专项提升训练08：正比例和反比例解决问题（知识点梳理+题型分类训练共34题）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专项提升训练08：正比例和反比例解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、正比例图像与关系 1.两种相关联的量，如果它们的比值（商）一定，这两种量就成( )比例关系。 2.正比例的图像是一条经过( )的直线。 3.根据正比例图像，可以通过已知的一个量直接估计出另一个量的对应值，因为它们的( )是不变的。 二、正比例的应用 4.在速度一定的匀速运动中，路程和时间成( )比例。 5.在单价一定的购物问题中，总价和数量成( )比例。 6.在工作效率一定的生产问题中，工作总量和工作时间成( )比例。 7.解决正比例问题时，通常先判断两个量成正比例，设未知数x，列出比例式： ，再根据( )性质解比例。 三、反比例的应用 8.两种相关联的量，如果它们的积一定，这两种量就成( )比例关系。 9.在总路程一定的行程问题中，速度和时间成( )比例。 10.在工作总量一定的工程问题中，工作效率和工作时间成( )比例。 11.在总面积一定的铺砖问题中，每块砖的面积和所需块数成( )比例。 12.解决反比例问题时，根据关系式： ，直接列方程求解。 参考答案 1.正 2.原点 3.比值（或 商） 4.正 5.正 6.正 7.比例的基本（或 等式） 8.反 9.反 10.反 11.反 题型分类训练 【题型1】正比例图象的认识 1．为了锻炼身体，小强坚持每天晨跑，在一次匀速跑步过程中，路程、时间关系如下： 时间（分钟） 0 1 2 3 4 5 路程（米） 0 160 320 480 640 800 （1）把表中的数据在下面的方格纸上画图表示出来。 （2）小强跑步的路程和时间成（    ）比例。 （3）看图估计，以这样的速度，5.5分钟可以跑（    ）米；跑400米需要（    ）分钟。 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）880；2.5 【分析】（1）根据各数量的多少，在方格图的纵轴、横轴的交点上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 （2）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；正比例图象是一条经过原点的直线，根据图象也可确定比例关系。 （3）5.5分钟在横轴5分钟和6分钟中间，跑的路程应该在竖轴800米和960米的中间；400米在竖轴320米和480米中间，用的时间应该在横轴2分钟和3分钟中间。 【详解】 （1） （2）160÷1＝160（米/分钟）、320÷2＝160（米/分钟）、480÷3＝160（米/分钟）…… 路程÷时间＝速度（一定），小强跑步的路程和时间成正比例。 （3）看图估计，以这样的速度，5.5分钟可以跑880米；跑400米需要2.5分钟。 2．王老师买了一辆车，下表是车辆行驶过程中的数据。 行驶路程/千米 0 15 30 45 … 耗油量/升 0 2 4 6 … （1）汽车行驶路程与耗油量成正比例吗？ 说明理由。 （2）在图中把汽车行驶路程与耗油量所对应的点描出来，并连线。 （3）当汽车行驶180千米时，耗油量是（    ）升。 【答案】（1）成正比例；理由见详解 （2）见详解 （3）24 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。当行驶路程为15千米，耗油量为2升时，比值为15÷2＝7.5千米/升；当行驶路程为30千米，耗油量为4升时，比值为30÷4＝7.5千米/升；当行驶路程为45千米，耗油量为6升时，比值为45÷6＝7.5千米/升。因为行驶路程与耗油量相对应的比值始终是7.5（一定），所以汽车行驶路程与耗油量成正比例。 （2）横向表示行驶路程（千米），纵向表示耗油量（升）。根据表格数据，找到对应的点：（0，0）、（15，2）、（30，4）、（45，6）。用直尺将这些点依次连接起来，得到的是一条经过原点的直线，因为成正比例关系的两种量对应的点在平面直角坐标系中是在同一条直线上的。 （3）由（1）已知汽车每行驶7.5千米耗油1升，要计算汽车行驶180千米时耗油多少升，直接用180除以7.5即可。 【详解】（1）15÷2＝7.5（千米/升） 30÷4＝7.5（千米/升） 45÷6＝7.5（千米/升） 答：汽车行驶路程与耗油量成正比例，因为行驶路程与耗油量相对应的比值一定 （2）如图： （3）180÷7.5＝24（升） 当汽车行驶180千米时，耗油量是24升。 3．订阅《当代小学生》的数量与总价的情况如下表。 数量（份） 1 2 4 … 总价（元） 24 48 144 … （1）把上面的表格填写完整。 （2）根据表中数据，在图中描出数量和总价所对应的点，再把这些点依次连起来。 （3）订阅《当代小学生》的总价和数量成（    ）比例。 （4）从图中可以知道，订阅5份《当代小学生》需要（    ）元，480元可以订阅（    ）份《当代小学生》。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）正 （4）120；20 【分析】（1）从表格中可知，1份《当代小学生》总价24元，根据“单价＝总价÷数量”计算出单价为24÷1＝24元/份；当数量是4份时，根据“总价＝单价×数量”计算出总价为24×4＝96元；当总价是144元时，根据“数量＝总价÷单价”计算出数量为144÷24＝6份。据此填表。 （2）根据表格中的数据，数量1对应总价24，数量2对应总价48，数量4对应总价96，数量6对应总价144，在图中找到对应的点（1，24）、（2，48）、（4，96）、（6，144），然后用直尺将这些点依次连接起来。 （3）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例关系。因为总价÷数量＝单价（24元/份，一定），所以订阅《当代小学生》的总价和数量成正比例。 （4）已知单价是24元/份，订阅5份时，根据“总价＝单价×数量”计算出总价为24×5＝120元；根据“数量＝总价÷单价”计算出480元可以订阅的份数为480÷24＝20份。 【详解】（1）24÷1＝24（元/份） 24×4＝96（元） 144÷24＝6（份） 表格如下： 数量（份） 1 2 4 6 … 总价（元） 24 48 96 144 … （2）如图； （3）总价÷数量＝单价（一定） 因此，订阅《当代小学生》的总价和数量成正比例。 （4）24×5＝120（元） 480÷24＝20（份） 因此，订阅5份《当代小学生》需要120元，480元可以订阅20份《当代小学生》。 4．小丽的爸爸开车回潍坊，汽车行驶的路程和耗油量的关系如下表。 路程（千米） 20 40 60 80 耗油量（升） 2.4 4.8 7.2 9.6 （1）根据上表中的数据，在下图中描出路程和耗油量所对应的点，并把这些点依次连起来。 （2）汽车行驶的路程和耗油量成（    ）比例。 （3）汽车行驶20千米时，耗油量是（    ）升；耗油量是6升时，汽车行驶（    ）千米。 （4）离目的地还有300千米时，汽车油箱里还有30升汽油，这些汽油（    ）这辆汽车开到目的地。（填“够”或者“不够”） 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）2.4；50 （4）不够 【分析】（1）根据表格中的数据，在给定的坐标图中，找到路程为20千米对应的耗油量2.4升的点，即（20，2.4）；路程为40千米对应的耗油量4.8升的点，即（40，4.8）；路程为60千米对应的耗油量7.2升的点，即（60，7.2）；路程为80千米对应的耗油量9.6升的点，即（80，9.6）。然后把这些点依次连接起来。 （2）根据画出的图像进行判断，如果图形是一条从原点出发的射线，汽车行驶的路程和耗油量成正比例，如果不是一条从原点出发的射线，则不成正比例。 （3）从表格中可以直接看出汽车行驶20千米时，耗油量是2.4升；已知汽车行驶的路程和耗油量成正比例，设耗油量是6升时，汽车行驶x千米，列正比例为：6∶x＝2.4∶20，解比例即可解答。 （4）已知汽车行驶的路程和耗油量成正比例，设耗油量是30升时，汽车行驶x千米。列正比例方程为：30∶x＝2.4∶20，解比例求出耗油量是30升时，汽车行驶的千米数，再和300千米进行比较，如果大于300千米，则这30升汽油够这辆汽车开到目的地，如果小于300千米，则这30升汽油不够这辆汽车开到目的地。 【详解】（1）如图： （2）正比例的图像是一条从原点出发的射线，所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例。 （3）从表格中可以直接看出汽车行驶20千米时，耗油量是2.4升。 解：设耗油量是6升时，汽车行驶x千米。 6∶x＝2.4∶20 2.4x＝6×20 2.4x＝120 x＝120÷2.4 x＝50 所以汽车行驶20千米时，耗油量是2.4升，耗油量是6升时，汽车行驶50千米。 （4）解：设耗油量是30升时，汽车行驶x千米。 30∶x＝2.4∶20 2.4x＝30×20 2.4x＝600 x＝600÷2.4 x＝250 250＜300 所以这30升汽油不够这辆汽车开到目的地。 5．一款慧星战甲咖啡杯售价99元，购买数量与总价的关系如下表。 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 99 198 297 396 495 594 … （1）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成（    ）比例。 （3）点（7，693）在这条直线上吗？若在，这一点表示什么含义？ 【答案】（1）见详解； （2）正； （3）在；购买7个咖啡杯需要693元 【分析】（1）由图可知，横轴表示数量，纵轴表示总价，根据表格中的数据找出每列数据对应的点，再依次连接各点，连线发现各点在同一条直线上； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，据此判断； （3）计算693÷7的商是否等于99，如果商等于99，那么点（7，693）在这条直线上，如果商不等于99，那么点（7，693）不在这条直线上，最后根据“7”和“693”表示的意义说出点（7，693）的含义，据此解答。 【详解】（1）作图如下： （2）分析可知，（一定），所以购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成正比例。 （3）693÷7＝99（元） 分析可知，点（7，693）在这条直线上，“7”表示购买咖啡杯的数量，“693”表示购买咖啡杯一共需要的钱数，点（7，693）表示购买7个咖啡杯需要693元。 6．笑笑的爸爸开车出行。下图表示的是开车从A地到B地行驶的路程与耗油量之间的关系。 （1）行驶的路程和耗油量成正比例吗？请说明理由。 （2）A地到B地有60千米，汽车耗油（    ）升。 （3）笑笑的爸爸在B地办完事后，想去离B地50千米的C地。此时油箱里大约剩下4升汽油，他需要加油吗？请说明理由。 【答案】（1）成；行驶的路程和耗油量的比值一定； （2）6； （3）需要加油；见详解 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系； （2）行驶的路程和耗油量的比值表示1升油可以行驶多少千米，汽车的耗油量＝汽车行驶的总路程÷每升油可以行驶的路程； （3）由上可知，每升汽油可以行驶10千米，求出4升汽油可以行驶的路程，再和50千米比较大小，结果大于50千米时不用加油，结果小于50千米时需要加油，据此解答。 【详解】（1）由图可知，（一定），因为行驶的路程和耗油量的比值一定，所以行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （2）60÷10＝6（升） 所以，汽车耗油6升。 （3）4×10＝40（千米） 因为40千米＜50千米，所以需要加油。 答：笑笑的爸爸需要加油。 7．电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要（    ）千瓦时；30千瓦时的电可行驶（    ）千米。 【答案】（1）成正比例；因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定 （2）图见详解 （3）63；200 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）把统计表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接即可。 （3）由第（1）题可得出行驶路程与耗电量的比值，求行驶420千米需要的电量，即求比的后项，用比的前项除以比值即可；求30千瓦时的电可行驶的路程，即求比的前项，用比的后项乘比值即可。 【详解】（1）（一定） 答：该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例，因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定。 （2）根据分析如图： （3）80÷12＝（千米/千瓦时） 420÷＝420×＝63（千瓦时） ×30＝200（千米） 该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要63千瓦时；30千瓦时的电可行驶200千米。 8．一台织布机的织布情况如下表： 工作时间/时 1 2 3 5 … 织布长度/m 6 12 18 24 36 … （1）把表格填写完整。 （2）根据表中的数据，在下图中描出工作时间和织布长度相对应的点，并把它们按顺序连起来。 （3）下图所描的点在一条直线上吗？这说明了什么？ （4）根据图象判断，这台织布机3.5小时可以织布（    ）m，织布27m需要（    ）小时。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）所描的点在一条直线上，这说明了织布长度和工作时间成正比例关系。 （4）21；4.5 【分析】（1）1小时织布6米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率、工作总量＝工作效率×工作时间，据此计算并填表。 （2）根据统计表，在图中描点并连线，画出对应的图像。 （3）根据（2）完善的图，所描的点在一条直线上，说明织布长度和工作时间成正比例关系。 （4）根据（2）完善的图，找到3.5小时对应的横坐标以及织布27m对应的竖坐标，据此解答。 【详解】（1）织布24米需要：（小时） 5小时织布：（米） 织布36米需要：（小时） 填表如下： 工作时间/时 1 2 3 4 5 6 … 织布长度/m 6 12 18 24 30 36 … （2）作图如下： （3）答：所描的点在一条直线上，这说明了织布长度和工作时间成正比例关系。 （4）答：这台织布机3.5小时可以织布21m，织布27m需要4.5小时。 9．下面是“天下第一泉”趵突泉一段时间的涌水量和喷涌天数统计表，请据此回答问题。 涌水量/万立方米 16 32 48 64 80 … 喷涌天数 1 2 3 4 5 … （1）表中趵突泉的涌水量和喷涌天数成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出涌水量和对应喷涌天数的点，然后连接起来，你发现了什么？ （3）李华说点（10，150）也在这条直线上，他说得对吗？请说明理由。 【答案】（1）成正比例，因为＝每天的涌水量，每天的涌水量都是16万立方米，这个值一定，所以成正比例。 （2） 发现：各点都在同一条直线上。（答案不唯一） （3）他说得不对。 150÷10＝15 16≠15 点（10，150）不在这条直线上。 【分析】（1）比值一定的两个量成正比例关系。求出涌水量和对应喷涌天数的比值，判断这两个量是否成正比例关系； （2）根据涌水量和对应喷涌天数，画出对应的图像，再谈自己的发现即可；（答案不唯一） （3）求出这个点的比值，和涌水量和对应喷涌天数的比值作比较即可。 【详解】（1）成正比例，因为＝每天的涌水量（一定），每天的涌水量都是16万立方米，这个值一定，所以成正比例。 （2） 发现：各点都在同一条直线上。（答案不唯一） （3）答：他说得不对。 150÷10＝15 16≠15 点（10，150）不在这条直线上。 【题型2】正比例的应用 10．某粮仓采用智能温控系统，已知每吨粮食每日耗电量一定，储存200吨粮食时，每日耗电50度；若储存量增加到320吨，此时粮仓每日耗电量是多少度？（用比例的知识解答） 【答案】80度 【分析】分析题目，设若储存量增加到320吨，此时粮仓每日耗电量是x度，根据＝每吨粮食每日耗电量（一定）列出方程＝，进一步解出方程即可。 【详解】解：设此时粮仓每日耗电量是x度。 ＝ 200x＝320×50 200x＝16000 x＝16000÷200 x＝80 答：此时粮仓每日耗电量是80度。 11．在垃圾分类换购活动中，3千克废纸可以换购2卷垃圾袋，18千克废纸可以换购多少卷垃圾袋？（用比例解） 【答案】12卷 【分析】根据题意可知，废纸重量与换购的垃圾袋卷数成正比例关系，设18千克废纸可以换购x卷垃圾袋，列比例：3∶2＝18∶x，解比例，即可解答。 【详解】解：设18千克废纸可以换购x卷垃圾袋。 3∶2＝18∶x 3x＝2×18 3x＝36 x＝36÷3 x＝12 答：18千克废纸可以换购12卷垃圾袋。 12．近年来，城市骑行风潮兴起，只需要一辆自行车，人们便可领略城市不一样的风景与浪漫。如图是张叔叔的一次骑行情况，如果一棵树每年可吸收9.2千克碳排量，那么张叔叔骑行多少千米节约的碳排量相当于一棵树一年吸收的碳排量？（列比例解答） 【答案】80千米 【分析】由题意可知，张叔叔骑行每千米节约的碳排量不变，则节约的碳排量和骑行距离成正比例关系，一棵树一年吸收的碳排量∶所求的骑行距离＝骑行节约的碳排量∶骑行距离，据此列比例解答。 【详解】9.2千克＝9200克 解：设张叔叔骑行x千米节约的碳排量相当于一棵树一年吸收的碳排量。 9200∶x＝460∶4 460x＝9200×4 460x＝36800 x＝36800÷460 x＝80 答：张叔叔骑行80千米节约的碳排量相当于一棵树一年吸收的碳排量。 13．榆林豆腐被泉水“宠坏”的白胖子。某食品公司将榆林豆腐包装成小袋售卖，榆林豆腐的购买数量和总价的关系如下表。 数量/袋 0 4 8 12 16 20 … 总价/元 0 7.2 14.4 21.6 28.8 36 … （1）这种榆林豆腐的总价与数量是否成正比例关系？并说明理由。 （2）采购员小张买这种榆林豆腐花了144元，他买了多少袋这种榆林豆腐？（用比例解答） 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解； （2）80袋 【分析】（1）用总价除以数量，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就成正比例关系。进行判断。 （2）设他买了x袋这种榆林豆腐，因为总价与数量成正比例关系，所以可得比例：x∶144＝4∶7.2，然后根据比例的基本性质求解即可。 【详解】（1）7.2÷4＝1.8（元/袋） 14.4÷8＝1.8（元/袋） 21.6÷12＝1.8（元/袋） 28.8÷16＝1.8（元/袋） 36÷20＝1.8（元/袋） 答：这种榆林豆腐的总价与数量成正比例关系，因为总价与数量的比值一定。 （2）解：设他买了x袋这种榆林豆腐 x∶144＝4∶7.2 7.2x＝144×4 7.2x＝576 7.2x÷7.2＝576÷7.2 x＝80 答：他买了80袋这种榆林豆腐。 14．林林看一本180页的文学著作，前3天看了45页，照这样计算，看完这本书一共要用多少天？（用比例解答） 【答案】12天 【分析】照这样计算，说明每天看的页数相同，根据每天看的页数一定，总页数与所需天数成正比例关系，设总天数为x天，列比例式为：45∶3＝180∶x，解比例即可。 【详解】解：设看完这本书一共要用x天。 45∶3＝180∶x 45x＝3×180 45x＝540 x＝540÷45 x＝12 答：看完这本书一共要用12天。 15．景德镇陶瓷厂将一批瓷器运往上海全程800千米。一辆货车从景德镇出发，前3小时行驶了240千米。照这样计算，还需要几小时才能到达目的地？（用比例解答） 【答案】7小时 【分析】由题意可知，这辆货车的速度不变，所行路程÷需要的时间＝货车的速度（一定），则所行路程与需要的时间成正比例关系，剩下的路程∶剩下路程需要的时间＝已经行驶的路程∶已经行驶的路程需要的时间，据此列比例解答。 【详解】解：设还需要x小时才能到达目的地。 （800－240）∶x＝240∶3 560∶x＝240∶3 240x＝560×3 240x＝1680 x＝1680÷240 x＝7 答：还需要7小时才能到达目的地。 16．乐乐新买了一盆绿萝，浇灌需要使用浓缩植物营养液促进绿萝扎根生长，按照浓缩植物营养液的使用说明配制，3600毫升的水需要加入多少毫升的浓缩植物营养液？（用比例解） 喷叶使用 4毫升营养液兑水2升，均匀喷洒叶片正反面，间隔7～15天使用一次。 浇灌使用 5毫升营养液兑水2升，浇在土壤里浇透即可，间隔7～15天使用一次。 【答案】9毫升 【分析】先把升换算为毫升，即2升＝2000毫升；根据题意可知，浇灌时，营养液与水的体积比成正比例，设3600毫升的水需要加入x毫升的浓缩植物营养液，列比例：5∶2000＝x∶3600，解比例，即可解答。 【详解】2升＝2000毫升 解：设3600毫升的水需要加入x毫升的浓缩植物营养液。 5∶2000＝x∶3600 2000x＝5×3600 2000x＝18000 x＝18000÷2000 x＝9 答：3600毫升的水需要加入9毫升的浓缩植物营养液。 17．近几年电动汽车作为新型环保交通工具，受到了消费者的喜爱。天天的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行。天天记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶里程/km 100 120 130 140 150 … 耗电量/度 20 24 26 28 30 … （1）观察表格，汽车行驶里程与耗电量成______比例关系。 （2）汽车电池充满后有45度电，行驶220千米够吗？（用比例知识解答） 【答案】（1）正； （2）够 【分析】（1）根据比例的意义，汽车行驶里程与耗电量两个量的比值一定就成正比例，两个量的积一定就成反比例，由此判断。 （2）设汽车电池充满45度电能行驶x千米，根据行驶里程与耗电量的比例，计算出x，与220千米比大小，即可判断。 【详解】（1）100∶20＝5，120∶24＝5，130∶26＝5，140∶28＝5，150∶30＝5，汽车行驶里程与耗电量的比值一定，所以汽车行驶里程与耗电量成正比例。 （2）设汽车电池充满45度电能行驶x千米。 100∶20＝x∶45 20x＝100×45 20x÷20＝4500÷20 x＝225 225千米＞220千米 答：行驶220千米够。 18．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，16分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【答案】（1）正 （2）272个 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）因为生产产品的时间和产品数量成正比例关系，即产品数量∶生产产品的时间＝每分钟生产产品的数量（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【详解】（1）＝＝＝＝…＝17（一定） 生产产品的时间和产品数量成（正）比例关系。 （2）解：设16分钟生产个产品。 ∶16＝51∶3 3＝16×51 3＝816 ＝816÷3 ＝272 答：16分钟生产272个产品。 19．中国快递越来越“科技范儿”。分拣机器人、大数据AI调试等智能设备系统已成为物流仓库的“隐形指挥官”。某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递速度得到了很大提升，3分钟即可处理快递4800件。照这样计算，要完成7.2万件的分拣任务，需要多长时间？（用比例解答） 【答案】45分钟 【分析】智能分拣系统的分拣速度是固定的（即每分钟处理的快递件数不变），根据“速度＝总件数÷时间”，当速度一定时，总件数与时间的比值不变，因此两者成正比例关系。设完成7.2万件分拣任务需要x分钟，因为1万＝10000，所以7.2万件为7.2×10000＝72000件。3分钟处理4800件，因为总件数与时间成正比例，所以可列出比例：4800∶3＝72000∶x，然后根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，解答即可。 【详解】解：设完成7.2万件分拣任务需要x分钟。 4800∶3＝7.2×10000∶x 4800∶3＝72000∶x 4800x＝3×72000 4800x＝216000 x＝216000÷4800 x＝45 答：完成7.2万件的分拣任务需要45分钟。 20．先填一填，再用比例解决下面的问题。 （1）我是这样想的：笔的（    ）一定，（    ）和（    ）成（    ）比例。 （2）我是这样解决问题的： 【答案】（1）单价；总价；数量；正； （2）15元 【分析】题目中，相关联的两种量是数量和总价。根据总价÷数量＝单价（一定），是比值一定，所以总价和数量成正比例关系；根据“我买10支同样的笔”这句话，说明笔的单价一定，那么这两种相关联的量成正比例关系。设要用x元，根据总价和数量成正比例关系列比例：10.5∶7＝x∶10，解比例即可解答。 【详解】（1）我是这样想的：笔的单价一定，总价和数量成正比例。 （2）解：设要用x元 10.5∶7＝x∶10 7x＝10.5×10 7x＝105 7x÷7＝105÷7 x＝15 答：要用15元。 21．某玩具厂装配车间2小时组装120辆玩具车。照这样计算，装配900辆玩具车需要多少小时？（用比例解答） 【答案】15小时 【分析】装配玩具车时，每小时装配的数量（工作效率）是一个固定值，因此装配总数量与所用时间成正比例关系，设装配900辆玩具车需要小时，可列出方程式：，根据比的基本性质：两个内项的乘积等于两个外项的乘积，再根据等式的性质，方程左右两边同时除以120，解出方程，据此求解。 【详解】解：设装配900辆玩具车需要小时 答：装配900辆玩具车需要15小时。 22．走进儿童福利院看见一棵大树，小利和同学们一起测量出它的影长是3米，同一时刻测出小利的身高是1.5米，影长是0.5米，这棵树的高是多少米？（用比例知识解答） 【答案】9米 【分析】同一时刻，阳光照射角度相同，因此物体高度∶物体影长＝固定比值。设这棵树的高是x米，树的高度与树的影长的比、小利的身高与小利的影长的比，这两个比的比值相等，所以正比例关系。据此列出比例为：x∶3＝1.5∶0.5，然后解比例即可。 【详解】解：设这棵树的高是x米。 x∶3＝1.5∶0.5 0.5x＝3×1.5 0.5x＝4.5 x＝4.5÷0.5 x＝9 答：这棵树的高是9米。 23．喀什市人民公园健康步道一圈全长2600米，小明从起点出发，4分钟走了260米，照这样的速度，走完一圈还需要多少分钟？（用比例知识列方程解答） 【答案】36分钟 【分析】根据题意，小明行走的速度保持不变，因此路程与时间成正比例关系。已知4分钟走了260米，用2600－260求出剩余路程。设走完剩余路程需要分钟，根据速度一定，路程与时间成正比例，列比例方程求解。 【详解】2600－260＝2340（米） 解：设走完一圈还需要分钟。 答：走完一圈还需要36分钟。 24．小丽做一种手工绢花，完成的数量与所用的时间之间的关系如图所示。 （1）小丽做手工绢花的数量与所用的时间成（    ）比例。（填“正”或“反”） （2）小丽5小时可以做多少个手工绢花？（用比例解答） 【答案】（1）正； （2）25个 【分析】两个相关联的量，一种量变化，另一种量随之变化。如果这两个量的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，如果这两个量的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量。 （1）观察图像，2小时的时候，做了10个绢花；4小时的时候，做了20个绢花；6小时的时候，做了30个绢花；得出做手工绢花的数量与所用时间的比值为定值，据此填空即可。 （2）设小丽5时可以做个手工绢花，因为做手工绢花的数量与所用时间成正比例，所以可列出比例式10∶2＝∶5，然后根据比例的基本性质求解即可。 【详解】（1）10÷2＝5 20÷4＝5 30÷6＝5 做绢花的数量与所用时间的比值为定值5，所以小丽做手工绢花的数量与所用的时间成正比例。 （2）解：设小丽5小时可以做个手工绢花。 10∶2＝∶5 答：小丽5小时可以做25个手工绢花。 25．好滋味海鲜市场生意兴隆，6天卖出海鲜270千克。照这样计算，8天能卖出海鲜多少千克？（用比例解） 【答案】360千克 【分析】由题意可知，每天卖出海鲜的质量不变，卖出海鲜的总质量÷天数＝每天卖出海鲜的质量（一定），则卖出海鲜的总质量和天数成正比例关系，所求海鲜的质量∶8天＝已知海鲜的质量∶6天，据此解答。 【详解】解：设8天能卖出海鲜x千克。 x∶8＝270∶6 6x＝270×8 6x＝2160 x＝2160÷6 x＝360 答：8天能卖出海鲜360千克。 26．在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 【答案】小时 【分析】由题意可知，一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时，根据灯泡亮的时间与电池毫安数成正比，可用1000÷5求出比值200，再用电池毫安数除以比值可求出灯泡亮的时间；题目中小明用了一个1500毫安的电池的时候，是在电路中串联了两个相同的灯泡，即1500毫安的电量要平均分给两个灯泡使用，可用1500除以2，得到供每个灯泡使用的电池毫安数，再除以比值200，即可得解。 【详解】 （小时） 答：每个灯泡可以亮小时。 【题型3】反比例的应用 27．阳光小区要铺设一条煤气管道，计划每天铺设60米，5天可完成任务。由于居民着急使用，工程队决定每天铺75米，这样几天可以完成？ 【答案】4天 【分析】根据题意可知，这条煤气管道的总长度一定，即每天铺设的长度×铺设的天数＝煤气管道的总长度（一定），乘积一定，则每天铺设的长度与铺设的天数成反比例关系，据此列出反比例方程，进一步解出方程即可。 【详解】解：设每天铺75米，x天可以完成。 75x＝60×5 75x＝300 x＝300÷75 x＝4 答：工程队决定每天铺75米，这样4天可以完成。 28．某办公楼原来平均每天照明用电120千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电30千瓦时。原来6天的用电量现在可以用多少天？ 【答案】24天 【分析】总用电量一定时，每天用电量与使用天数成反比例。原来每天用电量×原来天数＝现在每天用电量×现在天数，据此列方程求解。 【详解】解：设原来6天的用电量现在可以用x天。 30x＝120×6 30x＝720 30x÷30＝720÷30 x＝24 答：原来6天的用电量现在可以用24天。 29．文具店有两种水性笔。思琪带的钱刚好可以买5支单价是1.2元的，她只买单价是2元的，可以买多少支？（用比例解答） 【答案】3支 【分析】思琪带的钱的总数不变，即单价×数量＝总价（一定），乘积一定，所以单价和数量成反比例，设买单价是2元的，可以买x支，列出反比例方程解答即可。 【详解】解：设可以买x支。 2x＝5×1.2 2x＝6 x＝6÷2 x＝3 答：可以买3支。 30．舅舅家正在装修客厅。原计划用边长4分米的方砖铺地，需要200块；后来在装修师傅的建议下，改用边长0.8米的方砖铺地，现在需要多少块方砖（不计损耗）？（用比例解） 【答案】50块 【分析】客厅地面的面积是固定不变的，因此方砖的面积与所需方砖的块数成反比例关系，即现在方砖的面积×现在需要的块数＝原来方砖的面积×原来需要的块数。 先统一单位，0.8米＝8分米；现在方砖的面积为8×8＝64平方分米，设现在需要x块方砖；原来方砖的面积为4×4＝16平方分米，原来需要200块；根据反比例关系可列比例：（8×8）x＝（4×4）×200，计算后得64x＝3200，根据等式的性质，两边同时除以64求解出x，即为现在所需方砖的块数。 【详解】0.8米＝8分米 解：设现在需要x块方砖。 （8×8）x＝（4×4）×200 64x＝16×200 64x＝3200 64x÷64＝3200÷64 x＝50 答：现在需要50块方砖。 31．暑假期间，学校要重新装修教室地面。如果用边长为4分米的方砖铺地，需要270块。如果改用边长为3分米的方砖铺地，大约需要多少块？ 【答案】480块 【分析】教室地面的总面积是固定的，而“每块方砖的面积×方砖的块数＝地面总面积”。由于总面积不变，即两个相关联的量（每块方砖的面积和方砖块数）的乘积一定，因此两者成反比例关系。边长为4分米的方砖，每块面积为（4×4）平方分米，块数为270块；边长为3分米的方砖，每块面积为（3×3）平方分米，设需要x块。根据：每块小方砖面积×小方砖块数＝每块大方砖面积×大方砖块数，可列方程：（3×3）×x＝4×4×270，然后解方程即可。 【详解】解：设大约需要x块。 （3×3）×x＝4×4×270 9x＝16×270 9x＝4320 x＝4320÷9 x＝480 答：大约需要480块。 32．某地推出了无人汽车运送物资服务。已知“无人车”一趟可运送0.6吨物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.4吨物资。现有一批物资，如果用“无人车”运送，需要运63趟；如果改用“无人小巴”运送，需要运几趟？ 【答案】27趟 【分析】设如果改用“无人小巴”运送，需要运x趟，根据每趟运送吨数×运送趟数＝总吨数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设如果改用“无人小巴”运送，需要运x趟。 1.4x＝0.6×63 1.4x＝37.8 1.4x÷1.4＝37.8÷1.4 x＝27 答：如果改用“无人小巴”运送，需要运27趟。 33．小华读一本书，如果每天读30页，10天可以读完。如果每天读25页，需要几天读完？（请用两种不同的方法来解答） 【答案】12天 【分析】方法一：这本书的总页数不变，每天读的页数×需要读的天数＝这本书的总页数（一定），则每天读的页数和需要读的天数成反比例关系，现在每天读的页数×需要的天数＝原来每天读的页数×需要的天数，据此列比例解答； 方法二：先用原来每天读的页数乘需要的天数求出这本书的总页数，再除以现在每天读的页数，即可求得现在需要读的天数，据此解答。 【详解】方法一：解：设需要x天读完。 25x＝30×10 25x＝300 x＝300÷25 x＝12 答：需要12天读完。 方法二：30×10÷25 ＝300÷25 ＝12（天） 答：需要12天读完。 34．我国自主研发的无人仓库智能控制系统，处于世界领先地位。“智能大脑”能在0.2秒内计算出300件不同货物各自的分装路线。过去，同样的工作平均每件货物需要每名工人花费3秒。“智能大脑”的工作效率相当于多少名工人的效率？ 【答案】4500名 【分析】设“智能大脑”的工作效率相当于x名工人的效率，根据“智能大脑”计算300件不同货物需要的时间×工人数量＝每件货物工人需要的时间×货物总量，即总时间一定，列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设“智能大脑”的工作效率相当于x名工人的效率。 0.2x＝3×300 0.2x＝900 0.2x÷0.2＝900÷0.2 x＝4500 答：“智能大脑”的工作效率相当于4500名工人的效率。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练08：正比例和反比例解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、正比例图像与关系 1.两种相关联的量，如果它们的比值（商）一定，这两种量就成( )比例关系。 2.正比例的图像是一条经过( )的直线。 3.根据正比例图像，可以通过已知的一个量直接估计出另一个量的对应值，因为它们的( )是不变的。 二、正比例的应用 4.在速度一定的匀速运动中，路程和时间成( )比例。 5.在单价一定的购物问题中，总价和数量成( )比例。 6.在工作效率一定的生产问题中，工作总量和工作时间成( )比例。 7.解决正比例问题时，通常先判断两个量成正比例，设未知数x，列出比例式： ，再根据( )性质解比例。 三、反比例的应用 8.两种相关联的量，如果它们的积一定，这两种量就成( )比例关系。 9.在总路程一定的行程问题中，速度和时间成( )比例。 10.在工作总量一定的工程问题中，工作效率和工作时间成( )比例。 11.在总面积一定的铺砖问题中，每块砖的面积和所需块数成( )比例。 12.解决反比例问题时，根据关系式： ，直接列方程求解。 题型分类训练 【题型1】正比例图象的认识 1．为了锻炼身体，小强坚持每天晨跑，在一次匀速跑步过程中，路程、时间关系如下： 时间（分钟） 0 1 2 3 4 5 路程（米） 0 160 320 480 640 800 （1）把表中的数据在下面的方格纸上画图表示出来。 （2）小强跑步的路程和时间成（    ）比例。 （3）看图估计，以这样的速度，5.5分钟可以跑（    ）米；跑400米需要（    ）分钟。 2．王老师买了一辆车，下表是车辆行驶过程中的数据。 行驶路程/千米 0 15 30 45 … 耗油量/升 0 2 4 6 … （1）汽车行驶路程与耗油量成正比例吗？ 说明理由。 （2）在图中把汽车行驶路程与耗油量所对应的点描出来，并连线。 （3）当汽车行驶180千米时，耗油量是（    ）升。 3．订阅《当代小学生》的数量与总价的情况如下表。 数量（份） 1 2 4 … 总价（元） 24 48 144 … （1）把上面的表格填写完整。 （2）根据表中数据，在图中描出数量和总价所对应的点，再把这些点依次连起来。 （3）订阅《当代小学生》的总价和数量成（    ）比例。 （4）从图中可以知道，订阅5份《当代小学生》需要（    ）元，480元可以订阅（    ）份《当代小学生》。 4．小丽的爸爸开车回潍坊，汽车行驶的路程和耗油量的关系如下表。 路程（千米） 20 40 60 80 耗油量（升） 2.4 4.8 7.2 9.6 （1）根据上表中的数据，在下图中描出路程和耗油量所对应的点，并把这些点依次连起来。 （2）汽车行驶的路程和耗油量成（    ）比例。 （3）汽车行驶20千米时，耗油量是（    ）升；耗油量是6升时，汽车行驶（    ）千米。 （4）离目的地还有300千米时，汽车油箱里还有30升汽油，这些汽油（    ）这辆汽车开到目的地。（填“够”或者“不够”） 5．一款慧星战甲咖啡杯售价99元，购买数量与总价的关系如下表。 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 99 198 297 396 495 594 … （1）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成（    ）比例。 （3）点（7，693）在这条直线上吗？若在，这一点表示什么含义？ 6．笑笑的爸爸开车出行。下图表示的是开车从A地到B地行驶的路程与耗油量之间的关系。 （1）行驶的路程和耗油量成正比例吗？请说明理由。 （2）A地到B地有60千米，汽车耗油（    ）升。 （3）笑笑的爸爸在B地办完事后，想去离B地50千米的C地。此时油箱里大约剩下4升汽油，他需要加油吗？请说明理由。 7．电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要（    ）千瓦时；30千瓦时的电可行驶（    ）千米。 8．一台织布机的织布情况如下表： 工作时间/时 1 2 3 5 … 织布长度/m 6 12 18 24 36 … （1）把表格填写完整。 （2）根据表中的数据，在下图中描出工作时间和织布长度相对应的点，并把它们按顺序连起来。 （3）下图所描的点在一条直线上吗？这说明了什么？ （4）根据图象判断，这台织布机3.5小时可以织布（    ）m，织布27m需要（    ）小时。 9．下面是“天下第一泉”趵突泉一段时间的涌水量和喷涌天数统计表，请据此回答问题。 涌水量/万立方米 16 32 48 64 80 … 喷涌天数 1 2 3 4 5 … （1）表中趵突泉的涌水量和喷涌天数成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出涌水量和对应喷涌天数的点，然后连接起来，你发现了什么？ （3）李华说点（10，150）也在这条直线上，他说得对吗？请说明理由。 发现：各点都在同一条直线上。（答案不唯一） （3）答：他说得不对。 150÷10＝15 16≠15 点（10，150）不在这条直线上。 【题型2】正比例的应用 10．某粮仓采用智能温控系统，已知每吨粮食每日耗电量一定，储存200吨粮食时，每日耗电50度；若储存量增加到320吨，此时粮仓每日耗电量是多少度？（用比例的知识解答） 11．在垃圾分类换购活动中，3千克废纸可以换购2卷垃圾袋，18千克废纸可以换购多少卷垃圾袋？（用比例解） 12．近年来，城市骑行风潮兴起，只需要一辆自行车，人们便可领略城市不一样的风景与浪漫。如图是张叔叔的一次骑行情况，如果一棵树每年可吸收9.2千克碳排量，那么张叔叔骑行多少千米节约的碳排量相当于一棵树一年吸收的碳排量？（列比例解答） 13．榆林豆腐被泉水“宠坏”的白胖子。某食品公司将榆林豆腐包装成小袋售卖，榆林豆腐的购买数量和总价的关系如下表。 数量/袋 0 4 8 12 16 20 … 总价/元 0 7.2 14.4 21.6 28.8 36 … （1）这种榆林豆腐的总价与数量是否成正比例关系？并说明理由。 （2）采购员小张买这种榆林豆腐花了144元，他买了多少袋这种榆林豆腐？（用比例解答） 14．林林看一本180页的文学著作，前3天看了45页，照这样计算，看完这本书一共要用多少天？（用比例解答） 15．景德镇陶瓷厂将一批瓷器运往上海全程800千米。一辆货车从景德镇出发，前3小时行驶了240千米。照这样计算，还需要几小时才能到达目的地？（用比例解答） 16．乐乐新买了一盆绿萝，浇灌需要使用浓缩植物营养液促进绿萝扎根生长，按照浓缩植物营养液的使用说明配制，3600毫升的水需要加入多少毫升的浓缩植物营养液？（用比例解） 喷叶使用 4毫升营养液兑水2升，均匀喷洒叶片正反面，间隔7～15天使用一次。 浇灌使用 5毫升营养液兑水2升，浇在土壤里浇透即可，间隔7～15天使用一次。 17．近几年电动汽车作为新型环保交通工具，受到了消费者的喜爱。天天的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行。天天记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶里程/km 100 120 130 140 150 … 耗电量/度 20 24 26 28 30 … （1）观察表格，汽车行驶里程与耗电量成______比例关系。 （2）汽车电池充满后有45度电，行驶220千米够吗？（用比例知识解答） 18．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，16分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 19．中国快递越来越“科技范儿”。分拣机器人、大数据AI调试等智能设备系统已成为物流仓库的“隐形指挥官”。某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递速度得到了很大提升，3分钟即可处理快递4800件。照这样计算，要完成7.2万件的分拣任务，需要多长时间？（用比例解答） 20．先填一填，再用比例解决下面的问题。 （1）我是这样想的：笔的（    ）一定，（    ）和（    ）成（    ）比例。 （2）我是这样解决问题的： 21．某玩具厂装配车间2小时组装120辆玩具车。照这样计算，装配900辆玩具车需要多少小时？（用比例解答） 22．走进儿童福利院看见一棵大树，小利和同学们一起测量出它的影长是3米，同一时刻测出小利的身高是1.5米，影长是0.5米，这棵树的高是多少米？（用比例知识解答） 23．喀什市人民公园健康步道一圈全长2600米，小明从起点出发，4分钟走了260米，照这样的速度，走完一圈还需要多少分钟？（用比例知识列方程解答） 24．小丽做一种手工绢花，完成的数量与所用的时间之间的关系如图所示。 （1）小丽做手工绢花的数量与所用的时间成（    ）比例。（填“正”或“反”） （2）小丽5小时可以做多少个手工绢花？（用比例解答） 25．好滋味海鲜市场生意兴隆，6天卖出海鲜270千克。照这样计算，8天能卖出海鲜多少千克？（用比例解） 26．在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 【题型3】反比例的应用 27．阳光小区要铺设一条煤气管道，计划每天铺设60米，5天可完成任务。由于居民着急使用，工程队决定每天铺75米，这样几天可以完成？ 28．某办公楼原来平均每天照明用电120千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电30千瓦时。原来6天的用电量现在可以用多少天？ 29．文具店有两种水性笔。思琪带的钱刚好可以买5支单价是1.2元的，她只买单价是2元的，可以买多少支？（用比例解答） 30．舅舅家正在装修客厅。原计划用边长4分米的方砖铺地，需要200块；后来在装修师傅的建议下，改用边长0.8米的方砖铺地，现在需要多少块方砖（不计损耗）？（用比例解） 31．暑假期间，学校要重新装修教室地面。如果用边长为4分米的方砖铺地，需要270块。如果改用边长为3分米的方砖铺地，大约需要多少块？ 32．某地推出了无人汽车运送物资服务。已知“无人车”一趟可运送0.6吨物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.4吨物资。现有一批物资，如果用“无人车”运送，需要运63趟；如果改用“无人小巴”运送，需要运几趟？ 33．小华读一本书，如果每天读30页，10天可以读完。如果每天读25页，需要几天读完？（请用两种不同的方法来解答） 34．我国自主研发的无人仓库智能控制系统，处于世界领先地位。“智能大脑”能在0.2秒内计算出300件不同货物各自的分装路线。过去，同样的工作平均每件货物需要每名工人花费3秒。“智能大脑”的工作效率相当于多少名工人的效率？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $