2026年中考数学一轮复习学案 5.一次方程（组）

中考数学一轮复习学案 5.一次方程（组） ■考点一　等式的基本性质► 1.等式的基本性质 1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式； 2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式； 3）若a=b，b=c，则 a=c （传递性）。 ■考点二　一元一次方程► 1.方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程． 2.方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。 3.一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。 4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。 5.一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 ■考点三　二元一次方程（组）► 1.二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。 2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。 3.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。 方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。 4.解二元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。 5.二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。 （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。 ■考点四　一次方程（组）的实际应用► 1.列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 2.一次方程（组）常见的应用题型 （1）销售打折问题： 利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题： 利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数． （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． ■易错提示► 1.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。 2. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。 3.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。 一、单选题 1．已知a=b，下列式子不一定成立的是 (　　) A．a+2=b+2 B．ac= bc C．a-1>b-2 D． 2．将等式a=b-1进行变形，其中变形正确的是（　　） A．a-1=b B．-a=1-b C．a-3=b-2 D．2a=2b-1 3．已知是关于的方程的解，则的值为(　　) A． B． C． D． 4．将方程去分母，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．小明解方程 的步骤如下： 解： 方程两边同乘6，得，① 去括号， 得 ， ② 移项，得 ， ③ 合并同类项，得 ． ④ 以上解题步骤中， 开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 7．已知，是方程的一个解，则m的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 8．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（　　） A．0 B．2 C．6 D．8 9．对于二元一次方程组将①代人②，消去可以得到（　　） A． B． C． D． 10．若方程组的解也是方程的解，则的值是（　　） A．6 B．10 C．9 D． 11．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 12．某品牌服装折扣店将某件衣服按进价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元。设这件衣服的进价为元，根据题意，下面所列的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．是关于x的一元一次方程，则　 　． 14．衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则. 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的. 命题： 如果a， b， c为实数， 且满足a+b=-c. 那么2=1. 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c；① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有 a=2a-a，b=2b-b，c=2c-c； ② 第三步： 把②代入①， 可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)； ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)； ④ 第五步： 把④两边同时除以(a+b+c)， 得 2=1.⑤ 请你判断上述推理过程中，第　 　步是错误的，它违背了数学的基本法则. 15．已知二元一次方程组，则代数式　 　. 16．“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需　 　元． 三、计算题 17．解下列一元一次方程： （1） （2） 18．解方程组： （1） （2） 四、解答题 19．下面是小亮解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 ______，得．第三步 合并同类项，得．第四步 方程两边都除以，得．第五步 填空： （1）以上求解步骤中，第三步变形的名称是______，其依据是______； （2）以上求解步骤中第______步开始出错，这一步错误的原因是______； （3）请直接写出该方程的正确解______． 20．某学校复印社购进一批白色复印纸和彩色复印纸，若购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元． （1）求白色复印纸和彩色复印纸每箱各多少元． （2）该复印社计划整箱购进这两种复印纸，费用恰好为1160元，问两种复印纸各购买几箱？ 21．某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获西蓝花，乙菜地去年收获西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收，乙菜地增收． （1）今年两块菜地共收获__________西蓝花；（用含，的代数式表示） （2）若去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花． 22．为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）． （1）求每辆，车型各有多少个座位？ （2）要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？ 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：选项A：因为a=b，根据等式性质，等式两边同时加2，a+2=b+2一定成立； 选项B：因为a=b，根据等式性质，等式两边同时乘c，ac=bc一定成立； 选项C：因为a=b，所以a-1>b-2可转化为a-1>a-2，一定成立； 选项D：当a=0时，，，0>0不成立，所以该式子不一定成立； 故答案为：D . 【分析】根据等式的基本性质即可逐一分析求解. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、∵a=b-1， ∴a-1=b-2，故A不符合题意； B、∵ a=b-1 ， ∴-a=-b+1，故B符合题意； C、∵a=b-1， ∴a-3=b-1-3=b-4，故C不符合题意； D、∵ a=b-1 ∴2a=2b-2，故D不符合题意； 故答案为：B. 【分析】利用等式的性质1可对A、B、C作出判断，利用等式的性质2，可对D作出判断. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：是关于的方程的解， ， 解得：. 故答案为：． 【分析】将解代入方程中，转化为关于的一元一次方程求得结果． 4．【答案】A 【解析】【解答】解： 方程两边同时乘以6，去分母，得3（x+3）+6=2（x-2）； 故答案为：A. 【分析】两边同时乘以6约去分母，左边的1也要乘以6，不能漏乘，据此可得答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ 方程两边同乘6，可得， ∴第①步出现错误， 故答案为：A. 【分析】利用等式的性质，两边同时乘6，再化简即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意； B、中最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； C、是三元一次方程组，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； D、中最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 【分析】直接利用二元一次方程组的定义分别判断得出即可.二元一次方程满足的三个条件：(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1；(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】B 【解析】【解答】解：把①代入②得：x+2（x-1）=7， 即x+2x-2=7， 故答案为：B. 【分析】把①代入②进行化简，即可得出答案. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意知， 将②-2×①得，5y=3， ∴， 把y的值代入①得，3x+3=6， ∴x=1， 将x和y的值代入方程可得，， ∴. 故答案为D. 【分析】首先解二元一次方程组，消元后求解即可，再将二元一次方程组的解代入3x+ky=10中即可得到k的值. 11．【答案】D 【解析】【解答】解：， 由得：，解得：． 由得：，解得：． 由得：，解得：． 故原方程组的解为． 故正确答案选：D． 【分析】通过观察、分析可以发现： 方程①和方程②中的字母x、z的系数都是互为相反数，所以直接利用①+②，求出y的值；方程①和方程③中的字母y、z的系数都是互为相反数，所以直接利用①+③，求出x的值；方程②和方程③中的字母x、y的系数都是互为相反数，所以直接利用②+③，求出z的值。进而即可得到方程组的解. 12．【答案】B 【解析】【解答】解：设这件衣服的进价为元，则按进价提高50%后标价为x(1+50%)， 打8折后的售价为x(1+50%)80%， 所以由题意有x(1+50%)80%=240. 故答案为：B. 【分析】基本关系：售价=标价×折扣，标价=进价×（1+50%），据此列一元一次方程即可。 13．【答案】2 【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，且系数， 解，得， ∴或， 当时，，系数为0，不符合一元一次方程的条件， 故． 故答案为：2． 【分析】先根据一元一次方程的定义求出a，再将a代回原式，再利用一元一次方程的定义判断即可． 14．【答案】五 【解析】【解答】第五步出现错误，两边除以a+b+c时为考虑是否为零， 故答案为：五. 【分析】根据等式的基本性质“两边同时除以同一个不为零的数，结果仍相等”解答即可. 15．【答案】6 【解析】【解答】 解：①-②，得： 3x-y-（x+y）=5-（-7） 2x-2y=12， x-y=6. 故正确答案为：6． 【分析】通过观察、分析可以看出两个方程相减，可以得到2x-2y=12，即，两边同时除以2，可以直接得出x-y的值． 16．【答案】48 【解析】【解答】解：设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元， 根据题意得： ， 解得： ， ∴x+y=20+28=48． 故答案为：48． 【分析】设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，根据“1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入x+y中，即可得出结论． 17．【答案】（1）解： ， （2）解： ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（）把移项，合并同类项得，最后系数化为即可. （）把去分母，去括号，移项，合并同类项得，最后系数化为即可. （1）解：移项得，， 合并同类项得， 系数化为得，； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 18．【答案】（1） （2） 19．【答案】（1）移项；等式的基本性质； （2）二；去括号时，等号左边括号外的没有和括号内的第二项1相乘； （3）． 20．【答案】（1）解：设白色复印纸x元，彩色复印纸每箱y元， ∵ 购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元 ， ∴ ， ∴， 答：白色复印纸80元，彩色复印纸每箱180元. （2）解：设购进白色复印纸m箱，彩色复印纸n箱， ∵ 整箱购进这两种复印纸，费用恰好为1160元， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴当，， 当时，， 答：购进白色复印纸10箱，彩色复印纸2箱或购进白色复印纸1箱，彩色复印纸6箱． 【解析】【分析】（1）设白色复印纸x元，彩色复印纸每箱y元，再根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进白色复印纸m箱，彩色复印纸n箱，再根据题意列出方程组求解即可. 21．【答案】（1） （2）甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花． 22．【答案】（1）每辆型车有个座位，每辆型车有个座位 （2）有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $