2026届全国1卷新高考数学自编模拟卷04

2026届全国Ⅰ卷新高考数学自编模拟卷04 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‌‌ 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据并集的运算法则求解即可． 【详解】因为，所以．故选：B． 【考点‌】集合的交、并、补运算与不等式结合。 2. 已知是两个虚数，则“为实数”是“均为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、纯虚数的定义进行判断即可. 【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有， 当时，显然，但是，都不是纯虚数”， 所以“为实数”是“均为纯虚数”的必要不充分条件.故选：B 【考点‌】复数的概念（纯虚数）与充分必要条件。 3. 设点为圆上一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】D 【分析】令且，应用向量数量积的坐标表示得，即可得最小值. 【详解】由，则，如下图示， 令且，则，，， ， ， ， 所以 ， 当时，有最小值为. 故选：D 【考点‌】平面向量的线性运算与数量积。 4. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 【考点‌】导数的几何意义（求切线方程）。 5. 已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】A 【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号，故选：A. 【考点‌】等差与等比数列基本性质混合运算。 6. 直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程，得，解得. 故选：B 【考点‌】圆的方程与对称性。 7. 若函数满足对任意的，都有，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】结合选项，先求出，通过举例判断ACD；对于B，构造函数，进而结合二次函数的性质求解判断即可. 【详解】对于A，由，则，而， 当时，，，此时，故A错误； 对于B，由，则， 而， 设， 当时，令，， 则，函数开口向下，对称轴为， 所以时，，则，即，满足，故B正确； 对于C，由，则，而， 当时，，， 此时，故C错误； 对于D，由，则，而， 当时，，， 此时，故D错误. 故选：B 【考点‌】函数的奇偶性与周期性。 8. 当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由已知得，构造函数，利用导数判断出的单调性，可得在时恒成立，令，利用导数求出的最大值可得答案. 【详解】由得，即， 令，则，所以在上单调递增， 由， 可得，，即在时恒成立， 令，则，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以，所以. 故选：D. 【考点‌】不等式恒成立求参数范围。 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量(单位:kW·h),将数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出如图所示的频率分布直方图,则 (　 ) A.图中a的值为0.015 B.估计样本的第75百分位数为217 C.估计样本的平均数为198.4 D.估计样本平均数小于样本中位数 【详解】对于A,由题意知(0.007+0.012+a+0.01+0.006)×20=1,解得a=0.015,故A正确;对于B,因为用电量在[150,210)内的频率为(0.007+0.012+0.015)×20=0.68,用电量在[150,230)内的频率为0.68+0.01×20=0.88,所以样本的第75百分位数在区间[210,230)内,设样本的第75百分位数为x,则0.68+(x-210)×0.01=0.75,解得x=217,所以估计样本的第75百分位数为217,故B正确;对于C,估计样本的平均数为(160×0.007+180×0.012+200×0.015+220×0.01+240×0.006)×20=198.4,故C正确;对于D,因为用电量在[150,190)内的频率为(0.007+0.012)×20=0.38,用电量在[150,210)内的频率为0.38+0.015×20=0.68,所以样本的中位数在区间[190,210)内,设样本的中位数为y,则0.38+(y-190)×0.015=0.5,解得y=198,所以估计样本的中位数为198,因为198<198.4,所以样本的中位数小于样本的平均数,故D错误.故选ABC. 【考点‌】统计图表分析（频率分布直方图、百分位数）。 10.已知椭圆C:+=1,其两个焦点为F1,F2,P是椭圆C上任意一点,以下结论正确的是 (　 ) A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16 【答案】.BD　 【详解】椭圆C:+=1,则a=4,b=2,c==2.对于A,离心率e==,故A错误;对于B,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12,故B正确;对于C,|PF1|的最小值为a-c=2,故C错误;对于D,|PF1|·|PF2|≤ =a2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,故D正确.故选BD. 【考点‌】椭圆与双曲线的性质对比与离心率。 11. 已知函数的函数值等于的正因数的个数. 例如，. 则下列选项正确的是 A. B. C. D. 设，则 【答案】ACD 【解析】 若，其中，，，是互不相等的质数，则. A项：，，故A正确； B项：，，故B错误； C项：，，所以，故C正确； D项：注意到是正整数，且是奇数，，所以，，故D正确. 故选择：ACD 【考点‌】函数与数列创新定义（如“优导函数”）的理解与应用。 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为__________． 【答案】 【分析】需要计算在3名学生均获奖的情况下，既有物理组合又有历史组合的学生的概率，利用全概率公式和条件概率公式即可求解. 【详解】令事件表示“参加数学竞赛的学生是物理组合”，令事件表示“参加数学竞赛的学生是历史组合”，令事件表示“获奖”，则有， 根据全概率公式有， 令事件表示“3人均获奖”，则， 令事件表示“这3人全是物理”，则， 令事件表示“这3人全是历史”，则， 令事件表示“这3人既有物理又有历史”，则， 根据条件概率公式有. 【考点‌】排列组合中的分组分配问题。 13. 在中，角所对的边分别为，且，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 由正弦定理得.故答案为： 【考点‌】解三角形求边或角。 14. 在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】建系，根据空间间距离公式分析可知点的轨迹为以为圆心，半径的球，根据数量积可得，结合球的性质可得的范围即可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，设， 因为，则， 整理可得， 可知点的轨迹为以为球心，半径的球， 取的中点分别为，的中点为， 则， 可得 ， 又因为，则在球外， 则，即， 可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.利用空间直角坐标系求点点的轨迹； 【考点‌】四面体体积与向量运算结合（动态分析）。 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． （1）求张某猜对两道谜语的概率； （2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由． 【答案】（1） （2）选择先猜，理由见解析 【分析】（1）对先猜对后猜对以及先猜对后猜对进行求解即可； （2）分别求解先猜对与先猜对的分布列，再求解其数学期望即可. 【小问1详解】 记张某先猜对后猜对为事件， 先猜对后猜对事件， 所以张某猜对两道谜语的概率为. 【小问2详解】 若张某先猜获得的奖金为元，则 0 10 30 0.2 0.4 0.4 先猜获得奖金为元，则 0 20 30 0.5 0.1 0.4 因此张某应选择先猜谜语. 【考点‌】条件概率与分布列综合。以生活情境为背景，求概率与期望。 16. 中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且． （1）证明：为等边三角形； （2）如图，若边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将沿着线段EF对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式得出，根据正弦定理边化角得出，再根据同角三角函数的平方关系即可求解，代入得出即可证明； （2）由余弦定理得出，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：由，得， 展开得．① 由可得．② ①－②得， 因为，所以， 解得或（舍去）．又，所以． 把代入，得，则． 所以，故是等边三角形． 【小问2详解】 由及，得，设，则． 在中，由余弦定理可得， 即，解得． 同理，在中，由余弦定理可得．又， 所以． 【考点‌】解三角形中的边角关系与面积最值。利用正余弦定理、三角形面积公式和基本不等式。 17. 已知四面体，，，，，为的三等分点（靠近），为的中点，过点的动平面交射线，，于，，． （1）如图，当时， ①求的长； ②空间中一动点，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点，使得？并说明理由； （2）当时，记四面体内切球的半径为，求的最大值． 【答案】（1）① ；②不存在，理由见解析 （2）. 【分析】（1）①利用空间向量基本定理，所以，所以．②设，，，所以，由共面定理，得，记棱长为1的正四面体的体积为，所以，由均值不等式得到当，，取得最小值，此时是的重心，对空间中任意点，有，同理，， 所以，故不存在空间中一点，使得． （2）因为，，，化简得到，， 因为，所以（设）， 设，当，时，所以. 【小问1详解】 ① 所以 ，所以． ②设，，，则，，， 所以，由共面定理，得， 记棱长为1的正四面体的体积为，所以， 由均值不等式，此时当，即，，取得最小值， 则此时，即，故是的重心， 对空间中任意点，则，， 同理，， 所以 ， 故不存在空间中一点，使得． 【小问2详解】 ，，， 由勾股定理，，，， 由余弦定理，，所以， 所以，所以， 所以，，， 所以（设）， 设，， 当时，； 当时，令，即， 解得，所以，所以（当时取等） 所以的最大值为. 【考点‌】立体几何中棱柱或棱锥的证明与计算。 证明线面平行与垂直，并求二面角的正弦值。 18. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方. 当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【解析】 （1）由题知，，又，解得，故椭圆的方程为. （2）记，，由题意知，. 设直线的方程为，代入椭圆得：， 则有，，① 设与的斜率分别为，， 则， 所以. （3）设满足，则，② 将，代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：，即. 又因为直线和直线的交点为， 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为，，，，N都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线，则， 所以， 即， 所以，解得，所以. 【考点‌】解析几何（椭圆）中的弦长、面积与斜率问题。求椭圆方程，探究三角形面积最大值。 19. 已知 （1）讨论的单调性 （2）对于恒成立；求的取值范围 （3）设，为函数的两个零点；证明． 【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间； （2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围； （3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明. 【小问1详解】 定义域，； 当时，的解为，则在上为单调递增函数； ，的解为，的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 综上可知，当时，在上为单调递增函数； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，， 不满足，故不成立； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 则当时，取最大值为，令，解得， 故对于恒成立的的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0， 的最大值为， 令，解得， 则存在两零点，可得， 设，为函数的两个零点，则，， 解得①，②， ①减去②得到， 解得，要证明，只需证明， 设， ， 则在上是单调递增函数，故， 设，，，， ，， ，，，. 【考点‌】函数导数综合应用。 （1）‌ 求函数切线并研究单调性。 （2）‌ 由函数最小值求参数范围。 【解析版】第 2 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届全国Ⅰ卷新高考数学自编模拟卷04 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‌‌ 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知是两个虚数，则“为实数”是“均为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设点为圆上一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 4. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 5. 已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 6. 直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 7. 若函数满足对任意的，都有，则可以是（ ） A. B. C. D. 8. 当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量(单位:kW·h),将数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出如图所示的频率分布直方图,则 (　 ) A.图中a的值为0.015 B.估计样本的第75百分位数为217 C.估计样本的平均数为198.4 D.估计样本平均数小于样本中位数 10.已知椭圆C:+=1,其两个焦点为F1,F2,P是椭圆C上任意一点,以下结论正确的是 (　 ) A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16 11. 已知函数的函数值等于的正因数的个数. 例如，. 则下列选项正确的是 A. B. C. D. 设，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为__________． 13. 在中，角所对的边分别为，且，则__________． 14. 在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． （1）求张某猜对两道谜语的概率； （2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由． 16. 中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且． （1）证明：为等边三角形； （2）如图，若边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将沿着线段EF对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积． 17. 已知四面体，，，，，为的三等分点（靠近），为的中点，过点的动平面交射线，，于，，． （1）如图，当时， ①求的长； ②空间中一动点，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点，使得？并说明理由； （2）当时，记四面体内切球的半径为，求的最大值． 18. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方. 当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 19. 已知 （1）讨论的单调性 （2）对于恒成立；求的取值范围 （3）设，为函数的两个零点；证明． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $