精品解析：湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研考试数学试卷

武汉市2026届高中毕业生三月调研考试 数学试卷 武汉市教育科学研究院命制 2026.3.11 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即 或， 又因为，因此 所以. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得. 3. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设该圆锥的高为，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合推得，代入所求式化简计算即得. 【详解】依题意，，设该圆锥的高为，则，. 由可得，化简得， 故. 4. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 5. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得，再由等比数列的通项公式，化简求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 当 时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 7. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值. 【详解】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称， 又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为. 8. 已知A，B是双曲线 （， ）的左右顶点，，，…，是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记，若和都是等差数列且公差相等，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用坐标计算以及，再根据化简两式，根据等差数列的定义求出公差即可列出等式求解. 【详解】由题意知，，， 设，且，则， 则， 则， ， ， 则 ， 则， 则， 因为和都是等差数列， 所以为常数， 为常数， 因为其公差相等，所以， 则，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ） A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5 【答案】BC 【解析】 【详解】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次， 所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误； 平均数为，故B正确； 极差为 ，故C正确； 中位数为，故D错误. 10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明 平面，即可判断，对于B，若，则 ，连接 ，为的中点，证明，设 ，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断. 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形 为平行四边形，从而. 又平面，平面， 平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则 ， 连接 ，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设 ，， 则，， 所以，，与 矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，. ，D为中点， . 由选项A的推理知，，. 又，平面， 平面， 所以 平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 11. 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当 时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C. 存在正实数和，使得时，有 D. 当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件可得，当为正偶数，且时， ，当为正奇数，且时，，由此判断A，举反例排除B，研究函数的单调性及极值，结合得反例说明C错误，分情况讨论求的范围，判断D. 【详解】因为当时，，， 所以， 当时，，， 所以当为正偶数，且时， ， 当为正奇数，且时，， 对于A，对于任意，若，则 ，， 若，设 ， 若为偶数，则 ，，此时， 若为奇数，则，，此时， 综上，对于任意，，A正确； 对于B，若 ，则， 因为的零点为正整数，故函数在区间内恰有一个零点，B错误； 对于C，若时，， ， 令，则， 当为正偶数时，若，则，函数单调递增， 若，则，函数单调递减， 函数在时，取极大值，极大值为， 当为正奇数时，若，则，函数单调递减， 若，则，函数单调递增， 函数在时，取极小值，极小值为， 若，， 当为奇数，若，则，此时， 当为偶数时，由前述讨论可得当时， 的取值范围为， 对于任意给定的正数，存在一个正偶数，使得，且， 此时由不等式可得， 当时，， 而 , 故，故， 故此时不恒成立，C错误； 对于D，由选项C可得函数的极值点为，， 所以函数的极值点按从小到大排列依次为， 当时，，， 因为在区间内恰有两个极值点， 若，则，满足条件的不存在， 若，则，满足条件的不存在， 若，则，则， 若，则，则， 若，则，满足条件的不存在， 又，故大于等于的极值点都不在区间内， 故t的取值范围是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值. 【详解】， 解得. 13. 平行于x轴的直线交抛物线： 于点，交抛物线： 于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设平行于x轴的直线方程为，然后求出的坐标，进而判断四边形的形状，进而求出面积. 【详解】由题意可得，，设平行于x轴的直线方程为. 则，因为， 所以，化简解得. 根据对称性，不妨取，所以四边形为矩形， 所以四边形的面积为. 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）使用等差中项性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证. 【小问1详解】 设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为 ，则，则，得证. 16. 如图，在三棱锥中， ，，， ，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 在 中，由余弦定理，得， 因为平面，平面， 所以， 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得. 【小问2详解】 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积公式和性质， 得，所以. 【小问3详解】 由上可知：，取的中点 ，显然， 因为平面， 平面， 所以， 因此以 所在的直线为轴和轴，过 与平行的直线为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即 设平面的法向量为， ， 所以， 所以取该平面的一个法向量为， 设直线BC与平面PAB所成角为 ， 所以. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且 ，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由 恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点 ，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由 ，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足 ， 所以a的取值范围 18. 曲线E： （ ）与直线l： 交于点A，过点A且与l垂直的直线交曲线E于另外的点B，设线段AB的中点为P，定点Q的坐标为. （1）用t表示点A的坐标； （2）证明：为定值； （3）是否存在某条直线始终与以为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）因为直线斜率为，所以直线斜率为， 即直线： ， 联立直线和曲线得： ，化简得：  ， 设 ， ，中点 ， 由韦达定理可得： ，即  ， 所以 ， 根据两点间距离公式可得： ， 又因为线段AB的中点为P，所以 ， 由两点距离公式可得：  ， ， 所以，  即 为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）联立曲线和直线求交点. （2）先求出过与直线垂直的直线方程，联立曲线方程，用韦达定理求点坐标，进而得到点坐标，最后计算 为定值. （3）根据直线与以为直径的圆相切验证特殊直线是否存在. 【小问1详解】 因为曲线和直线交于点， 所以将直线 代入曲线E： ， 则 ， 化简得 ，即 ，即 ， 所以 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在直线：满足条件，下证之. 设圆心为 ，半径为，直线 交于， ，连接，则，， 设 ， 为与之间的距离， ， ， 由（2）可知，， 所以 ， 所以圆心 到的距离 ， 故 与相切，直线满足条件. 19. 有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. （1）若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； （2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； （3）记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，逐步对初始数列进行完整操作； （2）分析初始排列的特点，计算出满足条件的排列种数与总排列数的比值； （3）分析初始排列经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列的情况，通过对排列的构造和分析证明不等式. 【小问1详解】 第一次完整操作： 初始排列为，最左边的卡片标号， 可得标号小于的卡片，， 标号大于的卡片， 重新排列得到新排列， 第二次完整操作： 最左边的卡片标号， 可得标号小于的卡片， 标号大于的卡片，，， 重新排列得到新排列. 连续经过两次完整操作后得到的新排列. 【小问2详解】 要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列，必须满足： ，即原排列中小于的 个元素已经是递增顺序； ，即原排列中大于的 个元素已经是递增顺序； 首元素为时，剩余个位置由已经各自内部有序的和穿插而成， 确定中元素的位置可确定整个排列，共有种排法， 又因为可以取遍中的任意整数， 所以满足条件的初始排列总数为. 又因为个元素的全排列总数为， 所以初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率. 【小问3详解】 补充定义．对于长度为的排列，一次操作后变为， 要使该排列经过若干次操作后能变为顺序排列，必须满足： （1）本身是可排序的排列（共种可能）： （2）在初始时就必须是严格递增的序列（仅1种可能）． 因此，首位为的可排序序列数为：． 将从1到的所有情况相加，得到递推式：． 下面证明原不等式，根据递推式写出的展开式： ， 将上式代入要证的不等式并移项整理，等价于证明： ， 又由的递推式可知：． 移项可得：． 代入前述等价不等式，问题转化为证明： 要使上式成立，只需证明对任意的，都有． 由于且由于，该不等式等价于证明：． 因为，所以，进而有． 又已知，故恒成立． 因此，对任意的，不等式均成立． 原不等式得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市2026届高中毕业生三月调研考试 数学试卷 武汉市教育科学研究院命制 2026.3.11 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 3. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 7. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知A，B是双曲线 （， ）的左右顶点，，，…，是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记，若和都是等差数列且公差相等，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ） A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5 10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 11. 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当 时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C. 存在正实数和，使得时，有 D. 当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 13. 平行于x轴的直线交抛物线： 于点，交抛物线： 于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点 ，若，则 __________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 16. 如图，在三棱锥中， ，，， ，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面 . （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且 ，求a的取值范围. 18. 曲线E： （ ）与直线l： 交于点A，过点A且与l垂直的直线交曲线E于另外的点B，设线段AB的中点为P，定点Q的坐标为. （1）用t表示点A的坐标； （2）证明：为定值； （3）是否存在某条直线始终与以为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 19. 有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. （1）若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； （2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； （3）记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $