？ （2）要使两物体的速度相同，作用在B物体上的力F应多大？ （3）当两物体速度相同时，B物体的最小位移为多少？ 【解答】解：（1）因为B物体在水平方向上做匀加速直线运动，所以B的速度方向一直沿x轴正方向，故只有当A物体运动到圆心O的正上方时，即最高点时，速度可能与B物体相同． （2）要使A、B速度相同，A必需在圆心O的正上方，但圆周运动具有周期性，所以 A物体运动到圆心正上方时的时间为： （n＝0，1，2，3…表示小球运动圈数）， A的速度为va＝ωR B运动的时间与A的时间相同，则 （n＝0，1，2，3…） ① vb＝va＝ωR ② B做初速度为零的匀加速直线运动，则 vb＝atb ③ 根据牛顿第二定律可知： ④ 联立①②③④解得： （n＝0，1，2，3…） （3）当时间最短即n＝0时，B物体有最小位移 答：（1）在圆心O的正上方时，即最高点时，速度可能与B物体相同； （2）要使两物体的速度相同，作用在B物体上的力（ n＝0 1 2 3）； （3）最小位移为． 三．角速度、周期、频率与转速的关系及计算（共3小题） 7．教师在黑板上画圆，圆规脚之间的距离是25cm，他保持这个距离不变，让粉笔在黑板上匀速的画了一个圆，粉笔的线速度是2.5m/s．关于粉笔的运动，有下列说法：①角速度是0.1rad/s；②角速度是10rad/s；③周期是10s；④周期是0.628s；⑤转速小于2r/s；⑥转速大于2r/s；⑦向心加速度是2.5m/s2；⑧向心加速度是25m/s2．下列选项结果全部正确的是（　　） A．①③⑥⑦ B．②④⑤⑧ C．①④⑥⑦ D．②④⑥⑧ 【答案】B 【解答】解：由题意知半径R＝0.25m，线速度V＝Rω＝2.5m/s， 所以角速度为：ω10rad/s，②正确； 周期为：T0.2π＝0.628s，④正确； 转速为：n2r/s，⑤正确； 向心加速度为：a＝Rω2＝25m/s2．⑧正确； 故选：B。 8．如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦转动，两轮的半径R：r＝2：1．当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1；若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在P轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在P轮边缘上，则有最大静摩擦力提供向心力。 即为μmg＝mω12R， 当木块放在Q轮也静止，则有μmg＝mω22r， 解得：。 因为a1＝ω12R，a2＝ω22r，所以，故ABD错误，C正确。 故选：C。 9．调速器可用来控制电动机的转速，其结构如图所示。圆筒状的外壳固定不动，中心转轴随电动机旋转，轴上两侧各有一轻质细杆，其上端与中心转轴链接，下端各有一个质量为m＝1.0kg的摆锤，两细杆与中心转轴恒在同一平面，且此平面随中心转轴旋转时，细杆可以自由张开或合拢。当张角θ＝45°时，摆锤恰好与外壳接触；当转速足够大时，摆锤会贴紧外壳，并对外壳施力，通过传感器传递电动机转速过大的信息。已知外壳的内径为r＝0.40m，重力加速度g＝10m/s2。 （1）当摆锤恰好与外壳接触时，求中心转轴的角速度； （2）当中心转轴以角速度ω＝6rad/s旋转时，求任一摆锤对外壳施加压力的大小； （3）若摆锤和外壳之间的动摩擦因数μ＝0.25，当中心转轴的角速度维持ω＝6rad/s时，求两个摆锤克服摩擦做功的功率。 【解答】解：（1）当摆锤恰好与外壳接触时，中心转轴的角速度为ω0，设轻杆对摆锤的拉力为F，竖直方向有 F0cos45°＝mg 水平方向有 F0sin45°＝m 解得 ω0＝5rad/s （2）当中心转轴以角速度ω＝6rad/s旋转时，设轻杆对摆锤的拉力为F，外壳对摆锤的压力为N。竖直方向有 Fcos45°＝mg 水平方向有 Fsin45°+N＝mrω2 解得 N′＝4.4N 有牛顿第三定律，摆锤对外壳的压力 N′＝4.4N （3）当中心转轴的角速度维持ω＝6rad/s时，摆锤受到的摩擦力为 f＝μN 中心转轴旋转一周，摆锤克服摩擦力做功 W＝f•2πr 两个摆锤克服摩擦力做功的功率 P 而T 解得P＝5.28W 另解：当中心转轴的角速度维持ω＝6rad/s时，摆锤受到的摩擦力为 f＝μN 中心转轴旋转一周，两个摆锤克服摩擦力做功的功率 P＝2fv v＝ωr 解得P＝5.28W. 答：（1）当摆锤恰好与外壳接触时，中心转轴的角速度为5rad/s。 （2）当中心转轴以角速度ω＝6rad/s旋转时，任一摆锤对外壳施加压力的大小为4.4N； （3）若摆锤和外壳之间的动摩擦因数μ＝0.25，当中心转轴的角速度维持ω＝6rad/s时，两个摆锤克服摩擦做功的功率为5.28W。 四．传动问题（共2小题） 10．机动车检测站进行车辆尾气检测原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定速度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。现有如下检测过程简图：车轴A的半径ra，车轮B的半径rb，滚动圆筒C的半径rc，车轮与滚动圆筒间不打滑，当车轮以恒定转速n （每秒中N转）运行时，下列说法正确的是（　　） A．C的边缘线速度为2πnrc B．A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动 C．A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针方向转动 D．B、C的角速度之比 【答案】B 【解答】解：A、C的边缘线速度大小等于B的边缘线速度大小，为2πnrb．故A错误。 B、A、B共同转动，角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动，故B正确。 C、A、B的角速度大小相等，B、C边缘的线速度大小相等，由v＝rω知，B、C的半径不等，则B、C的角速度不等。A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动。故C错误。 D、B、C边缘的线速度大小相等，由v＝rω得，B、C的角速度之比为．故D错误。 故选：B。 11．如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力．自行车车轮的半径R1＝35cm，小齿轮的半径R2＝4.0cm，大齿轮的半径R3＝10.0cm．求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比．（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动） 【解答】解：共轴转动，角速度相等，故小齿轮和车轮角速度相等； 靠摩擦传动以及靠链条传动，线速度大小相等，故大齿轮和小齿轮边缘点线速度相等，车轮与摩擦小轮边缘点线速度也相等； 设大齿轮的转速n1，则大齿轮边缘点线速度为2πR3n1，大齿轮和小齿轮边缘点线速度相等，故小齿轮边缘点线速度也为2πR3n1，故其角速度为，小齿轮和车轮角速度相等，故车轮角速度为； 车轮线速度为：•R1，车轮与摩擦小轮边缘点线速度相等，故摩擦小轮边缘点线速度为： •R1； 故摩擦小轮的转速n2为：n1n1n1； 故n1：n2＝2：175； 答：大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比为2：175． 五．牛顿第二定律与向心力结合解决问题（共5小题） 12．如图所示，C为可绕过O点竖直轴转动的光滑小圆环。质量分别为m1、m2的妹妹和哥哥拉住穿过圆环的细绳两端A、B，绕C在空中做圆锥摆运动，运动的周期相等，AC、BC长分别为L1、L2。不计空气阻力，人可视为质点，则下列判断正确的是（　　） A．若L1＞L2，哥哥运动的轨迹平面更高 B．若L1＞L2，哥哥运动的轨迹平面更低 C．一定有m1L1＝m2L2 D．一定有L1L2 【答案】C 【解答】解：AB、令AC、BC与竖直方向夹角分别为α、β，两球在水平面内做圆周运动，由牛顿第二定律有： ， 联立整理解得：L1cosα＝L2cosβ 表明，妹妹和哥哥运动的轨道平面在同一高度，故AB错误； CD、由于细绳穿过圆环，则细绳对妹妹和哥哥的拉力大小相等，结合上述有：Tcosα＝m1g，Tcosβ＝m2g 结合上述解得：m1L1＝m2L2，故C正确，D错误。 故选：C。 13．如图所示，一根光滑绝缘轻杆的下端固定于竖直转动轴OO′的O点，轻杆上套有一根劲度系数为k的绝缘轻弹簧，弹簧的下端固定在O点，上端与中心有孔的带电小球相连，小球的质量为m、电荷量为﹣q（q＞0），小球可以随杆一起绕转动轴OO′匀速转动，小球运动所在的空间存在辐射状的电场。当小球与杆之间没有弹力作用时，小球运动的轨迹圆的半径为R，且小球运动中杆与水平面间的夹角均为53°。已知轨迹圆上的场强大小，方向沿半径方向向外辐射，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，小球的孔径略大于杆的直径，弹簧始终处于弹性限度内，忽略空气阻力，则小球做圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：小球受到重力mg、电场力F电。已知场强大小，根据电场力公式F＝qE，可得小球受到的电场力； 小球做匀速圆周运动，将重力和电场力沿杆和垂直于杆方向分解，在垂直于杆的方向上，合力提供向心力； 设小球做圆周运动的周期为T，根据圆周运动的向心力公式（其中F向为向心力，m为物体质量，r为圆周运动半径）； 在垂直于杆的方向上，重力和电场力的合力提供向心力，由几何关系可知，垂直于杆方向上的合力F合＝mgsin53°+mgcos53°，又因为sin53°＝0.8，cos 53°＝0.6， 所以F合＝mg×0.8+mg×0.6＝1.4mg； 而圆周运动的半径r＝R，由，即，化简可得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 14．如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，在横杆上有A、B两点，且OA＝AB，在A、B两点分别用两根等长的轻质细线悬挂两个相同的小球a和b，将整个装置绕竖直杆匀速转动，则a、b两球稳定时的位置关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：a、b两球在水平面内做匀速圆周运动，将两球的圆周运动等效成圆锥摆，设摆长为L，等效摆线与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律得 mgtanθ＝mω2Lsinθ 解得：ω，h为等效悬点到小球的高度差，由于两球的角速度相同，因此h相同，故ABD错误，C正确。 故选：C。 15．如图所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体AB﹣CD﹣EF，可绕其竖直中心轴OO'在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动。二面体的二面角为120°。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm，CD距水平地面的高度为h＝1.1m，取重力加速度g＝10m/s2。 （1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小； （2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距A点的距离。 【解答】解：（1）设小物体受到的支持力为F，受力如图甲所示。 根据牛顿第二定律得：Fcos60°＝mω2Lsin60° 在竖直方向上受力平衡，可得：Fsin60°＝mg 已知：L＝20cm＝0.2m 解得：； （2）“V”型二面体突然停止转动，设小物体在二面体上运动的时间为t，运动的初速度大小为v0，加速度大小为a，沿AD方向向下运动的距离为y。 受力分析如图乙所示，在垂直ABCD面方向上有：mgsin60°＝F' 在平行ABCD面方向上，根据牛顿第二定律有：mgcos60°＝ma 小物体沿BA方向做匀速直线运动，且速度大小为v0＝ωLsin60° 小物体沿BA方向的位移为： 小物体沿AD方向做匀加速直线运动，其位移为： 联立解得：y＝0.025m 可知小物体从二面体上离开的位置距A点的距离为y＝0.025m。 答：（1）“V”型二面体匀速转动的角速度的大小为； （2）小物体从二面体上离开的位置距A点的距离为0.025m。 16．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g． （1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0； （2）若ω＝（1±k）ω0，且0＜k≤1，求小物块受到的摩擦力大小和方向． 【解答】解：（1）小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供圆周运动的向心力，有 mgtanθ＝mω•Rsinθ 解得ω0 （2）当ω＝（1+k）ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为f，陶罐壁对小物块的支持力为FN，沿水平和竖直方向建立坐标系，则： 水平方向：FNsinθ+fcosθ＝mω2•Rsinθ 竖直方向：FNcosθ﹣fsinθ﹣mg＝0 代入数据解得：fmg 同理，当ω＝（1﹣k）ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则： 水平方向：FNsinθ﹣fcosθ＝mω2•Rsinθ 竖直方向：FNcosθ+fsinθ﹣mg＝0 代入数据解得：fmg． 答： （1）ω0为． （2）当ω＝（1+k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为mg．当ω＝（1﹣k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为mg． 六．向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素（共3小题） 17．由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P点的线速度大小不变 B．P点的加速度方向不变 C．Q点在竖直方向做匀速运动 D．Q点在水平方向做匀速运动 【答案】A 【解答】解：A、由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，则P点的线速度大小不变。故A正确； B、由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，P点的加速度方向时刻指向O点。故B错误； C、Q点在竖直方向的运动与P点相同，相对于O点在竖直方向的位置y关于时间t的关系为 y＝lOP⋅sin（ωt） 则可看出Q点在竖直方向不是匀速运动。故C错误； D．Q点相对于O点在水平方向的位置x关于时间t的关系为 x＝lOP⋅cos（ωt）+lPQ 则可看出Q点在水平方向也不是匀速运动。故D错误． 故选：A。 18．如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，则关于A、B、C三轮边缘a、b、c三点的下列物理量的比，错误的是（　　） A．角速度之比为1：2：2 B．线速度大小为1：1：2 C．向心加速度大小之比为1：2：4 D．周期之比为2：2：1 【答案】D 【解答】解：AB、A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，两轮与皮带接触点的线速度大小相等，可知va：vb＝1：1。 由v＝ωr可知，在线速度大小相等的情况下，角速度与半径成反比，可知ωa：ωb＝1：2。 B、C两轮同轴传动，两轮角速度相同，即ωb：ωc＝1：1 角速度相同的情况下，线速度与半径成正比，可知vb：vc＝1：2 联立可得ωa：ωb：ωc＝1：2：2，va：vb：vc＝1：1：2，故AB正确； C、向心加速度的表达式为avω，结合AB解析可得，向心加速度大小之比为aa：ab：ac＝1：2：4，故C正确； D、ωa：ωb：ωc＝1：2：2，由可得周期之比为Ta：Tb：Tc＝2：1：1，故D错误。 本题选错误的，故选：D。 19．长度为L＝0.5m，一端固定一小球，另一端固定在转动轴o上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆每隔0.1s转过30°，试求： （1）小球运动的线速度的大小，角速度； （2）小球运动的向心加速度． 【解答】解：（1）每隔0.1s转过30°，则可知，角速度为： ωrad/s； 根据角速度与线速度的关系得： v＝ωR0.5m/s； （2）根据向心加速度公式有： a＝ω2R2×0.5m/s2 答：（1）小球的线速度的大小m/s，角速度rad/s； （2）小球运动的向心加速度m/s2； 七．向心加速度的计算（共2小题） 20．（多选）如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则（　　） A．M点的速度方向垂直于吊臂 B．N点的角速度为ω C．两点的线速度大小关系为vN＝4vM D．N点的向心加速度大小为2ω2L 【答案】ABD 【解答】解：A、吊臂绕固定转轴O顺时针转动，因此M点的速度方向垂直于吊臂，故A正确； B、M、N两点在吊臂上绕同一固定转轴O转动，有相同的角速度，则N点的角速度为ω，故B正确； C、M、N两点角速度相同，根据线速度与角速度关系v＝ωr可知，由于ON＝2OM＝2L，可得vN＝2vM，故C错误； D、根据向心加速度与角速度关系a＝ω2r得N点的向心加速度大小，故D正确。 故选：ABD。 21．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R＝1m，BC段长L＝1.5m。弹射装置将一个质量为0.1kg的小球（可视为质点）以v0＝3m/s的水平初速度从A点射入轨道，小球从C点离开轨道随即水平出，桌子的高度h＝0.8m，不计空气阻力，g取10m/s2。求： （1）小球在半圆轨道上运动时，向心加速度an的大小； （2）小球在半圆轨道上运动时，圆管对小球弹力的大小； （3）小球落到地面D点时的速度。 【解答】解：（1）小球在半圆轨道上做匀速圆周运动，则有 解得： （2）小球在半圆轨道上做匀速圆周运动，水平方向有 Fx＝man＝0.1×9N＝0.9N 竖直方向有 Fy＝mg＝0.1×10N＝1.0N 则圆管对小球弹力的大小为 FN 解得： （3）小球水平抛出后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则有 解得：t＝0.4s 落地时竖直方向的速度为vy＝gt＝10×0.4m/s＝4m/s 落地时的速度大小为 解得：v＝5m/s 落地时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则有 解得：θ＝53° 答：（1）小球在半圆轨道上运动时，向心加速度an的大小为9m/s2； （2）小球在半圆轨道上运动时，圆管对小球弹力的大小为1.35N； （3）小球落到地面D点时的速度为5m/s，方向与水平方向夹角为53°。 八．水平转盘上物体的圆周运动（共2小题） 22．如图所示，矩形框架ABCD位于竖直平面内，轻弹簧的一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿在框架的光滑竖直杆CD上并处于静止状态。现让框架绕AB边所在的O1O2轴由静止开始转动，在角速度逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的长度变短 B．弹簧的长度不变 C．CD杆对小球的弹力变大 D．CD杆对小球的弹力不变 【答案】B 【解答】解：AB、小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，受力分析如图所示： 设AD长度为r，轻弹簧弹力为F，与竖直方向夹角为θ，轻弹簧原长为l0，劲度系数为k，小球在竖直方向受力平衡，则：Fcosθ＝mg，，由于k、r、l0、mg都为定值，且等式左边随θ增大而减小，所以，满足条件的θ仅可能有一个值，即分别以角速度ω和ω′匀速转动，最终相对杆静止时，θ相同，小球高度相同，弹簧弹力相同，弹簧的长度不变，故A错误，B正确； CD、小球由静止开始做圆周运动，由F在水平方向的分力Fcosθ和CD杆对小球的弹力FN一起提供向心力，根据牛顿第二定律得： 解得：，此时随ω增大，FN先减小后反向增大，故CD错误。 故选：B。 23．如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间的动摩擦因数为μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，重力加速度为g，则： （1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； （2）当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，求物块所受的摩擦力大小； （3）当水平转盘以角速度ω3匀速转动时，求细绳拉力大小。 （4）若角速度从零开始缓慢增大，在坐标系中画出绳子的拉力F随ω2的变化关系图像，并标出相应的坐标值。 【解答】解：（1）当最大静摩擦力不能满足所需要向心力时，细绳上开始有张力，由牛顿第二定律得： 代入数据解得： （2）当水平转盘以角速度匀速转动时，因ω2＜ω1，故绳上无张力，由静擦力提供向心力。设此时物块所受的摩擦力大小为f，根据牛顿第二定律得： （3）当转盘对物块的支持力恰好为零时，物块所需要的向心力由重力和细绳拉力的合力提供。设此时的角速度为ω0，由牛顿第二定律得： 解得： 当水平转盘以角速度匀速转动时，因ω3＞ω0，故物块已经离开转台在空中做圆周运动。设此时细绳与竖直方向夹角为α，同理可得： 代入数据解得：α＝60° 则绳上的拉力大小为： （4）由上述解答可知： ①当0＜ω≤ω1时，即0＜ω2时，绳子的拉力F＝0； ②当ω1＜ω＜ω0时，即ω2时，所需向心力等于绳子拉力F的水平分力与物块所受的最大静摩擦力之和。 物块所受的最大静摩擦力大小为：fm＝μN＝μ（mg﹣Fcosθ） 根据牛顿第二定律得：Fsinθ+fm＝mω2lsinθ 代入数据整理可得：F＝2（2）（mlω2﹣mg） ③当ω≥ω0时，即ω2时，物块已经离开转台在空中做圆周运动，所需向心力等于绳子拉力F的水平分力，设此时细绳与竖直方向夹角为β，则有： Fsinβ＝mω2lsinβ 整理可得：F＝mω2l 综上所述，作出拉力F随ω2的变化关系图像如下图所示： 答：（1）ω1的值为； （2）物块所受的摩擦力大小为； （3）细绳拉力大小为2mg； （4）在坐标系中画出绳子的拉力F随ω2的变化关系图像见解答。 九．倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动（共3小题） 24．如图所示，与水平方向成θ＝30°角的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆周运动，角速度ω。盘面上距轴r＝0.5m处有一可视为质点的小物块恰能与圆盘保持相对静止。小物块的质量m＝1kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法错误的是（　　） A．物块与盘面间的动摩擦因数为 B．物块从最低点转到最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小 C．物块转至与圆盘圆心高度相同处时，圆盘对物块的摩擦力大小为2.5N D．在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块在最高点的摩擦力不可能为零 【答案】C 【解答】解：A.当小物块转到圆盘的最低点，恰能保持静止时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，由牛顿第二定律得μmgcos30°﹣mgsin30°＝mω2r，代入数据解得μ，故A正确； B.由于小物块做匀速圆周运动，重力与摩擦力的夹角由180°变为0°，而合力提供向心力大小不变，静摩擦力f逐渐减小，故B正确； C.小物块转至与圆盘圆心高度相同处时，所需向心力为Fn＝mω2r＝1×（）2×0.5N＝2.5N，由静摩擦力和重力沿斜面向下的合力提供向心力，则静摩擦力一定大于2.5N，故C错误； D.如果小物块最高点摩擦力为0，则满足mgsin30°＝mω2r，解得ωrad/s，当小物块运动到最低点时由于μmgcos30°﹣mgsin30°＜mω2r，小物块会发生相对滑动，故物块在最高点的摩擦力不可能为零，故D正确。 本题选错误的，故选：C。 25．（多选）如图所示，倾角为30°的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上质量为4m的滑块通过轻质刚性绳穿过光滑的圆环与质量为m的小球（可视为质点）相连，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为30°．斜面体和滑块始终静止，小球与圆环之间的绳长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．斜面体受地面的摩擦力大小为mg B．滑块所受摩擦力大小为2mg C．若改变小球的转速，当滑块恰好不受摩擦力时，小球的动能为 D．若改变小球的转速，当滑块恰好不受摩擦力时，小球的向心加速度大小为 【答案】AD 【解答】解：AB、对小球受力分析知，Tcos30°＝mg，解得：Tmg，滑块的重力沿斜面向下的分力为4mgsin30°＝2mg，所以滑块受到沿斜面向上的摩擦力，大小为4mgsin30°﹣Tmg， 对滑块和斜面整体，地面对斜面的摩擦力f＝Tcos30°＝mg，故A正确，B错误； CD、当滑块恰好不受摩擦力时，绳的拉力T′＝4mgsin30°＝2mg，对小球，设绳与竖直方向的夹角为θ，则竖直方向：T′cosθ＝mg，水平方向：T′sinθ 小球的动能EkmgL，向心加速度ag，故C错误，D正确； 故选：AD。 26．如图所示为马戏团的猴子表演杂技示意图．平台上质量为5kg的猴子（可视为质点）从平台边球A点抓住绳长为0.8m的水平绳末端，由静止开始绕绳的另一个固定端O点做圆周运动，运动至O点正下方B点时绳子恰好断裂，之后做平抛运动。在B点右侧平地上固定一个倾角为37°的斜面滑梯，猴子做平抛运动至斜面的最高点C时的速度方向恰好沿斜面方向。不计空气阻力，已知猴子刚运动到B点时的速度大小为4m/s（g取10m/s2）求： （1）绳子能承受的最大张力； （2）猴子从B点运动到C点的时间； （3）BC两点间的水平距离。 【解答】解：（1）设绳子能承受的最大张力为F。 猴子刚运动到B点时，由重力和拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律 F﹣mg＝m 解得：F＝150N （2）猴子从B到C做平抛运动，到达C时速度方向恰好沿斜面方向，则猴子到达C点时竖直分速度为 vy＝vBtan37°＝4m/s＝3m/s 猴子从B点运动到C点的时间ts＝0.3s （3）BC两点间的水平距离x＝vBt＝4×0.3m＝1.2m 答：（1）绳子能承受的最大张力为150N； （2）猴子从B点运动到C点的时间为0.3s； （3）BC两点间的水平距离为1.2m。 十．物体被系在绳上做圆锥摆运动（共3小题） 27．如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，横杆上的A、B两点处均用长为L的轻质细线分别悬挂相同的小球a、b（均可视为质点），且OA＝AB＝L。当整个装置绕竖直杆匀速转动且小球a、b稳定时，悬挂小球a、b的细线与竖直方向的夹角分别为α、β。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球a的向心加速度大小为gtanβ B．小球a的角速度大小为 C．小球b的线速度大小为 D． 【答案】D 【解答】解：A、对小球a分析，在水平方向，根据牛顿第二定律有：Fn＝mgtanα＝man 解得a小球的向心加速度为：an＝gtanα≠gtanβ，故A错误； B、根据向心加速度的表达式： 根据几何关系可得a球做匀速圆周运动的半径为：ra＝L（1+sinα） 联立变形整理解得：，故B错误； C、对小球b分析，在水平方向，根据牛顿第二定律有： 由几何关系可得：rb＝L（2+sinβ） 代入数据整理解得：，故C错误； D、小球a和小球b是同轴转动，所以有相同的角速度，则有：ωa＝ωb 即： 整理变形解得：，故D正确。 故选：D。 28．游乐场内有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，静止时的状态可简化为如图所示。左边绳长大于右边绳长，左边人与飞椅的总质量大于右边人与飞椅的总质量。当匀速转动时，下列四幅图可能的状态为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设绳与竖直方向的夹角分别为θ，钢绳延长线与转轴交点到人所在水平面的高度为h，人与飞椅受到重力与绳拉力的合力为mgtanθ，且其合力提供向心力，即mgtanθ＝mω2htanθ 解得h1＝h2 由h（其中r为圆盘半径，L为钢绳长度） 可知，L越小则θ越小，则θ左一定大于θ右，右侧钢绳延长线与转轴交点到人的高度一定大于左侧钢绳延长线与转轴交点到人的高度，所以左侧人与飞椅位置低一些，与质量无关，故A正确，BCD错误。 故选：A。 29．悬挂在水平天花板上的轻质弹性绳（满足胡克定律）处于原长时下端正好在A点，弹性绳穿过薄板间的光滑小孔悬挂质量m＝10kg的物块（可视为质点），物块静止在水平平台上的B点处，如图甲所示，A、B两点间的距离L＝0.64m，此时物块对平台的压力太小F1＝36N。当平台绕AB轴匀速转动，物块相对平台静止时，弹性绳与AB轴的夹角θ＝37°，如图乙所示。已知物块与平台间的动摩擦因数μ＝0.8，且接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，弹性绳处于弹性限度内。 （1）求弹性绳的劲度系数k； （2）若图乙中物块恰好与平台间无摩擦力，求物块的角速度大小ω1； （3）要保证图乙中物块与平台不发生相对滑动，求物块的角速度大小的取值范围。 【解答】解：（1）对题图甲中的物块受力分析，有F弹+FN＝mg 由牛顿第三定律有：F1＝FN 由胡克定律有：F弹＝kL 代入数据解得：k＝100N/m （2）若题图乙中物块恰好与平台间无摩擦力，对物块受力分析，竖直方向上有：F弹′cosθ+FN′＝mg 水平方向上有： 其中弹力：，而由几何关系有：r＝Ltanθ 代入数据解得：FN′＝36N， （3）结合前面分析可知，物块与平台间的最大静摩擦力大小：f＝μFN′ 物块以最小角速度ωmin相对于平台静止做圆周运动时，根据牛顿第二定律有： 物块以最大角速度ωmax相对于平台静止做圆周运动时，由牛顿第二定律有： 代入数据解得：ωmin＝2rad/s，ωmax＝4rad/s 因此物块的角速度大小的取值范围为：2rad/s≤ω2≤4rad/s。 答：（1）求弹性绳的劲度系数k为100N/m； （2）若图乙中物块恰好与平台间无摩擦力，物块的角速度大小ω1为rad/s； （3）要保证图乙中物块与平台不发生相对滑动，物块的角速度大小的取值范围是2rad/s≤ω2≤4rad/s。 十一．物体在圆锥面上做圆周运动（共2小题） 30．如图，竖直面内一倾角θ为37°的细杆上，与底端O'相距l＝1m处套着一个小球，小球随细杆一起绕竖直轴OO'做匀速圆周运动。已知小球和细杆间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球可看作质点，重力加速度g大小取10m/s2，不计空气阻力，sin37°＝0.6，为使小球和细杆始终保持相对静止，细杆做匀速圆周运动的最大角速度为（　　） A．rad/s B．rad/s C．5rad/s D．6rad/s 【答案】C 【解答】解：环绕OO'轴做匀速圆周运动，合外力提供向心力，根据几何关系可知，半径为：r＝OA•cos37°＝1×0.8m＝0.8m 当环恰好不上滑时，摩擦力达到最大静摩擦力且方向沿直杆向下，此时角速度最大 那么在竖直方向上：Ncos37°＝μNsin37°+mg 水平方向上： 联立代入数据解得：ωmax＝5rad/s，故ABD错误，C正确。 故选：C。 31．如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，结果可用根式表示）。求： （1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ （2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ （3）若小球的角速度ω时，细线上的拉力为多大？ 【解答】解：（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示： 小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。 在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得： mgtan θ＝mlsin θ 解得ω0 rad/s。 （2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有： mgtan α＝mω′2lsin α 解得：ω′ rad/s。 （3）小球的角速度ωω0时，小球受到锥面的支持力作用， 对小球受力分析可知，FTsin37°﹣FNcos37°＝mω2lsin37° FTcos37°+FNsin37°＝mg 联立解得FT＝8.04N。 答：（1）小球的角速度ω0为 rad/s。 （2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，角速度ω′为 rad/s。 （3）小球的角速度ω时，细线拉力为8.04N。 十二．车辆在道路上的转弯问题（共3小题） 32．某段水平公路转弯处弯道所在圆半径为40m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.25，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g＝10m/s2，汽车转弯时不发生侧滑的最大速率为（　　） A．5m/s B．10m/s C．15m/s D．20m/s 【答案】B 【解答】解：当汽车以最大速度转弯时，最大静摩擦力提供圆周运动向心力，有： 解得汽车的最大速率为：v＝10m/s，故B正确，ACD错误。 故选：B。 33．赣深高铁于2021年12月10日正式开通运营，设计速度为350km/h。在修筑高速铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨（用于减小外轨的损耗）。某铁路模型的某段弯道可视为半径7km的圆上的最高点的一小段圆弧，两根铁轨间的距离为143.5mm，若圆弧的圆心与两根铁轨共面，模型车通过该段弯道的线速度为252km/h时，模型车（可视为质点）对铁轨恰无沿轨道半径方向的作用力。g取10m/s2。则该圆弧位置两根铁轨间的高度差约为（　　） A．0.8cm B．1cm C．1.2cm D．1.4cm 【答案】B 【解答】解：题述情境可简化为质点在斜面上做圆周运动，模型车过最高点时，由重力沿斜面的分力恰好提供其做圆周运动的向心力。 设内外轨所在平面与水平面的夹角为θ，模型车受力如图所示，则有，其中sinθ 已知v＝252km/h＝70m/s，r＝7km＝7000m，L＝143.5mm＝0.1435m，代入上式解得：H≈0.01m＝1cm，故B正确，ACD错误。 故选：B。 34．汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量m＝1.6×103kg的汽车（可视为质点）在水平公路的弯道上行驶，速度大小v＝10m/s，其轨迹可视为半径R＝40m的圆弧。 （1）求这辆汽车转弯时需要的向心力大小F； （2）在冬天如果路面出现结冰现象，为防止汽车侧滑而发生危险，请给汽车驾驶员提出一条驾驶建议。 【解答】解：（1）这辆汽车转弯时需要的向心力大小F＝m1.6×103N＝4×103N； （2）汽车转弯时，由侧向静摩擦力提供向心力，由F＝m知为防止汽车侧滑而发生危险，建议汽车减速或增大轨迹半径，使汽车所受的静摩擦力不超过最大静摩擦力。 答：（1）这辆汽车转弯时需要的向心力大小F为4×103N。 （2）建议汽车减速或增大轨迹半径。 十三．火车的轨道转弯问题（共3小题） 35．如图所示，是生活中常见的圆周运动实例。下列说法正确的是（　　） A．图甲中，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 B．图乙中，汽车通过凹形路面的最低点时处于超重状态 C．图丙中，杂技演员骑着摩托车沿着光滑的内壁进行“飞车走壁”表演时，经过C处受到的侧壁弹力小于D处受到的弹力 D．图丁中，细绳拉住装水的小桶制成“水流星”，它可以在竖直平面内以任意大小的速度做完整的圆周运动 【答案】B 【解答】解：A、图甲中，火车转弯按规定速度行驶时，刚好由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得 解得规定速度为： 当时，重力和支持力的合力小于所需的向心力，火车有做离心运动的趋势，外轨对轮缘会有挤压作用，故A错误； B、图乙中，汽车通过凹形路面的最低点时具有向上的加速度，处于超重状态，故B正确； C、设球的半径为R，对演员和摩托车受力分析，如图所示： 由重力和弹力的合力提供向心力，则演员和摩托车所受的弹力FN C处球的半径与过O点的竖直线间的夹角比D处的大，即θC＞θD，则cosθC＜cosθD，所以FNC＞FND，即经过C处受到的侧壁弹力大于D处受到的弹力，故C错误； D、图丁中，当水流星要通过最高点处，向心力必须要大于等于重力，即，解得：，只有满足这个条件小桶才能做完整的圆周运动，故D错误。 故选：B。 36．为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角θ很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在θ很小时，tanθ≈sinθ≈θ。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过Δx，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：转弯时车轮会向外偏移Δx，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为r1， 根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为r2，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为s1，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为s2，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于当θ很小时，有 则上式可以化简为： 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得最小过弯半径R为 故ABD错误，C正确。 故选：C。 37．有一列重为100t的火车，以72km/h速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400m（g取10m/s2）。 （1）试求铁轨受到的侧压力； （2）若要是火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为0，我们可以适当倾斜路基，试计算倾斜角度θ的正切值的大小． 【解答】解：（1）侧压力提供火车做圆周运动的向心力，有：FN＝m 由题知，v＝72km/h＝20m/s 代入数据得，FN＝1×105N 故铁轨受到的侧压力为1×105N． （2）如图，重力与支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： mgtanθ＝m 解得：tanθ 答：（1）铁轨受到的侧压力为1×105N； （2）倾斜角度θ的正切值的大小为． 十四．绳球类模型及其临界条件（共3小题） 38．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT﹣v2图像如图乙所示，则（　　） A．数据a与小球的质量无关 B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为 D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等 【答案】D 【解答】解：AB、设绳长为R，小球在最高点时，由牛顿第二定律可得 得 由题图乙知a＝mg，b＝gR 则，，故AB错误； CD、当v2＝c时，代入得 将g和R的值代入得 ，故C错误； D、当v2＝2b时，由 可得FT2＝a＝mg，即拉力与重力大小相等，故D正确。 故选：D。 39．一个内壁光滑的圆形管道固定在倾角θ＝53°的斜面上，一个直径略小于管道直径、质量m＝1kg的小球（可视为质点）在管道中做圆周运动。已知圆形管道的半径R＝8m且远大于小球的直径，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，当地的重力加速度g＝10m/s2。 （1）若小球运动到最高点A时的速度大小vA＝8m/s，求小球在A点时对管道的弹力FA的大小； （2）若小球在最低点B时的速度大小vB＝20m/s，求此时管道对小球的弹力FB的大小。 【解答】解：（1）在A点时，根据牛顿第二定律可得 FN1+mgsinθ＝m 代入数据解得FN1＝0 在垂直斜面方向，小球受管道弹力大小为FN2＝mgcosθ＝1×10×0.6N＝6N 根据牛顿第三定律可知小球在A点时对管道的弹力FA的大小为6N。 （2）小球在最低点B时，根据牛顿第二定律可得 解得FN3＝58N 管道对小球的弹力大小为 FB 代入数据解得FB＝10N 答：（1）小球在A点时对管道的弹力FA的大小为16N； （2）此时管道对小球的弹力FB的大小为。 40．如图所示，一个人用一根长为R＝1米，能承受最大拉力为F＝74N的绳子，系着一个质量为m＝1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面高h＝6米．运动中小球在圆周的最低点时绳子刚好被拉断，绳子的质量和空气阻力均忽略不计，g＝10m/s2．求： （1）绳子被拉断的瞬间，小球的速度v的大小？ （2）绳断后，小球落地点与圆周的最低点间的水平距离x多大？ 【解答】解：（1）由题意，绳子被拉断前的瞬间，由牛顿第二定律有 将F＝74N，m＝1kg，R＝1m代入解得　v＝8m/s （2）绳断后，小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则由平抛运动的规律有 x＝vt 得　x＝v8m＝8m 答：（1）绳子被拉断的瞬间，小球的速度v的大小是8m/s． （2）（2）绳断后，小球落地点与圆周的最低点间的水平距离x是8m． 十五．杆球类模型及其临界条件（共3小题） 41．如图所示，轻杆上端可绕光滑铰链O在竖直平面内自由转动。可视为质点的小球A固定在轻杆末端。用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方的小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力F作用于小球A，使杆保持水平，某时刻撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为3L，OP长为5L，重力加速度为g，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．杆保持水平时，轻杆对小球A的拉力大小为 B．运动过程中，两小球速度大小相等时的速度值为 C．运动过程中，两小球速度大小相等时细绳对小球A的拉力大小为 D．运动过程中，两小球速度大小相等时轻杆对小球A的拉力大小为 【答案】C 【解答】解：A、对小球A受力分析如图1，可知三力构成的矢量三角形与△OPA相似，根据相似三角形性质有： 代入数据解得：，故A错误； B、小球A绕O点转动做圆周运动，速度方向沿圆周轨迹切线方向，又因小球A、B通过细绳连接在一起，两者沿绳方向的分速度相等，故两小球速度大小相等时，细绳与小球A的圆周轨迹相切，如图2所示，由几何关系得：， 此时小球A下降的高度： 小球B下降的高度： 对系统由机械能守恒有：mghA+mghB 联立代入数据解得：，故B错误； C、两小球速度大小相等时，对小球A受力分析如图3，沿绳方向应有：T'+mgcosθ＝ma1 小球B与小球A沿绳方向的加速度大小相等，则对小球B有：mg﹣T'＝ma1 将角度θ代入并联立解得：，故C正确； D、对A球，在速度最大时，沿杆方向应有： 代入数据解得：，故D错误。 故选：C。 42．（多选）如图所示，长为2L的轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定着质量为m的小球A，质量也为m的小球B固定在轻杆的中间位置。轻杆随转轴O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球A经过最高点时对轻杆的作用力为0。已知重力加速度大小为g，小球A、B均可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．小球A经过最高点时，小球B的线速度大小为 B．小球A经过最高点时，轻杆对小球B的作用力大为 C．小球A经过最低点时，轻杆对小球A的作用力大小为2mg D．小球A经过最低点时，轻杆对小球B的作用力大小为 【答案】BCD 【解答】解：A、由题知，AB两小球是同轴转动，有相同的角速度，设为ω，当小球A经过最高点时对轻杆的作用力为零，则由重力提供向心力， 根据牛顿第二定律有： 解得： 根据： 两者的角速度大小相等可得： 解得：，故A错误； C、小球A经过最低点时，设轻杆对小球A的作用力FNA，方向竖直向上，根据牛顿第二定律有： 代入数据解得：FNA＝2mg，故C正确； D、小球A经过最低点时，设轻杆对小球B的作用力FNB，方向竖直向上，根据牛顿第二定律有： 变形解得：，故D正确。 B、小球A经过最高点时，设轻杆对小球B的作用力大为FN，方向竖直向下，此时对小球B分析，根据牛顿第二定律有： 代入A选项中速度数据解得： 负号说明方向竖直向上，大小为，故B正确； 故选：BCD。 43．如图所示，一顶端带有轻质滑轮的光滑斜劈固定在水平面上，斜面倾角为37°，一转轴固定在天花板上的O点，O点与斜劈等高，长为L的轻杆一端可绕转轴在竖直平面内自由转动，另一端固定一小球P，一根不可伸长的轻绳绕过定滑轮A（大小不计），一端与小球P相连，另一端与斜面底端的滑块Q相连，已知，P、Q两物体质量相等，滑块Q与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，小球、滑块均可看作质点，不计转轴及滑轮摩擦力的影响，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6。 （1）当小球P、滑块Q速度大小相等时，求杆与水平面的夹角的余弦值； （2）若L＝4.1m，求小球P到最低点时的速度大小； （3）在（2）中若O点离水平面的高度为6.1m，当小球P摆到最低点时突然与绳子、杆脱离接触，假设小球P落地即静止，连接处平滑，求小球P、滑块Q最终的水平距离。 【解答】解：（1）小球P绕O点做圆周运动，当小球P、滑块Q速度大小相等时，小球P的线速度方向恰好沿绳，此时OP与AP垂直，设此时杆与水平面的夹角为θ， 根据几何关系有：，代入数据可得： （2）小球 P到最低点时，设此时的绳与水平方向夹角为α，根据几何关系有： 代入数据解得：α＝37° 将小球P的速度分解后有 vPcosα＝vQ 对小球P、滑块Q构成的系统，根据能量守恒可得： 代入数据联立解得：， （3）已知h＝6.1m，小球P从最低点开始做平抛运动，则有 ，x1＝vPt 代入数据解得：x1＝2m 滑块Q先沿斜面减速，根据（2）可知 代入数据解得：h′＝0.32m＜AB 滑块Q先沿斜面减速即至0，之后向下加速，最终在水面上减速至静止，则有 代入数据解得：x2＝7.2m 则小球 P、滑块Q最终的水平距离： 代入数据解得：x＝22.8m 解：（1）当小球P、滑块Q速度大小相等时，杆与水平面的夹角的余弦值为； （2）小球P到最低点时的速度大小为； （3）小球P、滑块Q最终的水平距离为22.8m。 十六．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共3小题） 44．“太极球”是近年来较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上。现将球拍和太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，球的重力为1N，不计拍的重力，则tanθ与F的关系为（　　） A．tanθ＝F+1 B．tanθ＝F+2 C．tanθ＝F﹣1 D．tanθ＝F﹣2 【答案】A 【解答】解：在A处时，板对小球的作用力为F，小球做匀速圆周运动的向心力：F向＝F+mg 由于无相对运动趋势，小球在B处不受摩擦力作用，受力分析如图所示， 由图几何关系可知：1，故BCD错误，A正确。 故选：A。 45．如图所示，在光滑水平桌面EAB上有质量为M＝0.2kg的小球P和质量为m＝0.1kg的小球Q，P、Q之间压缩一轻弹簧（轻弹簧与两小球不拴接），桌面边缘E处放置一质量也为m＝0.1kg的橡皮泥球S，在B处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧，P、Q两小球被轻弹簧弹出，小球P与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C；小球Q与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥球S碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的D点。已知水平桌面高为h＝0.2m，D点到桌面边缘的水平距离为x＝0.2m，重力加速度为g＝10m/s2，求： （1）小球P经过半圆形轨道最低点B时对轨道的压力大小NB′； （2）小球Q与橡皮泥球S碰撞前瞬间的速度大小vQ； （3）被压缩的轻弹簧的弹性势能Ep。 【解答】解：（1）小球P恰好能通过半圆形轨道的最高点C，则有： 代入解得： 对于小球P，从B→C，由动能定理有： 代入解得： 在B点，受力分析后根据牛顿第二定律有： 代入解得：NB＝6Mg＝6×0.2×10N＝2N 由牛顿第三定律有：NB′＝NB＝12N （2）设Q与S做平抛运动的初速度大小为v，所用时间为t， 根据公式： 代入解得：t＝0.2s 根据水平方向匀速直线运动的公式：x＝vt 代入数据得：v＝1m/s 以向右方向为正，碰撞前后Q和S组成的系统动量守恒，则有：mvQ＝2mv 解得：vQ＝2m/s （3）P、Q和弹簧组成的系统动量守恒，则有：MvP＝mvQ 解得：vP＝1m/s P、Q和弹簧组成的系统，由能量守恒定律有： 解得：Ep＝0.3J 答：（1）小球P经过半圆形轨道最低点B时对轨道的压力大小NB′为12N； （2）小球Q与橡皮泥球S碰撞前瞬间的速度大小vQ为2m/s； （3）被压缩的轻弹簧的弹性势能Ep为0.3J。 46．如图所示，竖直平面内固定着光滑半圆形轨道AMB，其中直径AOB为竖直方向，半径R＝1.6m，质量M＝1kg的长薄板静置于倾角θ＝37°的粗糙斜面CD上，其最上端刚好在斜面顶端C点。一质量为：m＝1.5kg的滑块（可看作质点）从圆轨道B点以v0＝4m/s的初速度进入轨道，并刚好通过最高点A点，接着从A点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上开始向下运动，小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时，立即与D处挡板碰撞，速度立即减为0。已知斜面CD长L2＝14.75m，薄板长L1＝7.25m，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数μ1＝0.25，滑块与长薄板间的动摩擦因数为μ2＝0.5，运动过程中空气阻力均忽略不计，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，试求： （1）滑块在A点时的初速度； （2）AC两点间的水平距离； （3）滑块从C点到达D点所需要的时间。 【解答】解：（1）滑块从B点到A点，根据动能定理： 代入数据解得：vA＝4m/s （2）滑块从A点到C点做平抛运动，设C点的速度竖直方向为vy则由速度合成有： 代入数据解得：vy＝3m/s 在竖直方向上，自由落体，则竖直速度：vy＝gt 在水平方向上：x＝vAt 代入数据解得：x＝1.2m （3）滑块运动在C点时的速度为：vCm/s＝5m/s 则滑块运动到薄板上后，对滑块，设加速度为a1，根据牛顿第二定律：mgsinθ﹣μ2mgcosθ＝ma1 解得： 对薄板，设加速度为a2，根据牛顿第二定律：Mgsinθ﹣μ1（M+m）gcosθ+μ2mgcosθ＝Ma2 代入数据解得： 设经过时间t1小滑块与薄板达到共同速度v1，小滑块位移为x1，薄板位移为x2，则由速度—时间公式有：v1＝vC+a1t1＝a2t1 联立代入解得：t1＝1s，v1＝7m/s 所以滑块位移：x1m＝6m 薄板的位移：x2m＝3.5m 因为x1﹣x2＜L1，x2＜L2，所以此后滑块和薄板一起加速运动，设加速度为a3，根据牛顿第二定律：（M+m）gsinθ﹣μ1（M+m）gcosθ＝（M+m）a3 代入数据解得： 设滑块和薄板一起加速时间为t2，则： 代入数据解得：t2＝0.5s 设薄板运动到D点时，滑块的速度为v2，此后小滑块继续以a1的加速度加速下滑，设加速到D点的时间为t3，则：v2＝v1+a3t2＝7m/s+4×0.5m/s＝9m/s 由位移关系可列： 代入数据解得：t3＝0.5s 则滑块从C点到达D点所需要的时间为：t＝t1+t2+t3＝1s+0.5s+0.5s＝2s 答：（1）滑块在A点时的初速度为4m/s； （2）AC两点间的水平距离为1.2m； （3）滑块从C点到达D点所需要的时间为2s。 十七．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共3小题） 47．如图所示，一滑块（可视为质点）在水平力F的作用下由静止沿粗糙水平直轨道AB开始运动，该力的功率恒定，达到最大速度后，撤掉该力，滑块继续前进一段距离后进入竖直光滑半圆轨道BCD，并恰好通过该轨道最高点D，然后进入光滑半圆管道DEF，最终停在粗糙水平直轨道FG上。已知水平力的恒定功率为10W，滑块的质量为0.2kg，滑块与轨道AB的动摩擦因数为0.5，半圆轨道BCD的半径R＝0.5m，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．滑块在D点的速度大小为 B．半圆管道DEF的半径r可能为0.15m C．在轨道AB上，滑块的最大速度为10m/s D．在轨道AB上，滑块减速过程的距离为2.5m 【答案】C 【解答】解：A、滑块恰好通过轨道BCD的最高点D，由重力提供向心力，由牛顿第二定律有 解得：，故A错误； B、设滑块从D点刚好到达F点，根据动能定理有：，解得r＝0.125m 根据题意，滑块最终停在粗糙水平直轨道FG上，所以半圆管道DEF的半径r应小于0.125m，故B错误； C、在轨道AB上，滑块的拉力等于摩擦力时，速度最大，设为v′，则有P＝Fv′＝μmgv′，解得：v′＝10m/s，故C正确； D、设在轨道AB上，滑块减速过程的距离为x。从撤去外力到D点的过程，根据动能定理有： ，解得：x＝7.5m，故D错误。 故选：C。 48．（多选）如图甲所示，一段只有部分的光滑圆管A竖直固定在木板B上（管口M为最高点），木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地面上，使B不能左右移动，现将一小球在管口N的正上方h高处由静止释放，小球通过最低点时管壁对它的弹力F与h的关系如图乙所示。已知管A和板B的总质量为0.3kg，小球的直径和圆管的粗细忽略，重力加速度取10m/s2则（　　） A．小球的质量为0.1kg B．圆管的半径为0.5m C．当h＝1m时，小球从管口M飞出后将落入管口N D．当h＝1.2m时，小球通过管口M时会使AB整体跳起 【答案】BD 【解答】解：AB、当小球从高度为h的地方下落至最低点的过程，根据动能定理有 在最低点，根据牛顿第二定律有 F﹣mg＝m 联立可得：F＝3mg 将h＝0、F＝6N和h＝1、F＝14N代入上式，联立可得：m＝0.2kg，R＝0.5m，故A错误，B正确； C、当h＝1m时，从开始下落到最高点，根据动能定理得 代入数据解得： 小球离开M点后做平抛运动，下落R高度时，有 可得平抛运动的水平位移为：，可得：x＝1m＞R＝0.5m，所以小球不会从管口M飞出后将落入管口N，故C错误； D、当h＝1.2m时，从开始下落到最高点，根据动能定理有 代入数据解得： 在最高点，根据牛顿第二定律有 联立解得：F′N＝3.6N 因为F′N＝3.6N＞GAB＝mABg＝0.3×10N＝3N，所以小球通过管口M时会使AB整体跳起，故D正确。 故选：BD。 49．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与光滑水平面BC平滑连接于B点，且BC的长度为1m，BC右端连接内壁光滑、半径r＝0.2m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口端平齐。一个质量为m＝2kg的小球放在曲面AB上，现从距BC的高度h＝0.6m处静止释放小球，小球进入管口C端时，它对上管壁有作用力，重力加速度取g＝10m/s2。求： （1）小球第一次经过C点时对管壁压力的大小； （2）若水平面BC粗糙且小球与BC间的动摩擦因数0.2，弹簧最大压缩量为5cm，其他条件均不变。在压缩弹簧过程中弹簧最大弹性势能为多少。 【解答】解：（1）小球从释放到C点，由动能定理有 在C点，对小球，由牛顿第二定律有 解得：FN＝100N 由牛顿第三定律可知，小球第一次经过C点时对管壁压力的大小与管壁对小球的支持力大小相等，即为100N。 （2）设整个过程中的最低点为零势能面，则有 mg（h+r+Δx）﹣μmgxBC＝Epmax 解得弹簧最大弹性势能为：Epmax＝13J 答：（1）小球第一次经过C点时对管壁压力的大小为100N； （2）在压缩弹簧过程中弹簧最大弹性势能为13J。 十八．拱桥和凹桥类模型分析（共3小题） 50．汽车过拱桥时的运动可以看成圆周运动。如图所示，汽车以速度v通过半径为R的拱形桥最高点时，以下说法正确的是（　　） A．汽车处于超重状态 B．汽车对桥的压力小于桥对汽车的支持力 C．无论汽车速度多大，汽车对桥始终有压力 D．桥对汽车的支持力大小为 【答案】D 【解答】解：ABD、对汽车，根据牛顿第二定律有，解得桥对汽车的支持力大小：mg，汽车处于失重状态，根据牛顿第三定律可知汽车对桥的压力等于桥对汽车的支持力，故AB错误，D正确； C、由上述表达式可知当时，汽车对桥无压力，故C错误； 故选：D。 51．关于如图甲、乙、丙、丁所示的四种圆周运动模型，下列说法不正确的是（　　） A．图甲中拱形桥半径为R，若车在最高点时速度大小为，车对桥面的压力为零，车将做平抛运动 B．图乙中，在固定圆锥筒（内壁光滑）内做匀速圆周运动的小球，受重力、弹力和向心力的作用 C．图丙中，仅在重力和轻绳拉力作用下，绕O点在竖直面内做圆周运动的小球，最容易拉断轻绳的位置一定是最低点 D．图丁中，当火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，外轨对火车有侧压力，火车易脱轨做离心运动 【答案】B 【解答】解：A、图甲中，在拱形桥最高点对车受力分析，根据牛顿第二定律有，当FN＝0时，v，可知车在最高点时速度大小为，车对桥面的压力为零，车将做平抛运动，故A正确； B、图乙中，在固定圆锥筒（内壁光滑）内做匀速圆周运动的小球，受重力和弹力，它们的合力提供小球的向心力，故B错误； C、图丙中，仅在重力和轻绳拉力作用下，绕O点在竖直面内做圆周运动的小球，在最高点，由牛顿第二定律有，可得 在最低点，由牛顿第二定律有，可得，根据能量关系可知v高＜v低，可知F高＜F低，在最低点绳子受到的拉力最大，所以最容易拉断轻绳的位置一定是最低点，故C正确； D、图丁中，当火车以规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，由重力与支持力的合力提供向心力。当火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，根据向心力公式可知火车所需要的向心力增大，重力与支持力的合力不足以提供向心力，故外轨对火车有侧压力，火车易脱轨做离心运动，故D正确。 本题选不正确的，故选：B。 52．如图一辆质量为500kg的汽车通过一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部时。 （1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ （2）如果汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是多大？ （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少多大。（重力加速度g取10m/s2，地球半径R取6.4×103km） 【解答】解：（1）汽车受重力G和拱桥的支持力F，根据牛顿第二定律有： G﹣F＝m 解得：F＝G﹣m5000﹣5004640N 根据牛顿第三定律，汽车对拱桥的压力为4640N； （2）汽车只受重力G，所以： G＝m 解得：v110m/s； （3）利用第2问的结论，有： m/s＝8km/s 答：（1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是4640N； （2）如果汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是10m/s； （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少8km/s。 十九．离心运动的应用和防止（共3小题） 53．关于离心运动，下列说法中正确的是（　　） A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动 B．物体受的离心力大于向心力时将做离心运动 C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化，就将做离心运动 D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或变小时将做离心运动 【答案】D 【解答】解：A、当物体受到的合力的大小不足以提供物体所需要的向心力的大小时，才是离心运动，故A错误。 B、没有离心力这种说法，故B错误。 C、合力大于需要的向心力时，物体要做向心运动，合力小于所需要的向心力时，物体就要远离圆心，做的就是离心运动，所以向心力的数值发生变化也可能做向心运动，故C错误。 D、当物体受到的合力的大小不足以提供物体所需要的向心力的大小时，物体就要远离圆心，此时物体做的就是离心运动，故D正确。 故选：D。 54．（多选）以下是书本上的一些图片，说法正确的是（　　） A．有些火星的轨迹不是直线，说明炽热微粒不是沿砂轮的切线方向飞出的 B．两个影子在x，y轴上的运动就是物体的两个分运动 C．无论小锤用多大的力去打击弹性金属片，A、B两球总是同时落地 D．做变速圆周运动的物体所受合外力F在半径方向的分力大于所需要的向心力 【答案】BC 【解答】解：A、有些火星的轨迹不是直线，是由于受到重力、互相的撞击等作用导致的，但擦落瞬间炽热微粒仍是沿砂轮的切线方向飞出的。故A错误。 B、两个影子在x，y轴上的运动就是物体的两个分运动，故B正确。 C、平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，故无论小锤用多大的力去打击弹性金属片，A、B两球总是同时落地，故C正确。 D、做变速圆周运动的物体所受合外力F在半径方向的分力等于所需要的向心力，故D错误。 故选：BC。 55．（多选）关于如图所示的四种圆周运动模型，说法正确的是（　　） A．图甲：轻质细绳一端系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点所受的合力不可能为零 B．图乙：汽车过拱桥最高点时速度越大，对桥面的压力越小 C．图丙：铁路弯道处的外轨会略高于内轨，当火车的质量改变时，规定的行驶速度也改变 D．图丁：洗衣机脱水过程中，吸附在衣服上的水所受合力大于所需向心力 【答案】AB 【解答】解：A、图甲：轻质细绳一端系一小球在竖直面内做圆周运动，因为轻绳不能支撑小球，所以小球在最高点所受的合力必须不为零，否则小球不能够做圆周运动，故A正确； B、图乙：汽车过拱桥，在最高点，根据牛顿第二定律得，解得，由牛顿第三定律知汽车对桥面的压力大小FN′，可知汽车过凸形桥最高点时速度越大，对桥面的压力越小，故B正确； C、图丙：火车以规定的速度经过外轨高于内轨的弯道时，受到的重力和轨道的支持力的合力恰好等于向心力时，设倾角为θ，则，解得，当火车的质量改变时，规定的行驶速度不变，故C错误； D、吸附在衣服上的水所受合力大于所需的向心力时，水仍能随衣物一起做匀速圆周运动，要使水做离心运动，应让吸附在衣服上的水所受合力小于所需要的向心力，故D错误。 故选：AB。 二十．圆周运动与平抛运动相结合的问题（共3小题） 56．如图所示，m为在水平传送带上被传送的小物块（可视为质点），A为终端皮带轮，已知皮带轮半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑．若物块被水平抛出，则A轮每秒的转数至少是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当物块恰好被水平抛出时，在皮带上最高点时由重力提供向心力，则由牛顿第二定律得： mg＝m，得v 设此时皮带转速为n，则有2πnr＝v，得到n 所以若物块被水平抛出，A轮每秒的转数至少是。 故选：C。 57．（多选）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L，当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（　　） A．圆盘的半径可能为 B．飞镖击中P点所需的时间为 C．圆盘转动角速度的最小值为 D．P点随圆盘转动的线速度不可能为 【答案】BCD 【解答】解：B．飞镖做平抛运动，由题意可知当P点运动到最低点时，飞镖击中P点，飞镖的水平分位移为L，则飞镖击中P点所需要的时间为，故B正确； A．由前面的分析可知，飞镖的竖直分位移等于圆盘的直径，则有，可得圆盘的半径为，故A错误； C．由于P点做匀速圆周运动，考虑圆周运动的周期性，P点运动到最低点所需要的时间为，又P点的运动与飞镖的运动具有等时性，则有t＝t'，根据圆周运动规律有，则可得圆盘转动的角速度为，可知当n＝0时，角速度的最小值为，故C正确； D．根据v＝ωr可得P点随圆盘转动的线速度为，可知当时，n不取整数，故D正确。 故选：BCD。 58．质量m＝2kg的小球在长为L＝2m的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝45N，转轴离地高度h＝4m。g取10m/s2。则： （1）若恰好能通过最高点，则最高点处小球的速度大小； （2）在某次运动中在最低点细绳恰好被拉断，则此时小球的速度大小； （3）若在（2）中细绳被拉断后小球继续做平抛运动，如图所示。求小球落地水平距离x。 【解答】解：（1）当小球恰好通过最高点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律有 mg＝m 解得：v0＝2m/s （2）若细绳此时恰好被拉断，则细绳的拉力T＝Tmax＝45N 小球在最低点时，由牛顿第二定律有 代入数据解得：v＝5m/s （3）绳断后，小球做平抛运动，设水平距离为x，则竖直方向有 解得：ts 水平距离为 x＝vt＝5mm 答：（1）最高点处小球的速度大小为m/s； （2）此时小球的速度大小为5m/s； （3）小球落地水平距离x为m。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $