9.1.1正弦定理 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学教学设计聚焦正弦定理，通过“测量河对岸两点距离”的现实情境导入，以三角形面积公式为支架，推导边长与角度的关系，梳理解三角形的方法及解的个数判断。 此资料以情境问题激发探究（数学眼光），通过面积公式严谨推导定理（数学思维），例题涵盖多解、无解等情况及定理应用（数学语言），如例2判断两解、例5证直角三角形，助力学生提升推理与应用能力，为教师提供清晰教学路径与典型案例。

9.1.1 正弦定理 【课程基本信息】 年级 高一 课题 正弦定理 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.通过探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. 2.应用正弦定理解三角形，能根据正弦定理确定三角形解的个数. 3.掌握正弦定理的推论及变形公式，能应用其进行边角转化，解决三角形问题. 【教学重点】 探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. 【教学难点】 掌握正弦定理的推论及变形公式. 【教学过程】 情境与问题：在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？ 如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？ 尝试与发现：（1）如图，已知△ABC中，已知a=5，b=3，C=，你能求出这个三角形的面积吗？ （2）在上述△ABC中，若已知边a、c及其夹角B，则三角形的面积如何表示？若已知边b、c及其夹角A，则三角形的面积又如何表示？ 设计意图：通过提出问题，引导学生理解三角形面积的概念. （1）如图，在△ABC中，过点A作BC边上的高AD，在Rt△ADC中，由正弦的定义可知AD=bsin C，因此所求三角形的面积为：= =. （2） 可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时都成立；而当C为钝角时，如图所示，仍设△ABC的BC边上的高为AD，则可知AD=bsin∠ACD=bsin(π-C) =bsin C，因此仍有，当C为直角时，由sin 90°=1，可知上述面积公式仍成立. 三角形面积的概念：一般地，若△ABC记的面积为S，则== .由此可知：. 教师提问：通过三角形的面积，尝试总结正弦定理的概念. 正弦定理的概念：因为sin A>0，sin B>0，sin C>0，因此可得：，这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等. 解三角形的概念：我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 教师提问：根据上面的例题，思考已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，如何求解三角形？ 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法： 1．先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． 2．判断另一边对角的正弦值的大小： （1）如果正弦值>1，则无解． （2）如果正弦值=1，则一解且为直角， （3）如果正弦值<1，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论解的取舍，根据内角和或大边对大角验证. 探究与研究：在正弦定理中，设，研究常数k与△ABC外接圆的半径的关系.（提示：先考虑直角三角形.） 作出如图所示图象，由图可知：∠A=∠A'，因为在△ABC中，，其中R为外接圆的半径，所以，在△A'BC中，，所以在△AB'C中有，又因为在圆O上，不论B′怎么移动，上述结论都成立，所以对于任意△ABC都有. 【课堂例题】 例1：已知△ABC中，B=75°，C=60°，a=10，求c. 解：由已知得A=180°-B-C=180°-75°-60°=45°，由正弦定理可知，所以. 注意：也可以构造直角三角形求解. 教师提问：根据例1，你可以得到什么启示？ 由例1可知，在一个三角形中，如果已知两个角与一条边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边.因此，确定了一个三角形的两个角与一条边之后，这个三角形就唯一确定了.事实上，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致. 例2：已知△ABC中，a=2，b=2，A=30°，求解这个三角形. 解：因为，所以，由于0°<B<180°，所以B=60°或B=120°.当B=60°时，有C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°，此时△ABC为直角三角形，c为斜边，从而有c===4，当B=120°时，有C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°，此时△ABC为等腰三角形，从而由等角对等边可知c=a=2. 例2的启示：图中都满足例2的条件，事实上，这与我们所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一致. 例3：已知△ABC中，b=3，c=6，B=120°，求A，C及三角形面积. 解：由，得sin C=，由于0°<C<180°，所以C=45°或C=135°.当C=45°时，A=180°-B-C=180°-120°-45°=15°，而，所以三角形面积，当C=135°时，A=180°-B-C=180°-120°-135°= -75°，不合题意，舍去. 例3的启示：例3的C=135°不可能成立，从b>c，B=120°及大边对大角看出C=135°不可能成立. 例4：判断满足条件A=30°，a=1，c=4的△ABC是否存在，并说明理由. 解：假设满足条件的三角形存在，则由可知sin C= =2，又因为sin C≤1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形. 例5：△ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C，求证△ABC为直角三角形. 解：设，则k≠0，且，，. 又因为sin2A+sin2B=sin2C，所以，即a2+b2=c2，因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形. 例6：如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：. 解：如图，设∠ADB=α，∠BAD=β，则由题意可∠ADC=π-α，∠CAD=β.在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定理，可得，，两式相除，可得. 【课堂巩固】 1.在中，角的对边分别为，若，，，则( ) A. B. C. D.或 2.在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( ) A.当时， B.当时，有两个解 C.当时，只有一个解 D.对一切，都有解 3.在中，已知，，，则( ) A. B. C.3 D. 【小结作业】 7页的课后习题 【板书设计】 9.1.1 正弦定理 1.三角形面积公式 2.正弦定理及其推论 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $