小专题培优5 对角互补模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“对角互补模型”这一几何重难考点，紧密对接中考对几何综合题的考查要求，通过梳理模型特点、归纳作垂线和作等角两种解题策略，结合常见模型结论，系统覆盖证明对角互补、线段数量关系及比例计算等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“模型解析+多解示范+分层练习”的实战模式，如例2通过作垂线构造相似和四点共圆两种方法求解比例，培养学生几何直观和推理能力。巩固练习结合等边三角形、矩形等背景，示范“构造全等转化线段”“利用特殊角求长度”等突破技巧，帮助学生掌握解题规律，教师可依此开展专题培优，提升复习效率。

数 学 陕西 重难题型册 1 一、小专题培优 小专题培优5　对角互补模型 典例精讲 模型特点 在四边形中，存在一对对角互补 解题策略 方法1：作垂线 过点C 分别作OA，OB的垂线，垂足分别为G，H 方法2：作等角 在BE上找一点F，连接CF，使 ∠ECF＝∠DCO　 常见模型 结论 (1)△CGD∽△CHE； (2)当CD＝CE时， △CGD≌△CHE (1)△CDO∽△CEF； (2)当CD＝CE时，△CDO≌△CEF 例1　如图，OP平分∠BOA，PE⊥OA于点E，若BP＝AP. (1) 求证：∠1＋∠2＝180°； 证明：如解图，过点P作PF⊥OB于点F. ∵OP平分∠BOA，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠PFB＝90°，PE＝PF. 在Rt△APE和Rt△BPF中， ∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，∴∠1＝∠PBO. ∵∠PBO＋∠2＝180°，∴∠1＋∠2＝180°. (2) 求OA＋OB与OE之间的数量关系. 解：∵OP平分∠BOA，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°，PE＝PF. ∵OP＝OP，∴Rt△EOP≌Rt△FOP(HL)， ∴OE＝OF，∴OA＋OB＝OE－AE＋OF＋BF. 由(1)得Rt△APE≌Rt△BPF， ∴AE＝BF， ∴OA＋OB＝OE＋OF＝2OE. 例2　多解法如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC 上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，EF交DC于点F，则 ＝ 　 　. 　 【解析】解法一：如解图1，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于 点N. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴四边形EMCN是矩形，∴EM＝CN. ∵EF⊥BE，∴∠EBM＋∠EFC＝360°－∠BCD－ ∠BEF＝180°.又∵∠EFC＋∠EFN＝180°，∴∠EFN＝∠EBM. 又∵∠ENF＝∠EMB，∴△ENF∽△EMB，∴ ＝ ＝ .∵EN⊥CD， AD⊥CD，∴EN∥AD，∴△CNE∽△CDA，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ . 解图1 解法二：如解图2，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC. ∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF＝∠ACD， ∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴ ＝ ＝ . 解图2 巩固练习 1. 如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且∠EDF＝120°.若∠BDE＝45°，DF＝6，则BE的长 为 ⁠. 2 　 【解析】如解图，连接AD，过点D分别作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H. ∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵∠EDF＝120°，∴∠EAF＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°.∵∠AED＋ ∠DEG＝180°，∴∠DEG＝∠DFH. ∵D为BC边的中点，∴AD平分∠BAC，∴DG＝DH. 在△DEG和△DFH中， ∴△DEG≌△DFH(AAS)，∴DE＝DF＝6.过点E作EP⊥BC于点P，∵∠BDE＝45°，∴EP＝ DE＝3 .∵∠B＝60°，∴BE＝ ＝2 . 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.在Rt△MPN 中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F. 当PE＝2PF时，AP的长为 ⁠. 3　 【解析】如解图，作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝5.∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴PR＝BQ，PQ∥BC，∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴ ＝ ＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ. ∵PQ∥BC，∴AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴AB＝BQ＋AQ＝2x＋3x＝5x，∴AP＝AB＝3. 3. 四边形ABCD若满足两组对角互补，即∠A＋∠C＝180°，∠B＋ ∠D＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”. (1)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD＝∠BCD＝90°， AB＝AD. 求证：CA平分∠BCD. 小东同学是这么做的：延长CD至点M，使DM＝BC， 连接AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等 腰直角三角形，由此证出CA平分∠BCD. ①还可以知道CB，CD，CA的数量关系为 ⁠； ②请描述△ABC如何旋转得到△ADM： ⁠ ⁠. CD＋CB＝ CA　 将△ABC绕点A逆时针旋转 90°得到△ADM　 图1 (2)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD＝60°， AB＝AD，请你仿照小东的做法，求证：①CA平分∠BCD； 图2 证明：如解图，延长CD至点M，使DM＝BC，连接AM. ∵四边形ABCD为对角互补四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°. ∵∠ADC＋∠ADM＝180°，∴∠B＝∠ADM. ∵AB＝AD，∴△ABC≌△ADM(SAS)， ∴AC＝AM，∠BAC＝∠DAM，∠ACB＝∠M. ∵∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝60°， ∴∠CAM＝∠CAD＋∠DAM＝60°. 又∵AC＝AM，∴△ACM是等边三角形，∴∠ACM＝∠M. ∵∠ACB＝∠M，∴∠ACB＝∠ACM，即CA平分∠BCD. ②CA＝CB＋CD. 图2 证明：由(1)知△ACM是等边三角形，∴CA＝CM. ∵BC＝DM，∴CM＝CD＋DM＝CD＋CB，∴CA＝CB＋CD. 16 $