2026年中考数学一轮复习学案 9 函数的初步认识

中考数学一轮复习学案 9.函数的初步认识 ■考点一　平面直角坐标系► 1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）． 2．平面直角坐标系 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。（见图1） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点。 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面。 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1） 点的坐标 对于坐标平面内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线， 垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标， 有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b). （见图2）。 图1 图2 ■考点二　点的坐标特征与变换► 1．点的坐标特征：已知点P（a，b） 第一象限：a>0，b>0； 第二象限：a<0，b>0； 第三象限：a<0，b<0； 第四象限：a>0，b<0； 原点：a=0，b=0； x轴上：b=0； y轴上：a=0； 2．轴对称与中心对称：已知点P（x，y） （1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y）． （3）点P关于原点的对称点为（-x，-y）． 3．图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y） 1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y）；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y）； 3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b）；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b）． 4.两个公式 （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为： ； （2）两点距离公式：已知两点：、，则 ． ■考点三　坐标方法的简单应用► 确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。 ■考点四　函数► 1、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。 2、函数的三种表示法的优缺点 　 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值时要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 ■易错提示► 1.有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同，坐标轴上的点不属于任何象限。 2.到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数。 3.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小，注意和函数平移的区别。 一、单选题 1．已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，点 所在的象限是 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知点关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．如果P点的坐标为，它关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，已知的坐标为，将点P向左平移4个单位后的坐标为（　　） A． B． C． D． 5． 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(-3， 2)，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 得到线段 ，则点 A' 的坐标为（　　） A．(2， 3) B．(3， 2) C．(-2， -3) D．(-3， -2) 6．热爱旅游的小柒同学想到“海天佛国”普陀山游玩，以下表示普陀山地理位置最合理的是(　　) A．北纬29°58'3″，东经 122°21'6″ B．距离杭州约242公里 C．舟山群岛东部海域 D．在浙江省 7． 已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 8．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 9．当时，函数的值是（　　） A． B． C． D．3 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴，且，则点B的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 11．下列各图中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 12．在关系式中，有下列说法：①是自变量，是因变量；②是变量，它的值与无关；③用关系式表示的不能用图象表示；④与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中说法正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③ 二、填空题 13．如图，如果“炮”所在位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为，那么“士”所在位置的坐标为　 　． 14．在平面直角坐标系中，点 在y轴上，则a的值是　 　． 15．已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到轴的距离为，则的值为______． 16．在平面直角坐标系中，若点P(2m-2，m+1))在x轴上，则点 P 的坐标为　 　. 17．平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第　 　象限． 18．如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为　 　. 三、解答题 19． 如图，在长方形ABCD中，BC=8，CD=5，E为边AD上一动点，连结CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化. （1）写出四边形ABCE的面积y与AE的长x(0<x<8)之间的关系式； （2）当x=3时，求y的值； （3）当四边形ABCE的面积为35时，求DE的长. 20．周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离s（千米）与时间t（时）之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象回答下列问题： （1）小李到达离家最远的地方是什么时间？ （2）小李何时第一次休息？ （3）11时到12时，小李骑了多少千米？ （4）返回时，小李的平均车速是多少？ 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：， 同号， ， ， A.在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； B.在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； C.在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； D.在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据不等式的性质可得，再根据第四象限点的坐标特征即可求出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵-2<0，a2+1>0， ∴点P所在的象限是第二象限 故选：B. 【分析】根据各象限内点的坐标特征判断即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：设点M关于原点的对称点为M'， ∴点， ∵点在第二象限， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：B． 【分析】本题首先利用“关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数”，可以列出M'，然后根据第二象限的符号特征，即横坐标为负数、纵坐标为正数，即可列不等式组，最后解不等式组即可． 4．【答案】A 【解析】【解答】解： P点的坐标为，它关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，已知的坐标为， ， 将点P向左平移4个单位后的坐标为， 故答案为：A． 【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）和点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A'作A'C⊥x轴，垂足为C ∴∠ABO=∠OCA'=90°， ∴∠BAO+∠AOB=90°， ∵点A的坐标为(-3，2)， ∴OB=3，AB=2， 由旋转得OA=OA'，∠AOA'=90°， ∴∠AOB+∠A'OC=180°-∠AOA'=90°， ∴∠BAO=∠A'OC， ∴△ABO≌△OCA'(AAS)， ∴OC=AB=2，A'C=OB=3， ∴点A'的坐标为(2，3) 故答案为：A . 【分析】根据点的坐标与旋转的性质可求OB，AB，∠AOA'，结合全等三角形的判定与性质即可求解。 6．【答案】A 【解析】【解答】解：A.北纬 东经 这是经纬度坐标，可以精确定位到地球上的一个点，是最准确的地理表达方式； B.距离杭州约250千米：这是相对距离，但方向不明确，无法准确确定位置； C.在舟山市的东南部：这是相对位置，虽然比B更具体，但仍然不够精确； D.在浙江省：这是行政区域，范围太大，定位最不准确。 故答案为：A . 【分析】根据经纬度、相对位置和行政区域等地理表达方式的精确程度解答即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是． 在此变化过程中，变量是路程、时间， 故答案为：B． 【分析】根据变量的定义“在一变化过程中发生改变的量是变量”判断即可． 8．【答案】C 9．【答案】B 【解析】【解答】解：当时，； 故答案为：B． 【分析】直接把x=-1代入函数关系式中，即可得出y=-3. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB∥x轴 ∴点A和B的纵坐标相同，即点B的纵坐标为3 ∵AB=4 ∴设点B的横坐标为m，可得|m-2|=4； ∴m=-2或6 ∴点B的坐标为（-2，3）或（6，3） 故答案为：C. 【分析】根据与x轴平行的直线，纵坐标相等，可得点B的纵坐标；根据两点间的距离公式，列一元一次方程，解含绝对值的方程即可求出点B的坐标. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， ∴选项B正确． 故答案为：B． 【分析】根据函数的定义“对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应”可知，函数反映在图象上简单的判断方法是：在x的取值范围内作垂直x轴的直线与函数图象只有一个交点．结合各选项即可判断求解. 12．【答案】B 【解析】【解答】解：关系式y=2x+1中，x是自变量，y是因变量，故①正确； y是变量，它的值随x的变化而变化，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，故y的值与x无关说法错误，②错误； 函数有三种表示形式：解析式法，列表法及图象法，三种表示方法可以互相转换，故③错误，④正确， 综上，正确的是①④. 故答案为：B. 【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法. 13．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得， 则“士”所在位置的坐标为． 故答案为：． 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标与位置的对应关系，需根据已知点的坐标确定坐标系的基准。已知“炮”和“象”的具体坐标，可先通过这两个点的位置确定坐标系的原点位置和x轴、y轴的正方向，建立起完整的平面直角坐标系后，再根据“士”在坐标系中的相对位置，读出其对应的横、纵坐标，从而确定“士”的坐标。 14．【答案】1 【解析】【解答】解：∵点 在y轴上， ∴a-1=0， 解得：a=1， 故答案为：1． 【分析】由点 在y轴上，解得a=1。 15．【答案】2 【解析】【解答】解：第一象限内点到轴的距离为， 点坐标为， ， 解得：， 故答案为：． 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限内点的横、纵坐标均为正数，且点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值。已知点在第一象限，纵坐标为正数，又因为点到轴的距离为4，所以纵坐标的绝对值等于4，即，解这个一元一次方程，可得。 16．【答案】(-4，0) 【解析】【解答】解：∵ 点P(2m-2，m+1))在x轴上 ， ∴点P的纵坐标为0，即m+1=0， 解得：m=-1， 当m=-1时，2m-2=-4， ∴点P的坐标为（-4，0）， 故答案为：（-4，0）. 【分析】根据在平面直角坐标系中，在x轴上的点的纵坐标为0，求得m的值，再代入横坐标，即可得出答案. 17．【答案】一 【解析】【解答】∵， ∴， ∴， ∴，故点N在第一象限， 故答案为：一． 【分析】根据二次根式，偶次方的非负性可得x，y值，再根据点的坐标与象限的关系即可求出答案. 18．【答案】（2，2）或（ ，-2） 【解析】【解答】设P点的坐标为（x，y）， ∵“和谐点“P到x轴的距离为2， ∴|y|=2， ∴y=±2. 将y=2代入x+y=xy，得x+2=2x，解得x=2， ∴P点的坐标为（2，2）； 将y=-2代入x+y=xy，得x-2=-2x，解得x= ， ∴P点的坐标为（ ，-2）. 综上所述，所求P点的坐标为（2，2）或（ ，-2）. 故答案为（2，2）或（ ，-2）. 【分析】由题意可得|y|=2，解方程求得y=±2，分别把y=2和y=-2代入 x+y=xy计算即可求解。 19．【答案】（1）解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2， ∴y=（x+8）×5÷2=， ∴ 四边形ABCE的面积y与AE的长x(0<x<8)之间的关系式​​​​​​​​​​​​​​ （2）解： 当 x=3时，y==， （3）解：当y=35时，即， 解得x=6， 【解析】【分析】⑴根据“梯形面积=（上底+下底）×高÷2”列式即可. ⑵将x的值代入求y值即可. ⑶将y的值代入求x即可. 20．【答案】（1）解：由函数图象可知，小李到达离家最远的地方是14时； （2）解：由函数图象可知，在第10小时-11小时，小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息， ∴小李10时第一次休息； （3）解：由题意得：11时到12时，小李骑了千米； （4）解：， ∴返回时，小李的平均车速是每小时15千米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $