7.1.1数系的扩充和复数的概念 同步练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1.虚数单位i i叫做虚数单位，规定___________；虚数单位可以与实数进行___________ 2.复数的定义 （1）形如（、）的数称为一个______________.全体复数组成的集合叫做____________，用字母表示，即,其中的a与b分别叫做复数z的______与________； （2）复数为0的约定：（、）______________； （3）复数相等的约定：复数（a、b、c、）______________. 3．已知复数（a、）： （1）当且仅当时，复数是___________； （2）当时，复数叫做___________； （3）当且时，叫做___________； （4）当且仅当时，z就是实数___________. 4．如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有__________关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数只有__________和__________两种关系，而不能比较大小. 5．请将复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用下图表示，并填在合适的空间. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．复数的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 2．下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 3．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 4．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 5．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 6．如图是一个结构图，在框①②中应分别填入（    ） A．分数，无理数 B．分数，虚数 C．无理数，虚数 D．小数，虚数 7．“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 8．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 二、多选题 9．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 10．若复数，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 三、填空题 12．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 13．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是_____. 14．在复数范围内，方程的解_____. 四、解答题 15．已知, ．若，求实数m的取值范围． 16．设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 17．实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 18．已知，其中，，为虚数单位．求实数，的值． 19．已知两个复数的和为4、积为6，求这两个复数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.1数系的扩充和复数的概念 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1.虚数单位i i叫做虚数单位，规定___________；虚数单位可以与实数进行___________ 【答案】 -1 四则运算 2.复数的定义 （1）形如（、）的数称为一个______________.全体复数组成的集合叫做____________，用字母表示，即,其中的a与b分别叫做复数z的______与________； （2）复数为0的约定：（、）______________； （3）复数相等的约定：复数（a、b、c、）______________. 【答案】 复数 复数集 实部 虚部 且 且 3．已知复数（a、）： （1）当且仅当时，复数是___________； （2）当时，复数叫做___________； （3）当且时，叫做___________； （4）当且仅当时，z就是实数___________. 【答案】 实数 虚数 纯虚数 0 4．如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有__________关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数只有__________和__________两种关系，而不能比较大小. 【答案】 大小 相等 不相等 5．请将复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用下图表示，并填在合适的空间. 【答案】 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．复数的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部的定义求解. 【详解】由复数虚部定义可知，的虚部为. 故选：D. 2．下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 3．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 4．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、根据相等条件求参数 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 5．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的概念可得. 【详解】由题意得，，解得，所以. 故选：C 6．如图是一个结构图，在框①②中应分别填入（    ） A．分数，无理数 B．分数，虚数 C．无理数，虚数 D．小数，虚数 【答案】C 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据题意，结合实数与复数的分类，即可求解. 【详解】根据实数的分类，可得①中应填入无理数；根据复数的分类，可得②中应填入虚数. 故选：C. 7．“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【知识点】充分条件、必要条件、已知复数的类型求参数 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 8．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 二、多选题 9．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 10．若复数，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】依题意可得与均为实数，即可判断. 【详解】因为虚数不能比较大小，若复数， 则说明与均为实数，所以且. 故选：AC 11．已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 【答案】BD 【知识点】判断命题的必要不充分条件、对数的运算、虚数单位i及其性质、复数的基本概念 【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C. 【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误； 对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确； 对于C，的平方根为，C错误； 对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确. 故选：BD 三、填空题 12．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【答案】 【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： 13．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是_____. 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，找到复数的虚部、实部，得到不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积大于0， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．在复数范围内，方程的解_____. 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】求出，引入虚数单位开平方求解即可. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 15．已知, ．若，求实数m的取值范围． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据实数的性质，结合复数的性质进行求解即可. 【详解】，，均为实数，且的实部小于的实部， ，解得， ，故实数m的取值范围是． 16．设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 【答案】(1)或． (2) 【知识点】对数的概念判断与求值、已知复数的类型求参数 【分析】（1）由对数的性质及复数的分类，列式求解即可； （2）由纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】（1）要使复数为实数， 需满足， 解得或． 即当或时，是实数． （2）要使复数为纯虚数， 需满足， 即 解得， 即当时，是纯虚数． 17．实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据复数为实数的性质进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）的实部为，虚部为． （1）复数是实数的充要条件是：， 所以当时复数为实数． （2）复数是虚数的充要条件是：且， 所以当且时复数为虚数 （3）复数是纯虚数的充要条件是：， 所以当时复数为纯虚数． 18．已知，其中，，为虚数单位．求实数，的值． 【答案】，． 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】由复数相等的充要条件，得，求解即可． 【详解】根据复数相等的充要条件， 由， 得，解得， 即，． 19．已知两个复数的和为4、积为6，求这两个复数． 【答案】和 【知识点】虚数单位i及其性质、方程与不等式 【分析】由韦达定理可知，这两个数是方程的两个根，解方程即可得解. 【详解】设这两个数分别是，则， 由韦达定理可知，这两个数是方程的两个根， 解得， 所以这两个数是和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $