专题3 二次函数综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数综合题核心考点，严格对接陕西中考说明，分析类型1抛物线型实际问题（8年4考，近4年连续考查）和类型2几何问题（8年4考）的考点权重，归纳实际问题建模、线段面积计算、三角形全等相似及特殊图形存在性等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“中考真题精讲+题型突破+素养培养”模式，如2022陕西25题隧道问题示范抛物线表达式求法，2025模拟题纸飞机问题训练模型意识，几何存在性问题培养推理能力，帮助学生掌握分类讨论等技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

数 学 陕西 重难题型册 1 二、陕西重难题型突破 专题三　二次函数综合题 (2025陕西25题考法) 类型1　抛物线型实际问题(8年4考，且近4年连续考查) 1. (2022陕西25题8分)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所 示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴， 以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求： OE＝10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m. (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； 解：由题意可知抛物线的顶点为P(5，9)， ∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－5)2＋9(a≠0)， 把O(0，0)代入，可得a＝－ ， ∴抛物线的函数表达式为y＝－ (x－5)2＋9. (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点 A，B处分别安装照明灯.已知点A，B到OE的距离均为6 m，求点A，B 的坐标. 解：令y＝6，得－ (x－5)2＋9＝6， 解得x1＝ ＋5，x2＝－ ＋5， ∴A(5－ ，6)，B(5＋ ，6). 2. (2025咸阳旬邑县校级模拟)纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目，纸飞机 的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可 看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段.如图所示，涛涛 玩纸飞机，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标 系，其起抛点A的高度为1.8 m，抛出后，当纸飞机的最大高度达到4.3 m 时，它的水平飞行距离为5 m.当纸飞机飞行的水平距离为9 m时，自动进 入滑行阶段. (1)求此抛物线的函数表达式； 解：设y＝a(x－5)2＋4.3(a≠0). 将A(0，1.8)代入，得a(0－5)2＋4.3＝1.8， 解得a＝－0.1， ∴此抛物线的函数表达式为y＝－0.1(x－5)2＋4.3. (2)涛涛的前方有一堵3 m高的围栏，涛涛最多距离围栏多少米时，纸飞机 可以顺利飞过围栏？ 解：将x＝9代入y＝－0.1(x－5)2＋4.3，得y＝2.7. ∵2.7＜3，∴围栏在抛物型飞行路径中. 令y＝3，则－0.1(x－5)2＋4.3＝3， 解得x＝5＋ 或x＝5－ (不符合题意，舍去)， ∴涛涛最多距离围栏(5＋ )米时，纸飞机可以顺利飞过围栏. 3. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的.如 图所示，线段OA所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以OA所 在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标 系.已知正常水位时，中间大孔水面宽度AB＝24 m，顶点距离水面的高度 CO＝7.2 m，小孔顶点距离水面的高度DE＝5.4 m. 图1 图2 解：由题意，得A(－12，0)，B(12，0)，C(0，7.2). 设中间大孔抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将点A，B，C的坐标分别代入抛物线的表达式， 得 解得 ∴中间大孔抛物线的函数表达式为y＝－0.05x2＋7.2. (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)当雨季来临水位上涨时，小孔刚好被淹没，求此时大孔的水面宽度 MN. 解：将y＝5.4代入y＝－0.05x2＋7.2， 得－0.05x2＋7.2＝5.4，解得x1＝－6，x2＝6. ∵6－(－6)＝12， ∴此时大孔的水面宽度MN为12 m. 图1 图2 4. (2025西安碑林区校级模拟)城市高楼林立，高层建筑一旦发生火灾，由 于其独特的结构特点和功能复杂性，人员疏散和火灾扑救存在较大难度. 为了有效应对高楼火灾，某市消防队在一座废弃的高楼进行消防演练.如 图，他们分别在这座高楼距离地面15 m的点A处和12 m的点B处设置了火 源，利用水枪进行灭火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分.第一次 灭火时，消防员在该楼正前方水平地面的点O处(OC＝6 m)，水流从点O 射出恰好到达点B处，且当与点O的水平距离为4 m时，水流达到最高， 为16 m.以点O为原点，水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为 y轴建立平面直角坐标系. 解：设消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式 为y＝a(x－4)2＋16. 将(0，0)代入，得16a＋16＝0， 解得a＝－1， ∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－4)2＋16. (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； (2)点B处火熄灭后，消防员前进1 m到点D(水流从D点射出)处进行第二次 灭火.若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否能 到达点A处，并说明理由. 解：水流能到达点A处.理由如下： ∵消防员前进1 m到点D处进行第二次灭火， ∴第二次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为 y＝－(x－4－1)2＋16＝－(x－5)2＋16. 当x＝6时，y＝－(6－5)2＋16＝15， ∴水流能到达点A处. 5. [生活情境]近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿 地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为 户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲 旅行使用.如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度AB＝4 m，顶部高度h＝ 2 m，以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点O，过原点O且垂直于x轴 的直线为y轴建立平面直角坐标系. (1)求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； 解：由题意，得A(－2，0)，B(2，0)， 顶点坐标为(0，2).设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋2， 将A(－2，0)代入，得4a＋2＝0，解得a＝－ ， ∴帐篷支架对应的抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋2. 图1 图2 (2)每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为 一把椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高度CE＝0.72 m，宽度CD＝ 0.5 m.若在帐篷内沿AB所在的水平方向摆放一排这种椅子(椅子间的间隔 忽略不计)，求最多可摆放的椅子数量. 图1 图2 解：将y＝0.72代入y＝－ x2＋2， 得0.72＝－ x2＋2，解得x1＝1.6，x2＝－1.6. ∵1.6－(－1.6)＝3.2，3.2÷0.5＝6.4， ∴最多可摆放6把椅子. 6. (2025西安新城区校级模拟)新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致 力于实现“1秒钟充电1公里”.如图1是一个新能源超级充电站.如图2是该 超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，充电站棚顶可近似地看 作抛物线的一部分，将两个端点分别记作A，B. 以点O为原点，表示地 面的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA＝ 2 m，点B为棚顶所在抛物线的最高点，其坐标为(4，3). 图1 图2 解：∵顶点B(4，3)，∴设棚顶所在抛物线的函数表达式为y＝a(x－ 4)2＋3(a≠0). 把A(0，2)代入，得16a＋3＝2，解得a＝－ ， ∴棚顶所在抛物线的函数表达式为y＝－ (x－4)2＋3. (1)求棚顶所在抛物线的函数表达式； (2)点C是棚顶上干粉灭火器的安装点，且到地面的距离为 m，当从点C 喷射干粉时，对空间的保护截面可近似地看作以C为顶点的抛物线.当此 抛物线刚好经过原点O时，能不能覆盖着火点(1，2)？请说明理由. 图1 图2 解：能覆盖着火点(1，2).理由如下： 把y＝ 代入y＝－ (x－4)2＋3，得－ (x－4)2＋3＝ ， 解得x1＝2，x2＝6， ∴C(2， )， ∴可设以C为顶点的抛物线的函数表达式为y＝b(x－2)2＋ (b≠0). 把(0，0)代入，得4b＋ ＝0，解得b＝－ ， ∴y＝－ (x－2)2＋ . 当x＝1时，y＝－ ＋ ＝ ＞2， ∴能覆盖着火点(1，2). 7. (2023陕西25题8分)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱 门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2，还要兼顾美观、大 方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两 个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m.其中，点N在 x轴上，PE⊥ON，OE＝EN. 方案二，抛物线型拱门的跨度ON'＝8 m，拱高P'E'＝6 m.其中，点N'在x 轴上，P'E⊥ON'，OE'＝E'N'. 方案一 方案二 要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不 计).方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A，D在抛物线上，边 BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，D'在抛 物线上，边B'C'在ON'上.现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3 m 时，S2＝12 m2.请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： 方案一 方案二 (1)求方案一中抛物线的函数表达式； 解：由题意知方案一中抛物线的顶点为P(6，4). 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－6)2＋4(a≠0)， 把O(0，0)代入，得a(0－6)2＋4＝0， 解得a＝－ ， ∴方案一中抛物线的函数表达式为y＝－ (x－6)2＋4； 方案一 (2)在方案一中，当AB＝3 m时，求矩形框架ABCD的面积S1，并比较S1， S2的大小. 方案二 解：在y＝－ (x－6)2＋4中，令y＝3， 得－ (x－6)2＋4＝3， 解得x1＝3或x2＝9， ∴BC＝9－3＝6(m)，∴S1＝AB·BC＝3×6＝18(m2). ∵18＞12 ，∴S1＞S2. 8. [跨学科·物理](2025陕师大附中模拟)太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质 把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具.目前应用最广泛的聚光 式太阳灶是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可 以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是若有一 束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特 殊点(即抛物线的焦点)的位置，于是形成聚光，达到加热的目的.用一过抛 物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中， 对称轴与y轴重合，顶点与原点重合.如图2，3，已知抛物线的函数表达式 为y＝ax2，则抛物线的焦点为(0， ).太阳灶采光面为AB，AB∥x轴， 交y轴于点D. 图1 图2 图3 (1)如图2，若太阳灶采光面的直径AB为 米，凹面深度CD为 米，求抛物 线的函数表达式； 解：∵AB∥x轴，交y轴于点D，AB＝ 米，CD＝ 米， ∴A(－ ， ). 将A(－ ， )代入y＝ax2，得(－ )2·a＝ ，解得a＝ ， ∴抛物线的函数表达式为y＝ x2. 图2 (2)如图3，已知太阳灶抛物线的焦点E的坐标为(0，1)，α表示太阳灶 边缘(最远程)反射光同对称轴的夹角，当α为45°时，求此采光面的直 径AB的值. 图3 解：∵抛物线的焦点E的坐标为(0，1)，∴ ＝1，∴a＝ ， ∴抛物线的函数表达式为y＝ x2. ∵α＝45°，∴△EDB为等腰直角三角形. 设DB＝ED＝b，则DC＝EC－ED＝1－b，∴B(b，1－b). 把B(b，1－b)代入y＝ x2， 得 b2＝1－b，解得b＝2 －2(负值已舍去)， ∴A(2－2 ，3－2 )，B(2 －2，3－2 )， ∴采光面的直径AB为(4 －4)米. 类型2　二次函数背景下的几何问题(8年4考) 考向1　线段、面积问题(8年1考) 【技巧点拨】(1)线段问题 求线 段长 已知A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)若AB∥x轴，则AB＝｜x1－x2｜； (2)若AB∥y轴，则AB＝｜y1－y2｜；(3)若AB与坐标轴不平行，则AB＝ 线段 最值 (1)利用二次函数性质求最值； (2)利用对称性求线段和最值，即将军饮马问题(相关内容见本册P2) (2)坐标系中的三角形面积求法 当有一边或两边在坐标轴上时 相关内容见课堂精讲册P35【技巧点拨】 当三边均不 在坐标轴上 时 S△ABC＝S△ABD＋ S△ACD＝ m·AD S△ABC＝S矩形DBFE－S△ABD－S△AEC－S△BFC 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋c与直线AB交于点 A(0，－4)，B(4，0). (1)求该抛物线的函数表达式； 解：将A（0，﹣4），B（4，0）分别代入y=x2+bx+c， 得解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝ x2－x－4. (2)P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB于点M，过点 P作y轴的平行线交x轴于点N，求 PM＋PN的最大值及此时点P的坐标. 10. (2025西安灞桥区校级模拟)已知抛物线L：y＝ax2－ x－2与x轴相交 于A，B两点(点B在点A的左侧)，点A的坐标是(4，0)，与y轴相交于点 C，将抛物线L绕点(2，0)旋转180°得到抛物线L1. (1)求抛物线L1的函数表达式； 解：把(4，0)代入抛物线L：y＝ax2－ x－2，得16a－ ×4－2＝0， 解得a＝ ，∴抛物线L的函数表达式为y＝ x2－ x－2＝ (x－1)2－ ， ∴抛物线L的顶点坐标为(1，－ )，∴顶点关于(2，0)的对称点为(3， )，∴抛物线L1的函数表达式为y＝－ (x－3)2＋ . (2)将抛物线L1向左或向右平移，得到抛物线L2，L2与x轴相交于A'，B'两 点(点B'在点A'的左侧)，与y轴相交于点C'，要使 S△A'B'C'＝2S△ABC，求所 有满足条件的抛物线L2的函数表达式. 抛物线L2的函数表达式为y＝－ (x－3－2)2＋ ＝－ (x－5)2＋ 或y＝－ (x－3＋8)2＋ ＝－ (x＋5)2＋ . 考向2　三角形全等、相似的存在性问题(8年3考) 11. (2025咸阳校级模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a，b为常数， a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC， D为第三象限抛物线上的动点，DE∥y轴交线段AC于点E. (1)求该抛物线的函数表达式； 解：由题意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3， 则a＝1，b＝2， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－3. (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出 点E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.理由如下：由抛物线的表达式可得点C(0，－3)， 则△ACO为等腰直角三角形，直线AC的表达式为y＝－x－3. 当以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似时，△CDE为等腰直角三角形. 当∠EDC为直角时，C，D两点关于抛物线的对称轴直线x＝－1对称， 则点D(－2，－3). 此时yE＝－(－2)－3＝－1，即点E(－2，－1)， 则DE＝2＝DC，符合题意； 当∠ECD为直角时，点D为抛物线的顶点(－1，－4). 此时yE＝－(－1)－3＝－2，即点E(－1，－2)， 则CD＝ ＝CE，符合题意. 综上所述，点E的坐标为(－2，－1)或(－1，－2). 12. (2025西安雁塔区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ － x2＋x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为 P，对称轴与x轴交于点H. (1)求点A，P的坐标； 解：令y＝0，则－ x2＋x＋4＝0， 解得x1＝－2，x2＝4， ∴A(－2，0)，B(4，0). ∵y＝－ x2＋x＋4＝－ (x－1)2＋ ， ∴顶点P(1， ). (2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴 于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D，E，F为顶点的三角形与 △APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说 明理由. 解：存在.理由如下：由(1)知，点P(1， )， ∵点H是二次函数的对称轴与x轴的交点， ∴点H(1，0). ∵A(－2，0)，∴｜AH｜＝3，｜PH｜＝ . 设D(a，－ a2＋a＋4)，则E(a，0)，且a＞0， ∴｜ED｜＝ a2－a－4. ∵当△AHP≌△DEF时，AH＝DE， ∴3＝｜ a2－a－4｜，解得a1＝1＋ ，a2＝1－ (舍)， ∴当a＝1＋ 时，－ (1＋ )2＋1＋ ＋4＝－3， ∴D(1＋ ，－3)； ∵当△AHP≌△FED时，PH＝ED， ∴ ＝｜ a2－a－4｜， 解得a1＝3 ＋1，a2＝1－3 (舍)， ∴当a＝3 ＋1时，－ (3 ＋1)2＋3 ＋1＋4＝－ ， ∴D(3 ＋1，－ ). 综上所述，当点D的坐标为(1＋ ，－3)或(3 ＋1，－ )时，存在 以点D，E，F为顶点的三角形与△APH全等. 考向3　特殊三角形、四边形的存在性问题 13. (2025咸阳渭城区模拟)如图，抛物线y＝ax2－2x＋c(a，c为常数， a≠0)与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数表达式； 解：将A(－3，0)，B(1，0)分别代入y＝ax2－2x＋c， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)点P是抛物线上的一个动点，连接AP，CP. 若△ACP是以AC为底边 的等腰三角形，求点P的坐标. 解：由(1)知，点C(0，3)， ∴AO＝CO，△AOC是等腰直角三角形. ∵△ACP是以AC为底边的等腰三角形，∴AP＝CP. 如解图，连接OP， 则点P，O在线段AC的垂直平分线上， ∴∠AOP＝∠COP＝45°，即OP平分∠AOC. 过点P作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，则PD＝PE. 设P(m，－m2－2m＋3)，则PD＝－m2－2m＋3，PE＝－m， ∴－m2－2m＋3＝－m，解得m＝ ， ∴点P的坐标为(， )或(， ). 14. (2025陕师大附中模拟)在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝ x2平 移后得到新抛物线C2，抛物线C2经过点A(0，－ )和点B(5，0). (1)求抛物线C2的函数表达式，并写出平移方式； 解：由题意得，抛物线C2的函数表达式为y＝ x2＋bx－ .将B(5，0) 代入，得 ×25＋5b－ ＝0，解得b＝－ ， ∴C2的函数表达式为y＝ x2－ x－ ＝ (x－2)2－3， ∴C1向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到C2. (2)已知点C为抛物线C2的顶点，点P是y轴上一点，在C2上是否存在一点 Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形.若 存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 解：存在.理由如下：由(1)知C(2，－3). 设P(0，y)，Q(m， m2－ m－ )， 当BP为对角线时，由中点坐标公式， 得解得 即点P(0，－ )； 当BQ为对角线时，由中点坐标公式， 得 解得 即点P(0， ). 综上所述，点P的坐标为(0，－ )或(0， ). 42 $