6.4.3.1·余弦定理【7个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.1·余弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：余弦定理解三角形】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 适用场景：已知两边及夹角（SAS）、已知三边（SSS）、已知两边及其中一边的对角（SSA，需结合正弦定理） 解三角形目标：求出所有未知的边和角 解题思路 1.明确已知条件：边、角的数量与位置 2.若已知两边及夹角：直接代入余弦定理求第三边 3.若已知三边：用余弦定理求任意角，再用正弦定理或内角和求其余角 4.若已知两边及对角：先用正弦定理求角，再用余弦定理求第三边 5.验证结果：内角和为，大边对大角 名师点睛 优先用余弦定理处理SAS和SSS类型，避免正弦定理的多解问题 计算时先算平方项，再算乘积项，最后合并开方 结果要保留合理精度，角度用角度制或弧度制要统一 注意三角形内角范围，避免出现钝角或直角的错误判断 （23-24高一·全国·课堂例题）在中，已知，，，求c和．经典例题1例题 【答案】c＝2， 【分析】首先代入余弦定理求，再根据三边，求，即可求解. 【详解】由余弦定理得 ＝4， 所以． 再由余弦定理可得 ． 因为是三角形的内角，所以． （2024全国·模拟预测）如图，在中，已知，，，为的中点，则______，______.经典例题2例题 【答案】 4 【分析】中，利用余弦定理求出，进而得出；在中，由余弦定理求出，进而得出和． 【详解】在中，因为，，，所以由余弦定理得 ，所以. 在中，由余弦定理得， 在中， 由余弦定理得，所以， 故，所以. 故答案为： （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，和．小试牛刀1 【答案】，， 【分析】根据已知条件，利用余弦定理解三角形求出，再利用余弦定理求出，进而求出． 【详解】由余弦定理得：， ， ， ， 又， ，， ，，． （2026高一·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为.小试牛刀2 (1)若， ， ，求； (2)若，，，解这个三角形. 【答案】(1)7 (2), 【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可； （2）利用余弦定理求出得，再根据可得答案. 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以； （2）由余弦定理得，即， 解得（负值舍去），所以，即， 所以. （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，其中，求，和．小试牛刀3 【答案】，， 【分析】先由题意结合余弦定理依次直接计算求解c、A，再由三角形内角和即可求解角B. 【详解】由余弦定理得， ． 所以，又， ，． ，，． 【题型2：余弦定理求角】 【练方法】 知识梳理 变形公式（求角）： 核心：已知三边，求任意内角；或已知两边及第三边，求夹角 解题思路 1.确定要求的角，找到对应的三边 2.代入余弦定理变形公式，计算 3.根据的值，结合求出角度 4.若，角为锐角；，角为直角；，角为钝角 名师点睛 求角时优先用余弦定理，结果唯一，不会出现正弦定理的多解 计算时，分子是“对边的平方和减夹边的平方”，不要记混 若是特殊值（如、），直接写出角度；否则用反三角函数表示 注意钝角的余弦值为负，不要误判为锐角 （2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ）经典例题1例题 A．为锐角 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件结合余弦定理得，由，得，从而确定的范围，由，得，计算即可. 【详解】， 又， ，整理得： ， ， ， ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，为钝角， ，， ，， ，即， ，，解得：， ， ， ． （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，，则____________．经典例题2例题 【答案】 【分析】先由余弦定理求出c边，再由余弦定理即可求出. 【详解】因为，，， 所以，故， 所以由余弦定理得. 故答案为： （25-26高一下·全国·月考）在中，，，，则的大小为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算公式即可得解. 【详解】由余弦定理得． 故选：A. 【多选题】（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由条件通过配方得到，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由， 即， 所以， 或. 故选：AC （2026·山东泰安·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且.小试牛刀3 (1)求证：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合即可求证； （2）由结合余弦定理可得，进而结合利用三角恒等变换公式化简求解即可. 【详解】（1）在Rt中，，在Rt中，， 而，则，即， 则. （2）由，得, 所以，又，则，即， 由（1）知，， 所以， 则， 则 ， 即，则， 解得或（舍去） 又，则，所以，即. 【题型3：余弦定理求边长】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 适用场景：已知两边及夹角（SAS），求第三边；或已知一边及两角，先求角再求边 解题思路 1.明确已知两边及夹角，或已知一边及两角 2.若为SAS：直接代入余弦定理，计算第三边的平方，再开方 3.若为一边及两角：先用内角和求第三角，再用正弦定理求边，或用余弦定理变形求解 4.验证结果：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边） 名师点睛 SAS类型是余弦定理最直接的应用，计算步骤清晰 开方时只取正根，因为边长为正数 若已知角是特殊角（如、、），可简化计算 结果要保留根号或小数，根据题目要求处理 （25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. （25-26高三上·湖南常德·月考）已知D是斜边上一点，，，且，则的长______经典例题2例题 【答案】 【分析】在中，求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由，且知，又，则， 所以中，由为斜边，则， 则， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故答案为： （23-24高一下·福建厦门·月考）的内角的对边分别为，已知，，，则________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用已知条件先求的值，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. （25-26高三上·重庆·月考）在中，，则（    ）小试牛刀2 A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式求得，再应用余弦定理求边长. 【详解】由，且， 所以，可得. 故选：D （2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，若，求.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的定义及余弦定理列方程求解. 【详解】在中，，则， 则，解得， 由余弦定理得， 所以. 【题型4：余弦定理判断三角形形状】 【练方法】 知识梳理 核心依据： 若，则，直角三角形 若，则，钝角三角形 若，则，锐角三角形（需验证所有角） 若，则等腰三角形；若，则等边三角形 解题思路 1.找出最大边（最长的边） 2.用余弦定理计算最大边所对的角的余弦值 3.根据余弦值的正负判断最大角是锐角、直角还是钝角 4.若最大角是锐角，则三角形为锐角三角形；若为直角，则为直角三角形；若为钝角，则为钝角三角形 5.若有两边相等，结合角度判断等腰或等边三角形 名师点睛 必须先找最大边，只判断最大角即可确定三角形形状 若三边相等，直接判定为等边三角形 若两边相等且夹角为，则为等边三角形 不要误将“有一个角是锐角”的三角形当成锐角三角形 （24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）经典例题1例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. （24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ）经典例题2例题 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B （24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ）小试牛刀1 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B （24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ）．小试牛刀2 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理角化边，然后确定的形状即可. 【详解】因为， 根据余弦定理得， 整理得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：B. （23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ）小试牛刀3 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理， ， 因为，所以. 故选：A 【B·能力提升题型】 【题型1：余弦定理结合基本不等式求角的最值】 【练方法】 知识梳理 核心工具：余弦定理+基本不等式（，当且仅当时取等号） 目标：求角的最大值/最小值，或角的余弦值的范围 本质：将表示为边的函数，用基本不等式求最值 解题思路 1.用余弦定理写出目标角的余弦表达式： 2.结合已知条件（如为定值、为定值），用基本不等式放缩 3.求出的最值，再根据余弦函数单调性求角的最值 4.验证等号成立的条件（是否满足三角形三边关系） 名师点睛 常见放缩：，代入得 角的最值与的最值相反：越大，角越小；越小，角越大 等号成立时通常对应等腰三角形（） 注意角的范围，避免超出范围 （23-24高一下·浙江杭州·期中）已知满足，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解． 【详解】已知满足， 设、、对应的边分别为，，， 则， 即， 则， 当且仅当时取等号， 即的最小值为． 故选：D． （23-24高一下·福建福州·期中）已知在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合已知，化简，再利用正弦函数单调性求解即得. 【详解】在中，由，得，则，， 由余弦定理得， 因此，依题意，，则， 所以的取值范围是. 故选：B （2023·河南开封·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值. 【详解】在中， 因为，所以，则， 所以，且均为锐角，故， 由余弦定理得，所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是. 故选：B. （24-25高一下·重庆渝中·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及余弦定理可得，再由及基本不等式求C的范围，进而求的最大值. 【详解】由余弦定理，，即， 而，当且仅当时等号成立， 又，则，故， 所以的最大值是. 故选：B （24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·月考）在中，角，，所对的边是，，已知，且，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】，而， 所以，， 因为函数在时，单调递增，因此 ， 所以， 故选：A 【题型2：余弦定理几何基本不等式求周长面积的最值】 【练方法】 知识梳理 周长： 面积：（结合） 核心：用余弦定理建立边的关系，再用基本不等式求或的最值，进而求周长或面积的最值 解题思路 1.用余弦定理建立边的等式：如 2.结合基本不等式（、），求出或的最值 3.代入周长公式或面积公式，求周长或面积的最值 4.验证等号成立的条件（是否满足三角形三边关系） 名师点睛 求面积时，若已知角，则，只需用基本不等式求的最值 求周长时，若已知，则只需用基本不等式求的最值 常见结论：在中，若固定，则当时，周长和面积取得最值 注意为正数，面积的符号与一致，恒为正 （23-24高三上·河南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，已知．经典例题1例题 (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，利用余弦定理化简求得，求得，即可求解； （2）由余弦定理得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由， 所以， 得， 得， 因为为锐角三角形，所以为锐角，所以， 所以，即， 又因为，可得． （2）解：由余弦定理知， 所以，即， 所以，解得，当且仅当时，等号成立， 所以，即周长的最大值为． （22-23高一下·河南周口·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足经典例题2例题 (1)求A； (2)若，求a的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可； （2）应用余弦定理结合基本不等式求值即可. 【详解】（1） ，即， 即； （2）由余弦定理有， 当且仅当时取等号，故a的最小值为1. （23-24高一下·广西北海·期末）已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足．小试牛刀1 (1)求角A的大小； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由结合三角形面积公式可化简得到，即可求得答案； （2）利用余弦定理得到，进而化为，结合基本不等式求得，即可得周长的最大值. 【详解】（1）， ，                                    则，                                                               ，， 又，； （2），， 由余弦定理得，                                            即，， 所以,（当且仅当时取“＝”），                       故，，                                                         的最大值为8，的最大值为12， 周长的最大值为12． （24-25高三上·贵州贵阳·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且小试牛刀2 （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)利用三角形射影定理求出即可计算得解； (2)利用余弦定理结合试子变形求出边a的取值范围即可得解. 【详解】(1)在中，，由射影定理得：， 于是得，而 ，则， 所以； (2)由余弦定理得： ， 而，则，即，当且仅当时取等号，又，于是得， 所以的周长的取值范围为. （2024·黑龙江大庆·一模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．小试牛刀3 （1）求角的最大值． （2）若取（1）中最大值，，，当的周长最小时，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据，由余弦定理得到，结合基本不等式求解； （2）由（1）可知，结合，利用余弦定理得到，然后由的周长为，利用基本不等式求解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴, ． 又∵， 则，即． 又∵， ∴的最大值为． （2）由（1）可知，， 则． 又， ∴． 记的周长为， 则， ． 当且仅当， 即当或（不合题意，舍去）时取等号， ∴当的周长最小时，的值为． 【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 【题型3：余弦定理结合平面向量求线段长度或最值】 【练方法】 知识梳理 核心转化：将线段表示为向量，用向量模长公式，再结合余弦定理展开 场景：求三角形内线段（如中线、高、角平分线）的长度，或动点线段的最值 解题思路 1.将目标线段表示为向量（如中线） 2.计算向量的平方： 3.用余弦定理替换 4.化简得到线段长度的表达式，若求最值则结合基本不等式或函数值域求解 5.验证结果符合几何意义 名师点睛 向量法是解决三角形中线、高、角平分线长度的通用方法 中线长公式：，可直接由向量法推导 求最值时，将表达式转化为边的函数，再用基本不等式或二次函数求最值 注意向量方向，数量积的符号与夹角一致，不要出错 （25-26高一上·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别为，已知且.经典例题1例题 (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出； （2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. （25-26高三上·贵州·月考）在中，角的对边分别为．已知．经典例题2例题 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，线段的中点为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得；进而可求得，可求得角的大小； （2）由面积可得，结合（1）可得，利用，计算可求得的长． 【详解】（1）由，结合余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又，所以； （2）因为的面积为，所以， 由（1）知，所以， 又，，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以 ， 所以. （24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由，可得，由余弦定理，， 由， 因，则， 所以. 故选：C. （23-24高一下·宁夏银川·月考）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在和中，利用余弦定理建立方程，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得，又，解得， 故选：A （25-26高二上·广东深圳·期中）已知的面积为，内角所对的边分别为，且.小试牛刀3 (1)求的大小； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理得，进而求解； （2）由得，进而得，又由余弦定理得，即，解出，再利用三角性面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 即，所以， 又，所以； （2）因为，所以，即， 所以，即， 所以，即， 由余弦定理，，即， 所以，解得， 所以. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】根据余弦定理得. 由于，所以. 故选：D. 2．（2026·湖北孝感·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据余弦定理和数量积的定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可. 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再由向量的数量积公式计算即可. 【详解】， . 故选:B 4．（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意和余弦定理，在中求出AC的长，再求出AD的长，再由余弦定理在中求出BD的长． 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 5．（25-26高三上·河南·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，再结合余弦定理化简即可. 【详解】已知， 又因为，所以， 又由余弦定理， 又因为， 所以 ， 故选：D. 二、填空题 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）在中，则__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理进行求解. 【详解】由题意得， 又，所以. 故答案为： 7．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 【答案】 【分析】设，设，由角平分线的性质可得，在中，由余弦定理可求得. 【详解】因为的角平分线交于D，所以， 设，又因为，所以， 又因为，设，则，解得， 在中，由余弦定理可得. 故答案为：. 三、解答题 8．（2026高一·全国·专题练习）在中，，，，求． 【答案】 【分析】由余弦定理可得，进而得到． 【详解】由余弦定理， ， 因，则． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）在梯形中，，，，求． 【答案】 【分析】在中利用两次余弦定理即可. 【详解】设，则． 则在中由余弦定理可得， 解得， 则在中由余弦定理可得． 10．（25-26高三上·云南保山·期末）记的内角的对边分别为，已知，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，点在边上，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据二倍角公式把题干等式右边化简，然后结合两角和的余弦公式进一步化简求解； （2）首先利用正弦定理求得，再在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）∵由二倍角公式， 则，且， ∴，整理得 又，∴， 又∵，∴，，即， ∴是等腰三角形. （2）由（1）知，，且，∴， ∴ ∴在中，. ∴，即. 11．（25-26高一下·全国·课后作业）在锐角三角形中，、、分别为内角、、所对的边，若，，且，，求的值． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得出，结合已知条件可得出、的值，再利用余弦定理可得出的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】根据余弦定理得， 整理得， 又，所以，又，可得，， 于是， 所以． 12．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求即可． 【详解】（1）由得． 由，得． 由余弦定理，，，， 代入并整理得，故． （2）在中，已知，，， 则由余弦定理的推论得． 因为，所以为直角三角形，则， 即，解得． 13．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，已知. (1)将的长分别记为，证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)证明见详解. (2) 【分析】（1）运用向量数量积的定义和三角形的余弦定理证明结论成立即可； （2）根据余弦定理以及基本不等式的性质，化简计算可得的最大值. 【详解】（1）在中，设角所对的边为， 由向量数量积的定义可得， 再由余弦定理得， 化简得，故原命题成立. （2）由（1）可得，即， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为， 又，， 故的最大值为. 14．（25-26高三上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，， (1)若为等边三角形，求线段的长度； (2)若，求线段的长度 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用余弦定理可求； （2）利用两角和差的余弦公式求出，再在中利用余弦定理可求. 【详解】（1）依题意，， 故在中由余弦定理得 ， 故 （2）依题意：，则， 则， 因为，故为等腰直角三角形，故 因此 故在中由余弦定理得 ， 即. 15．（2026高一·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为a，b，c; (1)若， ， ，求; (2)已知，，．求c； 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据余弦定理计算边长即可； （2）由题可得，即，再由余弦定理计算边长即可． 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以； （2）∵，∴， ∵，∴， 由余弦定理可得，即， 即，解得（舍去）或， 故． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，，判断的形状． 【答案】直角三角形 【分析】先由化简题设条件，再由余弦定理角化边整理即可求解. 【详解】，∴原式可化为， 由余弦定理可得 ， 整理得，即， 或， 故一定为直角三角形． 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用诱导公式及两角和余弦公式计算得出，再结合角的范围及同角三角函数关系计算求解； （2）应用余弦定理计算求解边长. 【详解】（1）由， 得， 则， 即． 又， 则． （2）根据余弦定理，有， 解得或（负值舍去）． 18．（福建泉州市2026届高中毕业班质量检测（一）高三数学试题）的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. (1)求； (2)点满足，且，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据三角形面积公式及向量的数量积求解即可. （2）求出向量，对进行平方可得到，将对应向量代入化简可得，结合余弦定理求出，代入求值即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 因为，，所以， 又因为，所以. （2）因为，. 因为，所以，则， 即. 整理得，即，也即. 因为，所以，即. 在中，由余弦定理知，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.1·余弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：余弦定理解三角形】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 适用场景：已知两边及夹角（SAS）、已知三边（SSS）、已知两边及其中一边的对角（SSA，需结合正弦定理） 解三角形目标：求出所有未知的边和角 解题思路 1.明确已知条件：边、角的数量与位置 2.若已知两边及夹角：直接代入余弦定理求第三边 3.若已知三边：用余弦定理求任意角，再用正弦定理或内角和求其余角 4.若已知两边及对角：先用正弦定理求角，再用余弦定理求第三边 5.验证结果：内角和为，大边对大角 名师点睛 优先用余弦定理处理SAS和SSS类型，避免正弦定理的多解问题 计算时先算平方项，再算乘积项，最后合并开方 结果要保留合理精度，角度用角度制或弧度制要统一 注意三角形内角范围，避免出现钝角或直角的错误判断 （23-24高一·全国·课堂例题）在中，已知，，，求c和．经典例题1例题 （2024全国·模拟预测）如图，在中，已知，，，为的中点，则______，______.经典例题2例题 （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，和．小试牛刀1 （2026高一·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为.小试牛刀2 (1)若， ， ，求； (2)若，，，解这个三角形. （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，其中，求，和．小试牛刀3 【题型2：余弦定理求角】 【练方法】 知识梳理 变形公式（求角）： 核心：已知三边，求任意内角；或已知两边及第三边，求夹角 解题思路 1.确定要求的角，找到对应的三边 2.代入余弦定理变形公式，计算 3.根据的值，结合求出角度 4.若，角为锐角；，角为直角；，角为钝角 名师点睛 求角时优先用余弦定理，结果唯一，不会出现正弦定理的多解 计算时，分子是“对边的平方和减夹边的平方”，不要记混 若是特殊值（如、），直接写出角度；否则用反三角函数表示 注意钝角的余弦值为负，不要误判为锐角 （2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ）经典例题1例题 A．为锐角 B． C． D． （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，，则____________．经典例题2例题 （25-26高一下·全国·月考）在中，，，，则的大小为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·山东泰安·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且.小试牛刀3 (1)求证：； (2)若，求. 【题型3：余弦定理求边长】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 适用场景：已知两边及夹角（SAS），求第三边；或已知一边及两角，先求角再求边 解题思路 1.明确已知两边及夹角，或已知一边及两角 2.若为SAS：直接代入余弦定理，计算第三边的平方，再开方 3.若为一边及两角：先用内角和求第三角，再用正弦定理求边，或用余弦定理变形求解 4.验证结果：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边） 名师点睛 SAS类型是余弦定理最直接的应用，计算步骤清晰 开方时只取正根，因为边长为正数 若已知角是特殊角（如、、），可简化计算 结果要保留根号或小数，根据题目要求处理 （25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·湖南常德·月考）已知D是斜边上一点，，，且，则的长______经典例题2例题 （23-24高一下·福建厦门·月考）的内角的对边分别为，已知，，，则________．小试牛刀1 （25-26高三上·重庆·月考）在中，，则（    ）小试牛刀2 A．3 B．5 C．4 D． （2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，若，求.小试牛刀3 【题型4：余弦定理判断三角形形状】 【练方法】 知识梳理 核心依据： 若，则，直角三角形 若，则，钝角三角形 若，则，锐角三角形（需验证所有角） 若，则等腰三角形；若，则等边三角形 解题思路 1.找出最大边（最长的边） 2.用余弦定理计算最大边所对的角的余弦值 3.根据余弦值的正负判断最大角是锐角、直角还是钝角 4.若最大角是锐角，则三角形为锐角三角形；若为直角，则为直角三角形；若为钝角，则为钝角三角形 5.若有两边相等，结合角度判断等腰或等边三角形 名师点睛 必须先找最大边，只判断最大角即可确定三角形形状 若三边相等，直接判定为等边三角形 若两边相等且夹角为，则为等边三角形 不要误将“有一个角是锐角”的三角形当成锐角三角形 （24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）经典例题1例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ）经典例题2例题 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 （24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ）小试牛刀1 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 （24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ）．小试牛刀2 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 （23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ）小试牛刀3 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【B·能力提升题型】 【题型1：余弦定理结合基本不等式求角的最值】 【练方法】 知识梳理 核心工具：余弦定理+基本不等式（，当且仅当时取等号） 目标：求角的最大值/最小值，或角的余弦值的范围 本质：将表示为边的函数，用基本不等式求最值 解题思路 1.用余弦定理写出目标角的余弦表达式： 2.结合已知条件（如为定值、为定值），用基本不等式放缩 3.求出的最值，再根据余弦函数单调性求角的最值 4.