1.3 二次根式的运算（第1课时 二次根式的乘除）（题型专练，12大题型+培优）数学新教材浙教版八年级下册

1.3 二次根式的运算 （第1课时 二次根式的乘除） 题型一：判断二次根式的乘除是否正确 1．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误； 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键． 由 和可知 和均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立． 【详解】解：∵   ，， ∴，． 对于①：，成立，符合题意； 对于②：中 ，但和在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意； 对于③：， ∵， ∴，成立，符合题意； ∴等式成立的是①③． 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京顺义·期中）下列运算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算和分式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据二次根式的运算和分式的化简法则逐项进行判断，分式化简时，需确保分子和分母有公因式才能约分，否则可能导致错误． 【详解】解：A. ，该选项计算正确，不符合题意； B. ，该选项计算正确，不符合题意； C.当时， ，该选项计算错误，符合题意； D. ，该选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，解题的关键是掌握二次根式的化简和运算法则． 根据二次根式的性质逐一判断，注意算术平方根的非负性和分母有理化． 【详解】解：∵ 对于选项A：， ∴ 正确，符合题意； 对于选项B：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项C：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项D：， ∴ 错误，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可．选项A、B、C的等式均需满足特定条件才成立，而选项D的变形符合二次根式的除法性质，在且时恒成立，因此正确． 【详解】解： A．：仅当且时成立，即，否则不一定成立，故等式不成立； B．：当，时，左边，右边，故等式不成立； C．：，不一定等于，故等式不成立； D．：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立，故正确． 故选：D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【详解】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 题型二：用字母表示二次根式 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键． 将分解为，简化后得到，再代入和表示和． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握相关运算法则是解决问题的关键．，结合已知条件和，直接可得． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 题型三：利用二次根式的乘除进行化简 1．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解： ，， ， 原式， 故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆江津·月考）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3．（2025·广东广州·三模）计算：等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，，，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的步骤． 利用二次根式化简的步骤进行化简即可． 【详解】解：； ； 故答案为：，． 题型四：利用二次根式的乘除求取值范围 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·月考）能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是商的算术平方根，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件必须是被开方数大于等于0，特别注意0做除数无意义．根据二次根式有意义的条件和0不能为分母可知，且，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得，且， 解得． 故选：C 4．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）若在实数范围内成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的除法法则，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， 故选：D． 题型五：二次根式乘除混合运算（计算题） 1．（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法和乘除运算法则是解题的关键． 先将各项根式化为最简形式，再根据二次根式的乘除运算法则，从左到右依次进行计算． 【详解】解： ． 题型六：判断解题过程是否正确 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 【答案】(1)③ (2)6 【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则； （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：小明从第③步开始出错的； 故答案为：③； （2）解：原式， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确  见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘法，正确的计算是解题的关键． 先将带分数化为假分数，计算括号内的二次根式的乘法，然后计算积的乘方，最后再算乘法即可． 【详解】解：他的做法不正确．正确的解答过程如下： 原式 ． 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成任务． 解： ………第一步 …………第二步 ……………………………第三步 ………………………………………第四步 任务： (1)从第二步到第三步运用的乘法公式是__________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程中，最开始出现错误的步骤是第__________步； (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)平方差公式 (2)三 (3)见解析 【分析】本题考查二次根式的混合运算. （1）利用平方差公式进行计算； （2）第三步，计算错误； （3）利用乘法公式进行计算即可． 【详解】（1）解：从第二步到第三步运用的乘法公式是平方差公式； 故答案为：平方差公式； （2）第三步，的平方计算错误； 故答案为：三； （3） ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确的解答见解析 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 除法没有分配律，所以小明的解法错误；把分母有理化，再把括号内合并同类二次根式，然后根据除法法则运算． 【详解】解：他的解法不正确，正确解答过程为： 原式 ． 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； (2)从第_________步开始出现错误； (3)请写出正确的计算过程． 【答案】(1) (2)一 (3)见解析 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质． （1）根据二次根式的除法运算法则进行分析； （2）第一步错误； （3）原式先化简二次根式，然后算除法，再算加减法． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第一步开始出现了错误，分母只有一个； 故答案为：一； （3）解： ． 题型七：已知字母或代数式的值求解 1．（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键． 先根据互为相反数的两个数和为列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于的方程，求解出的值，最后代入式子计算结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∵二次根式具有非负性， ∴只有当且时，和为， 解得： 将代入： ​． 故答案为：． 2．（25-26八年级下·全国·周测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川资阳·期中）已知，，则代数式 ． 【答案】 3 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，二次根式的乘法及加法计算法则，先计算 和 的值，再利用完全平方公式将 转化为 ，代入计算后求算术平方根． 【详解】由已知，，， 则 ， ， 所以 ， 因此， 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知，，则 ． 【答案】6 【分析】该题考查了因式分解的应用，将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴． 故答案为：6． 5．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得，，即得，再利用积的乘方的逆运算可得，再代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 解得 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式化简求值，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则进行化简，然后将整体代入进行求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 题型八：二次根式乘除的实际应用 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键． 分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可． 【详解】解：． 答：通道的总面积为． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）梅洁装饰品公司要出品一批面积为的长方形剪纸，它的长宽之比为． (1)请你算出长方形剪纸的长和宽分别是多少？ (2)现有面积分别为和的两种正方形原料，采购部小王认为“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小王的说法吗？应该选择那种原料，请计算说明． 【答案】(1)长方形剪纸的长和宽分别是， (2)同意小王的说法，应该选择面积为的正方形原料，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根及无理数的估算； （1）设长方形剪纸的长为，则宽为，根据题意列出方程，根据平方根的定义，解方程，进而取正数解，即可求解； （2）分别计算面积分别为和的两种正方形的边长，与（1）中的长比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设长方形剪纸的长为，则宽为 解得：（负值舍去） ∴ ∴长方形剪纸的长和宽分别是， （2）解：同意小王的说法，应该选择面积为的正方形原料，理由如下， ∵，， ∴能用面积为的正方形裁出一块面积为的长方形． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【详解】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 4．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）团结社区辖区内现有一块四边形的空地，如图所示，为提升小区绿植率和环境优美需求，社区决定把该空地改建成花圃．经勘测，四边形中，，．（参考数据：） (1)求两点之间的距离； (2)按安全要求，要在花圃周围即四边形的四条边上安装栅栏，社区预计改建花圃和安装栅栏的总费用不超过10万元，若改建花圃每平方米的费用为500元，而购买和安装栅栏的费用是每米80元，请问社区预计的总费用是否充足？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)社区预计的总费用不充足，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）连接，利用勾股定理求出的长即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出四边形的周长和面积，进而求出所需要的总费用进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴； 答：A，C两点之间的距离为； （2）解：费用不充足，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴； ， ∴总费用为：； 故费用不充足． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)1350.7元 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答． （2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域的周长为米 （2）解： （平方米）． ∴其余的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.7元． 题型九：判断是否为最简二次根式 1．（25-26八年级上·上海普陀·月考）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义；根据被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简； B、，被开方数为整式，且无平方因式或因数，故为最简； C、，被开方数含平方因数4，不是最简； D、，被开方数含平方因式，不是最简． 故选B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 3．（25-26九年级上·四川泸州·月考）下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，无法再开方，它们是最简二次根式； ，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式； 则最简二次根式共2个， 故选：A 4．（2025九年级下·上海·专题练习）以下二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B．（为质数） C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分数，不是最简二次根式，不合题意； B、（为质数）是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 题型十：判断化为最简二次根式是否正确 1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）下列各式的化简结果与的化简结果是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式是化简后根号内数相同是解题的关键． 先化简为，根号内数为2；再分别化简各选项，找出化简后根号内数也为2的选项． 【详解】∵ ， ∴ 化简后根号内数为2， 对于选项： A. ，根号内数为3； B. ，根号内数为6； C. ，根号内数为2； D. ，根号内数为3， ∴ 只有C选项化简后根号内数为2，与同类． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简． 根据二次根式的性质，对各选项进行化简判断即可． 【详解】解：A．，原化简不正确，不符合题意； B．， 原化简不正确，不符合题意； C．，原化简正确，符合题意； D． ，原化简不正确，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②分母不含根号；③被开方数不含能开方的因数．需逐项验证化简过程是否符合要求．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】选项A：原式化简应为，错误； 选项B：正确化简为，而选项B结果为，数值明显不符，错误； 选项C：分母含根号，未有理化，正确形式应为，错误； 选项D：将化为分数，再有理化分母：，符合最简二次根式要求，正确； 故选：D． 题型十一：已知最简二次根式求参数 1．（25-26八年级上·山西大同·月考）若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键．先化简二次根式可得，再得出最简二次根式与是同类二次根式，则可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川巴中·月考）若最简二次方根式与可以合并，则 ， ，的值为 ． 【答案】 4 76 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据可以合并的最简二次根式是同类二次根式，列方程求出a、b，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次方根式与可以合并， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，4，76． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）若最简二次根式与能进行合并，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式与可以合并，可得，据此即可求解，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并， ∴， 解得：． 故答案为：4 6．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 题型一：二次根式乘除中新定义类 1．（24-25八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 2．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 3．（24-25八年级下·福建福州·月考）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形． 【答案】(1)是； (2)是可爱三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的定义，二次根式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中所给的可爱三角形的定义、等边三角形的定义判断即可； （）根据可爱三角形的定义和二次根式的性质化简即可判断． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， ∴， ∴等边三角形一定是可爱三角形， 故答案为：是； （2）解：∵，，， ∴， ∴这个三角形是可爱三角形． 4．（23-24八年级上·辽宁锦州·月考）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． (1)①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． (2)若是奇异三角形，，求的长． 【答案】(1)①是；②不是 (2)的长为或． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为，则，在由“奇异三角形”的定义即可得出结论； ②计算两边的平方和是否等于第三边平方的2倍，即可根据定义判断； （2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”， 故答案为：是； ②∵，，， ∴，，， ∴该三角形不是“奇异三角形”， 故答案为：是； （2）∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是奇异三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，新定义“奇异三角形”，等腰三角形的性质等知识，理解新定义“奇异三角形”的定义是解本题的关键． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·江西新余·月考）如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得： ， 根据的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 4．（24-25八年级下·重庆万州·月考）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若，则；④已知代数式A、B、C满足，则．正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】直接求代数式的值可判断①，利用完全平方公式可判断②，利用公式变形，整体代入求值可判断③，根据，，求出 配方得出，然后代入求值可判断④． 【详解】解①当时，，故①正确； ②存在实数，使得，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴， 则； 故③错误； ④已知代数式A、B、C满足，， ∴ 则 = = = =15； 故④正确， ∴正确的个数有3个． 故选B． 5．（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】46 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用割补法求面积，二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握以上性质和运算法则． 延长交于点，判定出与为等腰直角三角形，得出相等的边，假设，利用勾股定理表示出斜边，然后利用相等的边求出的值，最后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴与为直角三角形， ∵， ∴， ∴与为等腰直角三角形， ∴，， 假设， 则根据勾股定理得， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为， 故答案为：46． 7．（24-25八年级下·山西大同·月考）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为， ∴长方形彩纸的面积为， ∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍， ∴正方形彩纸的面积为． 故答案为： ． 8．（23-24九年级下·山东临沂·月考）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出规律是解题的关键． 利用分式的加减法则分别可求，，，利用规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：2024． 9．（21-22九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则 . 【答案】10 【分析】设，则，可得，然后根据平方差公式可得，然后代入计算即可解答． 【详解】设，则， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查了换元法、乘方、平方差公式等知识点，掌握换元法是解答本题的关键． 10．（24-25八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 11．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有．） (1)若三边长分别是5，和，则此三角形______“悦动三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)的长为或 【分析】本题主要考查新定义下的三角形知识，涉及勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用平方根解方程等知识．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用平方根解方程是解题的关键． （1）按照定义求解作答即可； （2）设三角形的三边长从小到大为，由勾股定理得，由是“悦动三角形”，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意得，，设，则，由是“悦动三角形”，可知分，，三种情况列方程，求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵，和， ∴， 则是“悦动三角形”， 故答案为：是； （2）解：设三角形的三边长从小到大为， ∴， ∵是“悦动三角形”， ∴分，两种情况求解； 则，解得， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵中，，点D为的中点， ∴， 设，则， ∵是“悦动三角形”， ∴分，，三种情况求解； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 同理； 综上所述，的长为或． 12．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 二次根式的运算 （第1课时 二次根式的乘除） 题型一：判断二次根式的乘除是否正确 1．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（25-26八年级上·北京顺义·期中）下列运算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型二：用字母表示二次根式 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，则可以表示为() A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 题型三：利用二次根式的乘除进行化简 1．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆江津·月考）计算：等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·三模）计算：等于（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简 ． 5．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 题型四：利用二次根式的乘除求取值范围 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是： ． 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·月考）能使等式 成立的x的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）若在实数范围内成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：二次根式乘除混合运算（计算题） 1．（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 4．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）计算： 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算： 题型六：判断解题过程是否正确 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成任务． 解： ………第一步 …………第二步 ……………………………第三步 ………………………………………第四步 任务： (1)从第二步到第三步运用的乘法公式是__________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程中，最开始出现错误的步骤是第__________步； (3)请写出正确的解题过程． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； (2)从第_________步开始出现错误； (3)请写出正确的计算过程． 题型七：已知字母或代数式的值求解 1．（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为 ． 2．（25-26八年级下·全国·周测）若，则 ． 3．（25-26九年级上·四川资阳·期中）已知，，则代数式 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知，，则 ． 5．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则 ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 题型八：二次根式乘除的实际应用 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）梅洁装饰品公司要出品一批面积为的长方形剪纸，它的长宽之比为． (1)请你算出长方形剪纸的长和宽分别是多少？ (2)现有面积分别为和的两种正方形原料，采购部小王认为“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小王的说法吗？应该选择那种原料，请计算说明． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 4．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）团结社区辖区内现有一块四边形的空地，如图所示，为提升小区绿植率和环境优美需求，社区决定把该空地改建成花圃．经勘测，四边形中，，．（参考数据：） (1)求两点之间的距离； (2)按安全要求，要在花圃周围即四边形的四条边上安装栅栏，社区预计改建花圃和安装栅栏的总费用不超过10万元，若改建花圃每平方米的费用为500元，而购买和安装栅栏的费用是每米80元，请问社区预计的总费用是否充足？请通过计算说明． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 题型九：判断是否为最简二次根式 1．（25-26八年级上·上海普陀·月考）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·四川泸州·月考）下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025九年级下·上海·专题练习）以下二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B．（为质数） C． D． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型十：判断化为最简二次根式是否正确 1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）下列各式的化简结果与的化简结果是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十一：已知最简二次根式求参数 1．（25-26八年级上·山西大同·月考）若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 4．（25-26九年级上·四川巴中·月考）若最简二次方根式与可以合并，则 ， ，的值为 ． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）若最简二次根式与能进行合并，则 ． 6．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 题型一：二次根式乘除中新定义类 1．（24-25八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 2．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 3．（24-25八年级下·福建福州·月考）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形． 4．（23-24八年级上·辽宁锦州·月考）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． (1)①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． (2)若是奇异三角形，，求的长． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西新余·月考）如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆万州·月考）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若，则；④已知代数式A、B、C满足，则．正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 7．（24-25八年级下·山西大同·月考）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 8．（23-24九年级下·山东临沂·月考）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，则 ． 9．（21-22九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则 . 10．（24-25八年级上·上海·月考）计算： 11．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有．） (1)若三边长分别是5，和，则此三角形______“悦动三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 12．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $