5.3.2(4)函数的最大(小)值第2课时 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2(4) 函数的最大(小)值 第2课时 ·选择性必修第二册· 1.7.2013 同学们好，今天我们将开始学习第五章“一元函数的导数及应用”的第一节课——“变化率问题”。导数是微积分中的核心概念，它为我们研究函数的变化提供了强大的工具。通过这节课的学习，我们将从实际问题出发，理解变化率的含义，并逐步引入导数的概念。希望大家能够积极思考，深入理解，为后续的学习打下坚实的基础。 ‹#› 学习目标 1.巩固函数的最大值和最小值的概念.（直观想象） 2.会用导数解决含参函数的最值问题以及由函数的最值求参数的问题. （逻辑推理、数学建模、数学运算） 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 复习引入 最小值 最大值 利用极值求出函数的最大值与最小值：把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知探究1 含参函数的最值问题 解： 例题1 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知探究1 含参函数的最值问题 解： 例题1 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知探究1 含参函数的最值问题 已知函数， . （1）讨论函数 的单调性； （2）求函数在区间 上的最小值. 例题2 [解析] （1）函数的定义域是 ， . 若，则恒成立，在 上单调递减； 若，当，时，，当，时， ， 所以在，上单调递减，在， 上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在， 上单调递减， 在， 上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在 上单调递减，所以 ； 当，即时，在上单调递减，所以 ； 当，即时，在，上单调递减，在， 上单调递增，所以 .综上，当时，；当时， . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知生成 对于含参函数的最值问题: 方法总结 ： 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化， 从而导致最值的变化，故解此类问题时，可通过导函数值为0时自变量的大小或 通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 已知函数，，求函数 的最小值. [解析] ， 令，解得， . ①当时，在上单调递减，在 上单调递增，所以 . ②当时，，在上单调递增，所以 . ③当时，在，上单调递减，在， 上单调递增，所以 . 综上所述，当时，的最小值为 ； 当时， 的最小值为0； 当时，的最小值为 . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知探究2 由函数的最值求参数 已知函数，是否存在实数，，使在 上取得最 大值3，最小值？若存在，求出， 的值；若不存在，请说明理由. 例题3 解：显然， . 令，解得或 （舍去）， 当时，在上变化时， ， 的变化情况如表所示： 0 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，有最大值， . 又， ， ，所以当时，取得最小值， 即，解得 . 当时，在上变化时， ， 的变化情况如表所示： 0 - 0 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，有最小值， ， 又， ， ， 所以当时， 取得最大值， 所以，解得 . 综上可得，存在实数，满足条件， ，或， . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知探究2 由函数的最值求参数 例题4 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 方法总结 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课堂小结 函数的最值问题 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 解： 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 解： 课后作业 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. (1) 因为，所以，， 所以. 由或. 所以当，所以，所以在上单调递增， 所以. 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. ②当,即时,由或. 由. 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ①当，即时，或. 所以在上单调递增，； ③当，即时，由. 所以在上单调递减， . 综上， (2) 的定义域为， ， 由. 由题意可得：，即. 令，， 在上单调递减, 又,不等式等价于,解得. 综上，的取值范围是 定义域为，且，若，则对 任意恒成立． 所以在上单调递增，无最大值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 则有极大值，无极小值， 可知在上单调递增，上单调递减， 已知函数,若存在最大值,且最大值 小于0，求的取值范围． 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数 最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性 及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 由题意，函数，可得， 若时，当时在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，令，即， 画出函数与的图象，如图所示， 结合图象，存在，使得， 当时单调递减； 当时单调递增， 此时函数在上有最小值，符合题意． 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：A 1.函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 由题设，当，结合，易知， 所以在上单调递增，故无最大值，不符合 当，且，则时，时， 所以在上递增，在上递减，则， 故，可得.综上，. 2. 已知函数，其中为常数，为自然对数的底数， 若在区间上的最大值为2，求的值． (1)， 由已知得，即，解得， 当时，在处取得极小值，所以. (2)由(1)得，则， 令得,令得,所以函数在上单调 递减，在上单调递增. ①当时,在上单调递增,； ②当时,在上单调递减, 在上单调递增,； ③当时，在上单调递减， 综上，在上的最小值. 1．已知函数在处取得极值. (1)求的值；(2)求函数在上的最小值. 由题意得，易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值,则,即,解得. 这时存在,使得在上单调递减,在上单调递增， 即函数在上有极小值,也是最小值,所以的取值范围是. 故选：A. 2. 已知函数在区间上有最小值， 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． $