验证等号成立的条件（是否满足三角形三边关系） 名师点睛 常见放缩：，代入得 角的最值与的最值相反：越大，角越小；越小，角越大 等号成立时通常对应等腰三角形（） 注意角的范围，避免超出范围 （23-24高一下·浙江杭州·期中）已知满足，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （23-24高一下·福建福州·期中）已知在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2023·河南开封·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·重庆渝中·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． （24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·月考）在中，角，，所对的边是，，已知，且，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：余弦定理几何基本不等式求周长面积的最值】 【练方法】 知识梳理 周长： 面积：（结合） 核心：用余弦定理建立边的关系，再用基本不等式求或的最值，进而求周长或面积的最值 解题思路 1.用余弦定理建立边的等式：如 2.结合基本不等式（、），求出或的最值 3.代入周长公式或面积公式，求周长或面积的最值 4.验证等号成立的条件（是否满足三角形三边关系） 名师点睛 求面积时，若已知角，则，只需用基本不等式求的最值 求周长时，若已知，则只需用基本不等式求的最值 常见结论：在中，若固定，则当时，周长和面积取得最值 注意为正数，面积的符号与一致，恒为正 （23-24高三上·河南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，已知．经典例题1例题 (1)求； (2)若，求周长的最大值． （22-23高一下·河南周口·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足经典例题2例题 (1)求A； (2)若，求a的最小值. （23-24高一下·广西北海·期末）已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足．小试牛刀1 (1)求角A的大小； (2)若，求周长的最大值． （24-25高三上·贵州贵阳·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且小试牛刀2 （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. （2024·黑龙江大庆·一模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．小试牛刀3 （1）求角的最大值． （2）若取（1）中最大值，，，当的周长最小时，求的值． 【题型3：余弦定理结合平面向量求线段长度或最值】 【练方法】 知识梳理 核心转化：将线段表示为向量，用向量模长公式，再结合余弦定理展开 场景：求三角形内线段（如中线、高、角平分线）的长度，或动点线段的最值 解题思路 1.将目标线段表示为向量（如中线） 2.计算向量的平方： 3.用余弦定理替换 4.化简得到线段长度的表达式，若求最值则结合基本不等式或函数值域求解 5.验证结果符合几何意义 名师点睛 向量法是解决三角形中线、高、角平分线长度的通用方法 中线长公式：，可直接由向量法推导 求最值时，将表达式转化为边的函数，再用基本不等式或二次函数求最值 注意向量方向，数量积的符号与夹角一致，不要出错 （25-26高一上·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别为，已知且.经典例题1例题 (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. （25-26高三上·贵州·月考）在中，角的对边分别为．已知．经典例题2例题 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，线段的中点为，求的长． （24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·宁夏银川·月考）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·广东深圳·期中）已知的面积为，内角所对的边分别为，且.小试牛刀3 (1)求的大小； (2)若，且，求. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（2026·湖北孝感·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 4．（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）在中，则__________. 7．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 三、解答题 8．（2026高一·全国·专题练习）在中，，，，求． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）在梯形中，，，，求． 10．（25-26高三上·云南保山·期末）记的内角的对边分别为，已知，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，点在边上，且，求的长. 11．（25-26高一下·全国·课后作业）在锐角三角形中，、、分别为内角、、所对的边，若，，且，，求的值． 12．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 13．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，已知. (1)将的长分别记为，证明：； (2)求的最大值. 14．（25-26高三上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，， (1)若为等边三角形，求线段的长度； (2)若，求线段的长度 15．（2026高一·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为a，b，c; (1)若， ， ，求; (2)已知，，．求c； 16．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，，判断的形状． 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求． 18．（福建泉州市2026届高中毕业班质量检测（一）高三数学试题）的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. (1)求； (2)点满足，且，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $