数列中的奇偶项、放缩问题题型归纳 课件-2026届高三数学二轮复习

高三二轮复习——数列中的奇偶项、放缩问题题型归纳 1.数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 2.证明数列不等式,有时需要应用放缩法结合数列的求和解决,求解的方法有先放缩再求和或先求和再放缩. 题型一　奇偶项问题 角度1　含有(-1)n的类型 例1　(2025·福建龙岩质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足nSn+1-(n+1)Sn=n(n+1),n∈N*,a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(-1)n·,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)由nSn+1-(n+1)Sn=n(n+1),n∈N*,得=1,又a1=1, 所以数列{}是首项为=a1=1,公差d=1的等差数列,所以=n,即Sn=n2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1也满足该式, 所以an=2n-1,则数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)得an=2n-1, 所以bn=(-1)n=(-1)n(), 所以Tn=-(1+)+()-()+…+(-1)n()=-1+(-1)n 规律方法　解含(-1)n的数列奇偶项问题时,先根据已知条件求数列的通项,若是求前2n项的和时,可将相邻两项分组,算出每组的和,再乘组数;若是求前n项的和时,n要分奇数和偶数两种情况,当n是偶数时,同前面的2n项分组求和,当n是奇数时,先求前n-1项的和,再加上第n项. 角度2　已知条件明确的奇偶项问题 例2　(2025·辽宁抚顺二模)已知{an}为公差不为零的等差数列, bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S3=T3,a3a5=S5. (1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前n项和Tn. 解 (1)设数列{an}的公差为d(d≠0),由 得 即 解得 所以an=a1+(n-1)d=n. (2)由bn=可知, 当n为偶数时,Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=(a1+a3+…+an-1) +2(b1+b3+…+bn-1)=3(a1+a3+…+an-1)=;当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)2-2bn=(n+1)2-2n= 综上,Tn= 规律方法　对于n是奇数时,an的表达式是一种形式,n是偶数时,an的表达式是另一种形式的数列{an},求{an}的前n项和Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以先求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求S2k-1. [对点训练1](2025·山西临汾三模)已知正项数列{an}中,a1=2,满足+an+1an-6=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)已知数列{bn}满足bn=求数列{bn}的前2n项和T2n. 解 (1)由+an+1an-6=0,得(an+1-2an)(an+1+3an)=0, 因为an>0,所以an+1+3an>0,则an+1=2an,所以{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n. (2)(方法一)由(1)知bn= 所以T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n) =(1-+…+)+(22+24+…+22n) =1-= (方法二)由(1)知bn= 设cn=b2n=4n,则可得=4, 所以{cn}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以{cn}的前n项和An= 设dn=b2n-1=, 所以{dn}的前n项和Bn=1-+…+=1-, 所以T2n=An+Bn= 题型二　放缩问题 角度1　先求和再放缩 例3　(2025·广东广州二模)设Sn为数列{an}的前n项和,且an是Sn和8的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=log2an,数列{}的前n项和为Tn,证明:≤Tn<. (1)解 因为an是Sn和8的等差中项,所以an=,即Sn=2an-8①. 当n=1时,S1=2a1-8,得a1=8. 当n≥2时,Sn-1=2an-1-8②, ①-②,得Sn-Sn-1=2an-2an-1,得an=2an-1,即=2. 所以数列{an}是首项为8,公比为2的等比数列,所以an=8×2n-1=2n+2. (2)证明 因为bn=log2an=log22n+2=n+2, 所以,所以Tn=+…+ =()+()+…+()=由n≥1,得0<,则,所以Tn< 解题思维链 规律方法　先对通项公式进行化简变形,再对数列求和,最后对和进行放缩,完成解题目标. [对点训练2](2025·江苏苏锡常镇一模改编)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,有an+1=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:≤Tn<1. (1)解 由题意知Sn>0,由an+1=,可得Sn+1-Sn=, 即()()=,所以=1,又=1,则{}是首项为1,公差为1的等差数列,故=1+(n-1) ×1=n,则Sn=n2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.当n=1时,a1=1满足上式.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)证明 由(1)知bn=,则Tn=b1+b2+b3+…+bn=()+()+…+[]=1-由n≥1,得0<,则1-<1,所以Tn<1. 角度2　先放缩再求和 例4　(2025·江苏南通三模)已知数列{an}是等差数列,记其前n项和为Sn,且S3=a5,a2n=2an+. (1)求数列{an}的通项公式. (2)将数列{an}与{}的所有项从小到大排列得到数列{bn}. ①求{bn}的前20项和; ②证明:+…+<32. (1)解 由题意得 解得所以an= (2)①解 Sn=,结合an=,可得bn=,{bn}的前20项和为() ②证明 当n=1时,=16<32成立,当n≥2时,=16(), +…+<16+16(+…+)=32-<32.命题得证. 规律方法　1.先放缩再求和方法的使用 (1)使用情景:数列结构复杂,不方便直接求和,通项比较方便放缩(通常放缩成等差数列、等比数列、差比数列或能裂项相消求和的数列). (2)解题步骤:先放缩数列的通项,再求和,完成解题目标. 2.放缩的常见技巧 (1)添加或舍去一些项,如=|a|,=n, =n. (2)将分子或分母放大或缩小,如 . (3)利用基本不等式,如. [对点训练3]已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=2n+1. (1)求证:数列{}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=+…+,求证:Tn<对任意n∈N*恒成立. 证明 (1)由an+an+1=2n+1得=1, 所以=-),又=-, 所以数列{}是首项为-,公比为-的等比数列, 所以=-(-)n-1, 所以an= (2)由已知得a1=1,a2=3,a3=5,…,显然{Tn}是递增数列,T1<T2= 当n>2,且n是奇数时, =3() =3<3 =3(), 所以Tn=+…+<1+3×[()+…+()] =1+3×()= 当n>2,且n是偶数时,n+1是奇数, 有Tn<Tn+1<,所以对任意n∈N*,Tn=+…+ $