2026年中考数学一轮复习学案 10 一次函数

中考数学一轮复习学案 10. 一次函数 ■考点一　一次函数的相关概念► 1.正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数。 2.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.。 ■考点二　一次函数的图象与性质► 1.一次函数的图象特征与性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k>0，b=0 一、三 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 k<0，b=0 二、四 2.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 3.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 4.一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 ■考点三　一次函数与方程（组）、不等式► 1.一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式． 从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0； 从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标． 2.一次函数与一元一次不等式 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3.一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线． 从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标． ■易错提示► 1. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 2. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，学生做题时要注意具体问题具体分析。 一、单选题 1．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y 2．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4），其中一次函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．函数的图像经过点，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 4．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．一次函数的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 6．若是一次函数图象上的两点，则（　　） A． B． C． D． 7．已知一次函数的图像经过点、，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（　　） A．B．C． D． 9．已知一次函数的图象如图所示，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 11．如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（　　） A．该函数的最小值为 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 12．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 13．在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 14．如图，直线经过点，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 15．某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同 C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克 16．某移动通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（　　） A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜 C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多 D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟 二、填空题 17．点在函数的图像上，则代数式的值等于　 　． 18．若直线经过第一、三、四象限，则的值可以是　 　（请填一个具体的数）． 19．若一次函数的函数值y随着自变量x值的增大而减小，则　 　（写出一个满足条件的值）． 20．如图，直线与直线交于点，则关于的方程的解为　 　； 21．如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 　 　． 22．已知一次函数，当时，y的最大值等于　 　． 三、解答题 23． 如图，已知直线 过点 ，过点 A 的直线 交 x 轴于点 . （1） 求两条直线对应的函数表达式. （2） 观察图象，直接写出当 时 x 的取值范围. 24．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求函数y的值； （3）求当时，自变量x的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：y=x表示y是x的正比例函数，故选项A符合题意； y＝x+1不表示y是x的正比例函数，故选项B不符合题意； y=x2不表示y是x的正比例函数，故选项C不符合题意； y不表示y是x的正比例函数，故选项D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据正比例函数定义逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：根据一次函数的定义可知： （1）；（2）；是一次函数，（3），是反比例函数；（4），是二次函数； 故一次函数的个数有2个． 故答案为：B 【分析】根据一次函数定义逐项进行判断即可求出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：把点代入， 得， ， 故答案为：B. 【分析】将点P坐标代入函数解析式，利用待定系数法求出k值. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴a-3＜0， ∴， 故答案为：B 【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求解。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：在一次函数中，y的值随x增大而增大， ，且， A．将代入中，得，解得：，故A选项不符合题意； B．将代入中，得，解得：，故B选项不符合题意； C．将代入中，得，解得：，故C选项符合题意； D．将代入中，得，解得：，故D选项不符合题意． 故答案为：C 【分析】根据一次函数性质与系数的关系可得k>0，再将各点代入解析式逐项进行判断即可求出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴一次函数，y值随x值的增大而增大． 又∵， ∴． 故答案为：D 【分析】根据一次函数的性质即可求出答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一次函数， ∴y随着x的增大而减小． 又∵5＞－2， ∴． 故答案为：A 【分析】根据一次函数的性质即可求出答案. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，， ∴一次函数的图象经过定点； ∴一次函数一定经过第二象限， 当时，即，在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，， ∴一次函数的图象经过定点， ∴一次函数必定经过第三象限， 又∵， ∴一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【分析】 由一次函数图象上点的坐标特征知，则一次函数可转化为，则当时，即直线必然经过点 ，则一次函数一定经过第二象限；同理得到一次函数的图象经过定点，则一次函数必定经过第三象限，再由，得到一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：由函数图象可知，，解得，， 故答案为：C 【分析】根据一次函数的性质与系数的关系即可求出答案. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得，平移后的直线的解析式为， 将代入得，，解得， 故答案为：C 【分析】根据函数图象的平移性质可得平移后的直线的解析式为，再将坐标原点代入解析式即可求出答案. 11．【答案】C 【解析】【解答】解：A、由图象可知，函数的最小值为；故该选项错误； B、当时，y随x的增大而增大，故该选项错误； C、设时，函数的解析式为，由图可知，点，在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴当时，，故该选项正确； D、当时，， 设时，函数的解析式为，由图可知，点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴当时，； ∴当和时，对应的函数值不相等；故该选项错误； 故答案为：C 【分析】根据一次函数的图象，性质逐项进行判断即可求出答案. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：∵直线与相交于点， ∴关于的方程的解是， 故选：C． 【分析】 观察图象知，两直线的交点横坐标就是关于的方程的解． 13．【答案】D 【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数和的图象相交于点， ∴关于的方程组的解为． 故答案为：D 【分析】将点P坐标代入一次函数解析式可得，再根据两一次函数相交问题即可求出答案. 14．【答案】A 【解析】【解答】解：如图， 在中，当时，， ∴直线经过， ∴直线与直线交于， ∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时，， ∴不等式的解集为， ∴当时，x的取值范围为， 故答案为：A 【分析】根据图象，当直线的函数图象在直线的图象下方时有，结合函数图象即可求出答案. 15．【答案】B 【解析】【解答】解：当0≤x≤15 设，把代入，得，解得， ∴， 当时，，即第10天销售20千克，故A正确，不符合题意； 当时，，即第7天销售14千克，当时，，即第1天销售2千克， 当时， 设，把代入，得， 解得， ∴， 当时，，即第16天销售24千克 ∴第7天和第16天的日销售量不相同，故B错误，符合题意； 由图得，一天最多销售30千克，故C正确，不符合题意； ∵千克， ∴第16天比第1天多销售22千克，故D正确，不符合题意； 故答案为：B 【分析】当0≤x≤15，设，根据待定系数法将点代入解析式可得，结合一次函数性质可判断A选项；当时，设，根据待定系数法将代入可得，结合一次函数性质即可求出答案. 16．【答案】D 【解析】【解答】解：A方案的函数解析式为，B方案的解析式为， 当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元， 将或60代入，得分或195分，故选项D不符合题意； 观察图象可得A、B、C选项符合题意； 故答案为：D 【分析】根据题意分别求出A，B方案的函数解析式，结合一次函数性质，图象所给信息即可求出答案. 17．【答案】 【解析】【解答】解：∵点在函数的图像上， ∴，变形得， 代数式变形得， ∴， 故答案为：． 【分析】将点P坐标代入解析式，变形可得，将代数式提公因数化简，整体代入即可求出答案. 18．【答案】1 （答案不唯一） 【解析】【解答】解：经过第一、三、四象限， ， 的值可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案. 19．【答案】（只要是负数即可） 【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值y随着自变量x值的增大而减小， ∴， ∴满足题意的k的值可以为， 故答案为：（只要是负数即可）． 【分析】根据一次函数性质与系数的关系即可求出答案. 20．【答案】 【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴关于的方程的解， 故答案为 【分析】将点A坐标代入直线 可得，再根据两直线交点坐标性质即可求出答案. 21．【答案】 【解析】【解答】解：∵经过， ∴，解得， ∴ ∴一次函数与的图像相交于点， ∴可有方程组的解为， 故答案为：． 【分析】将点A坐标代入一次函数 可得，再根据两一次函数相交问题即可求出答案. 22．【答案】7 【解析】【解答】∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 故答案为：7． 【分析】根据一次函数性质性质即可求出答案. 23．【答案】（1）解：代入，得， 解得， ； 把点A(-2， -4)，点B(-4， 0)代入，得 ， 解得 ； （2）解：由观察图象可知，当 时 x 的取值范围为 . 【解析】【分析】(1)将点A坐标代入y=mx可得m的值，即得y1的表达式，同时将A、B坐标代入y=nx+b，得到关于n、b的值，即可得y2的表达式； (2)观察函数图象知x的范围. 24．【答案】（1）解：设，将点，代入得： ， 解得， ∴函数解析式为：； （2）解：将代入 得，； （3）解：∵， ∴随的增大而减小， 将和代入得，， 解得，， ∴当时，自变量x的取值范围为． 【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将点（2，0）与点（-4，8）分别代入可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而可得该一次函数的解析式； （2）将代入（1）所求的一次函数解析式，算出对应的函数值即可； （3）由于一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，故分别求出y=-2和y=4对应的x的取值，根据函数的增减性即可求解． （1）解：设，将点，代入得： ，解得， 函数解析式为； （2）解：将代入得，； （3）解：∵， ∴随的增大而减小， 将和代入得，， 解得，， ∴当时，， 自变量x的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $