2026年中考数学一轮复习学案 11 反比例函数

2026年中考数学一轮复习学案 11. 反比例函数 ■考点一　反比例函数的概念► 反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． ■考点二　反比例函数的图象和性质► 1、反比例函数的图象和性质 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点） 2、待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 1）设反比例函数解析式（k≠0）；2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；3）解这个方程求出待定系数k；4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． ■考点三　反比例函数中|k|的几何意义► 1）反比例函数图象中有关图形的面积 2）涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． ■考点四　反比例函数与一次函数的综合► 1.涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． ■考点五　反比例函数的实际应用► 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． ■易错提示► 1.反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2.利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值，需要结合图象分布象限来确定具体的符号。 一、单选题 1．下列函数中，是关于的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．当时，随着的增大而减小 B．图象在第一、三象限 C．当时， D．图象经过点 3．已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 4．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 （　　） A． B． C． D． 5．反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，这是反比例函数在第一象限内的图像．若的面积是2，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（　　） A．3 B． C． D．6 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 10．若反比例函数 与一次函数y=x+b的图象交于点A(m，n)，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是(　　) A．(n，m) B．(-n，-m) C．(-m，-n) D．(-m，n) 11．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 12．为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（　　） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 二、填空题 13．已知是的反比例函数，当时，；当时，的值为　 　． 14．若双曲线在第一、三象限，则k可以是　 　．（写出一个k的值即可） 15．若点在反比例函数的图像上，则代数式　 　． 16．已知是同一个反比例函数图象上的两个点，则的值为　 　． 17．如图，同一平面直角坐标系中的正比例函数 y=ax 与反比例函数 的图象相交于点 A 和点 B.若点A 的横坐标为1，则点 B 的坐标为　 　. 18．对于平面直角坐标系中的任意一点 ，我们把点 称为点 的“和差点”.若点 在反比例函数 （ ）的图象上，点 为点 的“和差点”，则 的值为　 　，若射线 与 关于 轴对称，则 的面积为　 　 三、解答题 19．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上一点，且满足的面积是，请求出点的坐标． 20．一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． （1）求a与k的值； （2）当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） （3）在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用反比例函数的定义（我们把形如或xy=k或y=kx-1，且k≠0的解析式称为反比例函数）再分析求解即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，故B错误. 当时，y 随 x 的增大而增大，故A错误. 当时，y 的值可能大于2或小于2，故C错误. 当时，，图象经过点，故D正确． 故答案为：D． 【分析】根据，图象在第二、四象限，且当时y随x增大而增大，当时，y 的值可能大于2或小于2，当时，，即可得答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】∵该反比例函数解析式为， ∴， ∴图象位于第二、四象限，故A不符合题意； 当或时，y随x的增大而增大，故B不符合题意； 图象不可能与坐标轴相交，故C符合题意； 当时，，故D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】由知，可得图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，图象不可能与坐标轴相交，据此判断A、B、C；将点代入 中进行检验，即可判断D. 4．【答案】B 5．【答案】A 【解析】【解答】解：当时，则， ∴的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当时，则， ∴的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，A 选项符合． 故答案为：A． 【分析】利用反比例函数的图象与系数的关系（①当k>0时，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限）和一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1<0<x2时，有y1<y2， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴4-k>0， ∴k<4. 故答案为：C. 【分析】由题意可得：反比例函数的图象位于一、三象限，则4-k>0，求解即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：的面积， ， 点是反比例函数在第一象限内的图像上的点． 故， 故选：C． 【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求出答案. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E， 由旋转可知， ∵， ∴点A和点B关于对称，， ∴为反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， 在△AOC和△AOE中 ∴， 同理可得：， ∴的面积， 故答案为：D． 【分析】过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E，结合已知可得为反比例函数图象的对称轴，由题意，用角角边可得，，然后根据图形的构成的面积即可求解． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故答案为：A． 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象和性质判定。分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵反比例函数 与一次函数y=x+b的图象均关于直线y=-x对称， ∴反比例函数 与一次函数y=x+b的图象的两个交点关于直线y=-x对称， 由A(m，n)得另一交点的坐标为(-n，-m). 故答案为：B. 【分析】反比例函数 与一次函数y=x+b的图象均关于直线y=-x对称，那么它们的交点一定关于y=-x对称，进而可以确定答案. 11．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴图像在的上方， ∴图像在交点A的左侧和y轴于点B之间， 即或． 故选：C． 【分析】当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象信息即可求出答案. 12．【答案】C 13．【答案】 14．【答案】2 【解析】【解答】解∶∵反比例函数的图象在第一、 三象限内． ∴． 故答案为∶ 2 (答案不唯一，大于0即可) ． 【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案. 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴．故答案为：． 【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式可得，即，再整体代入代数式即可求出答案. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵点和点在同一个反比例函数图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 【分析】利用反比例函数图象上点坐标的特征可得，再求出m的值即可. 17．【答案】(-1，-1) 【解析】【解答】解：令 ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函数y=ax 相交于点 A 和点B，A 的横坐标为1， 当x=1时，y=x=1， ∴点 A 的坐标为(1，1). ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点A，B 关于原点对称， ∴点 B 的坐标为(-1，-1). 故答案为：(-1，-1). 【分析】先求出a的值，即可得到点A的坐标，然后根据函数图象的对称性解答即可. 18．【答案】；2 【解析】【解答】解：①设点A的坐标为（m， ）， ∵点B为点A的“和差点”， ∴点B坐标为（m- ，m+ ）， ∴OA2=m2+ ，OB2=（m- ）2+（m+ ）2=2（m2+ ）， ∴ = ， ∴ = = ； ②如图，作AC x轴，交OB于C，交y轴于D， ∵点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上， ∴S△AOD=1， ∵射线OA与OB关于y轴对称， ∴OA=OC，S△COD=S△AOD=1， ∴S△AOC=2， ∵ = = ， ∴OB= OA= OC， ∴S△AOB= S△AOC=2. 故答案为： ，2 . 【分析】①设点A的坐标为（m， ），根据“和差点”的定义可得点B坐标为（m- ，m+ ），根据两点间的距离求出OA2、OB2，从而求出OA与OB的比值；②如图，作AC x轴，交OB于C，交y轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOD=1，由射线OA与OB关于y轴对称，可得OA=OC，S△COD=S△AOD=1，即得S△AOC=2，由①结论可得OB= OA= OC，从而得出S△AOB= S△AOC，继而得解. 19．【答案】解：（1）将代入得，解得，反比例函数解析式为．，解得，所以点坐标为，把，代入得：，解得，一次函数解析式为．（2）或．（3）设点坐标为，一次函数与轴交点为，把代入得，解得，点坐标为．，，即，解得或．点坐标为或． （1）解：将代入得， 解得，反比例函数解析式为．，解得， 所以点坐标为，把，代入得： ，解得，一次函数解析式为． （2）解：或． （3）解：设点坐标为，一次函数与轴交点为， 把代入得，解得，点坐标为． ， ，即， 解得或．点坐标为或． 【解析】【解答】解：（2）由图象可得当或时式． 故答案为：或． （3）设点坐标为，一次函数与轴交点为， 把代入得，解得，点坐标为． ， ，即， 解得或．点坐标为或． 【分析】（1）根据题意将点代入反比例函数即可求出k，进而得到反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，从而运用待定系数法即可求解。 （2）根据反比例函数与一次函数的交点结合题意即可求解； （3）设点P坐标为（m，0），根据三角形的面积公式结合题意即可求解。 20．【答案】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵反比例函数（）过点A， ∴， ∴． （2） （3）点D的坐标为或 【解析】【解答】（2）解：当时，由图可知， 故答案为： （3） 解：当点D在轴正半轴上时，如图， 过点A作轴交于点，则，此时， 此时点； 当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得a值，则A(2，6)，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案. （2）当一次函数图象在二次函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案. （3）分情况讨论：当点D在轴正半轴上时，过点A作轴交于点，则，此时，则点；当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点，根据等角对等边可得，结合两点间距离建立方程，解方程可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式可得直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案. （1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵反比例函数（）过点A， ∴， ∴． （2）解：当时，由图可知， 故答案为： （3）解：当点D在轴正半轴上时，如图， 过点A作轴交于点，则，此时， 此时点； 当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $