第六章 平面向量及其应用（单元自测·冲刺卷）高一数学人教A版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第六章平面向量及其应用 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则实数的值为（） A．2 B． C． D． 2．已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（） A． B． C． D． 3．在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．已知点为所在平面内一点，若，则（） A．3 B． C． D． 6．设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（） A．1 B．2 C． D．4 7．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（） A． B． C． D． 8．已知分别是三个内角的对边，且，，若点为的费马点，则（） （注：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.所求的点称为费马点） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中，，点满足，设，则（） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 10．在中，已知，，，若，则（） A． B． C．是在上的投影向量 D． 11．在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．当时， C．当时， D．的取值可能是2 第二部分（非选择题共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 13．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，，则_______. 14．已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 16．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 17．（15分）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 19．（17分）如图，在平面四边形中，，为线段上一点，且，. (1)若，求； (2)记，，， （i）证明：； （ii）求的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第六章 平面向量及其应用（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C C B B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1），又，，， 即， ，解得....................4分 （2）因为，， 又， ，即，解得....................8分 （3）因为， 所以， 所以当时，取最小值.....................13分 16．(15分） 【详解】（1）在△ABC中，由，，可得， 因为，，， 可得， 代入，，可得：， 化简得：， 所以，，即；....................6分 （2）由（1）可知C为钝角，且， 则，， 所以.....................11分 （3）.....................15分 17．(15分） 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即.....................5分 （2）由已知得， ；....................10分 ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即....................15分 18．（17分） 【详解】（1）依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故；....................5分 （2）由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：；....................11分 （3）三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：....................17分 19．（17分） 【详解】（1）在中，由，且， 可得，， 由余弦定理可得， 即，即， 又，所以， 即， 所以在中， 由正弦定理可知， 即，即；....................4分 （2）（i）在中，易知， 则， 所以， 在中，由余弦定理可知， 又在中， 由余弦定理可知， 则，化简可得， 即， 所以， 在中，由余弦定理可知， 在中，， 则由余弦定理可知， 所以， 即成立；....................10分 （ii）由（i）可得， 即， 又， 则， 整理可得， 即，， 又在中可知， 所以， 则.....................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第六章 平面向量及其应用 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 2．已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，. 则向量在方向上的投影向量为. 3．在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 4．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 5．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 6．设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出，然后根据正弦定理求出三角形外接圆半径. 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 故选：B. 7．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为. 8．已知分别是三个内角的对边，且，，若点为的费马点，则（） （注：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.所求的点称为费马点） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角恒等变换可得，据此判断费马点的位置，由余弦定理及条件求出，再由等面积法求出，利用费马点转化为向量数量积即可得解. 【详解】已知，由正弦定理得， 由，， 则有， 即， ，，有，得， 因为，所以，所以，所以. 由三角形内角和性质知：内角均小于， 结合题设易知：P点一定在三角形的内部， 再由余弦定理知，， 又因为，所以， 所以 ， 所以. 由，等号左右两边同时乘以可得： ， 则. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 10．在中，已知，，，若，则（   ） A． B． C．是在上的投影向量 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的线性运算以及投影向量的求法判断各选项的准确性. 【详解】对于，由，则有，即， 所以可得，故错误； 对于，因，， 展开则有，移项整理可得，故正确； 对于，由投影向量求法可知在上的投影向量为， 因为，，， 代入上式可求得在上的投影向量为， 故正确； 对于， ， 故错误. 故选： 11．在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．当时， C．当时， D．的取值可能是2 【答案】BCD 【分析】首先根据题意条件，结合边角互换求出角B的大小，再代入到向量内积等式中求出的值，最后逐个分析选项。对于A，利用正弦定理面积公式即可求解；对于B，利用余弦定理求出a、c的大小，判断可构成三角形，再利用正弦定理求出R的大小即可；对于C，用余弦定理，并结合等边对等角判断即可；对于D，根据余弦定理求出的范围并据此判断即可． 【详解】由题意可得，又， 所以， 代入前式可得， 展开化简得，在中，，且，解得， 又，所以， 解得， 对于A，的面积为，故A错误； 对于B，当时，由余弦定理可得， 化简可得，所以， 即，同理可得，所以或， 易知可构成三角形，又由正弦定理可知，解得，故B正确； 对于C，当时，进一步可得， 由余弦定理可知，则，此时， 由等边对等角可知，故C正确； 对于D，由余弦定理，则可得， 所以，当且仅当即时取等号， 又时，，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 【答案】 【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【详解】由可得，即， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 13．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 【答案】2 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求，即可求出. 【详解】，， ，即， 在上的投影向量为， 则，整理得：，化简得：， ，， 由可得， 因，则， 由 ， 令， 时，，， ，解得：. 14．已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 【答案】 【详解】解法一：， 所以，或， 所以为直角三角形， 当时， ，其中， 所以当，的最大值为； 当时，同理可得的最大值为； 当时，． 综上的最大值为． 解法二：先降次再用和差化积，由题知， 所以．进而， 所以， 即． 化简得，于是为直角三角形． 下同解法一． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1），又，，， 即， ，解得....................4分 （2）因为，， 又， ，即，解得....................8分 （3）因为， 所以， 所以当时，取最小值.....................13分 16．（16分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，利用余弦定理角化边，最后解方程组即可求解； （2）利用二倍角公式和两角差正弦公式即可求值. 【详解】（1）在△ABC中，由，，可得， 因为，，， 可得， 代入，，可得：， 化简得：， 所以，，即；....................6分 （2）由（1）可知C为钝角，且， 则，， 所以.....................11分 （3）.....................15分 17．(15分）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，根据，，三点共线满足的关系求解即可； （2）①利用平面向量夹角的余弦公式求解即可.②由平行四边形得，利用相等向量满足的关系即可求解． 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即.....................5分 （2）由已知得， ；....................10分 ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即....................15分 18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 (3)内切圆半径最大值为 【分析】（1）变维给定等式，再利用余弦定理求解. （2）利用基本不等式求出的最大值，进而求出三角形面积的最大值. （3）将表示为的函数，再利用正弦定理及三角恒等变换求出的最大值. 【详解】（1）依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故；....................5分 （2）由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：；....................11分 （3）三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：....................17分 19．（17分）如图，在平面四边形中， ， 为线段 上一点，且，. (1)若，求； (2)记，，， （ i ） 证明：； （ii） 求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，再在中，由正弦定理可得解； （2）（i）由三角形内角和为，及诱导公式可知，再在与中分别用余弦定理可得，再在及中用余弦定理可得与，即可得证；（ii）根据两角和与差的余弦公式化简可得解. 【详解】（1）在中，由，且， 可得，， 由余弦定理可得， 即，即， 又，所以， 即， 所以在中， 由正弦定理可知， 即，即；....................4分 （2）（i）在中，易知， 则， 所以， 在中，由余弦定理可知， 又在中， 由余弦定理可知， 则，化简可得， 即， 所以， 在中，由余弦定理可知， 在中，， 则由余弦定理可知， 所以， 即成立；....................10分 （ii）由（i）可得， 即， 又， 则， 整理可得， 即，， 又在中可知， 所以， 则.....................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第六章 平面向量及其应用 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 6．设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别是三个内角的对边，且，，若点为的费马点，则（） （注：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.所求的点称为费马点） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 10．在中，已知，，，若，则（   ） A． B． C．是在上的投影向量 D． 11．在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．当时， C．当时， D．的取值可能是2 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为_____. 13．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 14．已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 16．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 17．（15分）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 19．（17分）如图，在平面四边形中， ， 为线段 上一点，且，. (1)若，求； (2)记，，， （ i ） 证明：； （ii） 求的值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $