2026年中考数学一轮复习学案 7 一元二次方程

中考数学一轮复习学案 7.一元二次方程 ■考点一　一元二次方程的相关概念► 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式：，其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解. ■考点二　一元二次方程的解法► 1.直接开平方法：适合于或形式的方程． 2.配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ；（4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 ． 4.公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，则将根据求得方程的解；若b2-4ac＜0，则方程无解． 根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式，记为△． （1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△＜0时，方程没有实数根． ■考点三　根与系数的关系（韦达定理）► 1.根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则；。 ■考点四　一元二次方程的实际应用► 1.利用一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解应用题步骤，即审、设、列、解、验、答六步． 2.增长率等量关系 设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ； 当为平均下降率时，则有 ． 3.利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量 4.面积问题：常用平移法解决面积问题 5.碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m； 则m=n（n－1） 。 （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。 则m=n（n－1） 。 ■易错提示► 1. 如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）。 2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0。 3. 求根公式和一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△=b2-4ac≥0。 一、单选题 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则a的值为（　　） A．0 B． C．1 D． 3．关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（　　） A． B． C． D． 4．把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B．2024 C． D．2026 6．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（　　） A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定 7．潮绣婚纱晚礼服是以潮州市为产业核心的服饰品类，依托“中国婚纱晚礼服名城”产业定位形成集群化发展格局.某服装厂生产一批晚礼服，2023年该晚礼服的出厂价是300元/件，2024年、2025年连续两年改进技术降低成本，2025年该晚礼服的出厂价调整为243元/件.若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（　　） A．10% B．190% C．10%或190% D．19% 8．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行一场比赛，共需比赛15场，则九年级班级的个数为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（　　）． A．10米 B．12米 C．15米 D．10或15 10．若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．一元二次方程x(x-2)=0的解是　 　. 12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 13．已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　. 14．已知、是方程的两个实数根，若，则　 　． 15．已知x为实数，且满足，那么　 　. 16．如图，为美化校园环境，学校打算在长为30m、宽为20m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为a（m)的通道。若花圃的面积恰好等于264m2，则通道的宽为　 　m。 三、计算题 17．解下列方程： （1） （2）3x(x1)=22x （3）x(2x4)=58x. 18．阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 四、解答题 19．已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程的实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 20．关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值． 21．我们可以用以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值； （3）求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 22．解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意； B．是一元二次方程，故B符合题意； C．是分式方程，故C不符合题意； D．是二元一次方程，故D不符合题意； 故选：B． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为 ， ∴ ， ， 则a的值为： ． 故答案为：D． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵，当时，， ∴该方程必有一个根是， 故答案为：A. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：， 移项得：， 配方：方程两边同时加 ， ， 即， 与 比较，得，． 故答案为：D. 5．【答案】A 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根， ∴Δ＝42﹣4a＜0， ∴a＞4， ＝＝|4﹣a |， ∵a＞4， ∴|4﹣a |＝a﹣4， 故答案为：B． 7．【答案】A 【解析】【解答】 解：设年平均下降率为x， 则300(1-x)2=243， 解得：x1=1.9(舍去)，x2=0.1=10%， 即年平均下降率为10%， 故答案为：A 8．【答案】A 【解析】【解答】解：设九年级班级个数为x个， 由题意得， ∴， 解得或（舍去）， ∴九年级班级个数为6个， 故选：A． 9．【答案】C 10．【答案】A 【解析】【解答】解：是方程的一个根， ， ，， ， ． 故答案为：A． 11．【答案】x1=0，x2=2． 【解析】【解答】解：， 或， . 故答案为 12．【答案】k＜ 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴k＜ ， 故答案为：k＜ 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．【答案】1 15．【答案】1 【解析】【解答】设 方程变形为 即(y-1)(y+3)=0， 解得y=1或y=-3， 即或(无解). 故答案为：1. 16．【答案】4 【解析】【解答】解：依题意知花圃的长为(30-2a)m，宽为(20-2a)m， 则有(30-2a)(20-2a)=264， 整理得a2-25a+84=0， 解得a1=4，a2=21 ∵20-2a>0， ∴a<10， ∴a=4. 故答案为：4. 17．【答案】（1）解： ， ， ， ； （2）解：3x(x-1)=2-2x， ， ， ， ， ， ； （3）解： x(2x4)=58x ， ， ， ， ， ， 18．【答案】；或； 19．【答案】（1）解：当时，， 即． 得． ∴，或． 即，． （2）解：依题意， ， 无论取任何实数，该方程总有实数根． （3）解：∵方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∵， ． ∴ 解得． 20．【答案】（1）解：∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0， 解得：m＜ ． ∴m的取值范围为m＜ （2）解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根， ∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m， ∴x12+x22= ﹣2x1•x2=4﹣4m=8， 解得：m=﹣1． 当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0． ∴m的值为﹣1 21．【答案】（1）解：由题意得： ， ∵ ∴ ∴当时，有最小值． （2）解：由题意得：， ∵ ∴ ∴当时，有最大值． （3）证明：由题意得： = =； ∵ ∴， ∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 22．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为. （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $