小专题培优1 与中点有关的辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“与中点有关的辅助线作法”核心考点，对接中考说明，分析“构造中位线（8年4考）”“构造中线（8年3考）”等考点权重，归纳中位线构造、中线应用、倍长中线等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“方法解读+典例精讲+真题训练”模式，如通过2025陕师大附中模拟题示范倍长中线构造全等，培养学生几何直观与推理能力。含易错点分析（如四边形中点连线取值范围），帮助学生掌握辅助线技巧，教师可依此制定专题突破计划，提升复习效率。

数 学 陕西 重难题型册 1 一、小专题培优 小专题培优1　与中点有关的辅助线作法 典例精讲 方法解读 情形1：有两个中点时(D，E分别是AB，AC的中点) (1)连接两中点构造中位线. (2)连接两条线段的端点，构造含中位线的三角形. 结论：DE∥BC且DE＝ BC，△ADE∽△ABC. 类型1　构造中位线(8年4考) 情形2：只有一个中点时(D为AB的中点) (1)在三角形内作平行线. 结论：DE＝ BC，△ADE∽△ABC. 　 (2)在三角形外作平行线. 作法：过点A作AC∥DE，交BE的延长线于点C，或延长BE到C，使BE＝CE，连接AC. 结论：①DE∥AC；②DE＝ AC；③△DBE∽△ABC；④S△DBE＝ S△ABC. 类型1　构造中位线(8年4考) 例1　如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中 点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接DE. 在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝1，且DE∥AC，∴BD＝BE＝EC＝1.∵EF⊥AC，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴EF＝CE· cos 30°＝ .∵G为EF的中点，∴EG＝ ，∴DG＝ ＝ .　 　　　 例2　如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动 点，连接AF，EF，M，N分别是EF，AF的中点，连接MN，则MN的 最大值为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接AE. ∵M，N分别是EF，AF的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN＝ AE. ∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∠B＝90°，∴AE＝ ＝ ，∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大.∵点E是BC上的动点，∴当点E和点C重合时，BE最大，即BE＝BC＝2，∴AE＝2 ，∴MN＝ AE＝ ，∴MN的最大值为 . 例3　(2025陕师大附中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是AC 的中点，连接BD，E是BD的中点，连接CE. 若AB＝3CD，CE＝4，则 AB的长为 ⁠. 4 　 例4　多解法如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D为AC边的中点，点E 在BC边上，连接DE. 若AB＝4，∠DEC＝60°，则DE的长为 ⁠. 解法一：过点D作DH∥AB，得DH＝2，解Rt△DEH求解. 解法二：过点A作AH∥DE交CB的延长线于点H，解Rt△ABH求解. 　 【解析】如解图，过点D作DH∥AB交BC于点H，则∠DHC＝∠B＝90°，DH＝ AB＝2.∵∠DEC＝60°，∴ ＝ sin 60°，∴DE＝ ＝ . 　　 方法解读 情形1：当遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线.(D为斜边 AB的中点) 结论：CD＝AD＝BD＝ AB. 类型2　构造中线(8年3考) 结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC. 情形2：当遇等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题.(AB＝AC，D是BC的中点) 类型2　构造中线(8年3考) 例5　如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC边的中点， MN⊥AC于点N，则MN的长度为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接AM，∵AB＝AC，点M为BC边的中点，∴AM⊥CM，BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AM＝ ＝4.∵S△AMC＝ MN·AC＝ AM·CM，∴MN＝ ＝ . 变式如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，点D是BC的中 点，延长BA至点E，使得AE＝BD，连接DE，则∠BED的度数 为 ⁠. 20°　 例6　如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC＝∠BEC＝90°，O为BC的中点，BD，CE相交于点A，∠BAC＝120° .求证：DE＝OE. 证明：如解图，连接OD. ∵∠BDC＝∠BEC＝90°，O为BC的中点， ∴OD＝OE＝OB＝OC， ∴∠CBA＝∠BDO，∠BCA＝∠CEO. ∵∠BAC＝120°，∴∠CBA＋∠BCA＝180°－120°＝60°， ∵∠BOE＝∠BCA＋∠CEO＝2∠BCA，∠COD＝∠CBA＋∠BDO＝ 2∠CBA， ∴∠BOE＋∠COD＝120°，∴∠DOE＝60°， ∴△DOE是等边三角形，∴DE＝OE. 变式如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，E，F分别为AC， BD的中点，连接EF. 若AC＝8，则EF的长为 ⁠. 4　 方法解读 情形1：当遇三角形中存在中线时，考虑倍长中线构造全等三角形.(AD是 BC边上的中线) 辅助线作法1：延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE； 辅助线作法2：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. 结论：△BDE≌△CDA. 类型3　构造倍长中线(或类中线) 情形2：当遇三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段或作平行线与这条线段的延长线交于一点构造全等三角形.(D是边BC的中点，E是边AB上一点) 辅助线作法1：延长ED到点F，使DF＝ED，连接CF； 辅助线作法2：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. 结论：△BDE≌△CDF. 类型3　构造倍长中线(或类中线) 例7　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF. 若BE＝2，CF＝ ，则EF的长为 ⁠. 　 例8　多解法如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延 长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC. 解法一：延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH，用倍长中线构造全等. 解法二：延长FD至点G，使DG＝DF，连接CG，用倍长类中线构造全 等. 证明：解法一：如解图，延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH， ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 又∵∠ADC＝∠HDB，AD＝HD，∴△ADC≌ △HDB(SAS)，∴AC＝HB，∠CAD＝∠H. ∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE. ∵∠AFE＝ ∠BFH，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴BF＝AC. 解法二：如解图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接CG， ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在△BDF和△CDG中， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G. ∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD， ∴∠G＝∠CAG，∴AC＝CG，∴BF＝AC. 变式如图，在△ABC中，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中 线.求证：∠C＝∠BAE. 　　　 证明：如解图，延长AE到点F，使EF＝AE，连接DF. ∵AE是△ABD的中线，∴BE＝ED， 在△ABE和△FDE中， ∴△ABE≌△FDE(SAS)，∴AB＝DF，∠BAE＝∠DFE. ∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC＋∠ACD＝∠ADB＝∠BAD. ∵∠BAE＋∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD， ∴∠EFD＋∠EAD＝∠DAC＋∠ACD，∴∠ADF＝∠ADC. ∵AB＝DC，∴DF＝DC. 在△ADF和△ADC中， ∴△ADF≌△ADC(SAS)，∴∠C＝∠AFD，∴∠C＝∠BAE. 巩固练习 1. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，EF⊥AB. 若BC＝13，AB＝5，则EF的长为(　A　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 A 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，延长BC至点F，使CF＝ BF，连接DE，DF. 若AB＝12，则DF的长 为 ⁠. 6　 3. 如图，在△ABC中，D为AC的中点，过点D作DE⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点E. 若F为DE的中点，BF＝5，则AF的长为 ⁠. 15　 变式(2025龙东地区)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在 边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M，N分别是AC，DE 的中点，连接MN，则MN的长为(　A　) A. B. C. 2 D. A 4. 如图，AB是☉O的弦，C是 的中点，连接OC交AB于点D，连接 AO并延长交☉O于点E，连接DE. 若AB＝12，CD＝3，则DE的长 为 ⁠. 3 　 5. 如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交 BC 于点 F，连接AF. 若∠AFB＝28°，则∠DAE的度数为 ⁠. 14°　 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH. 若∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，则GH的最小值为 　 　，最大值为 　 　. 　 　 【解析】如解图，连接AF. ∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH＝ AF. 当AF⊥BC时，AF最短，即此时GH最短，如解图1.∵∠B＝60°，AB＝6，∴BF＝ AB＝3，∴AF＝ ＝3 ，∴GH＝ ，即GH的最小值为 . 当点F与点C重合时，AF最长，即此时GH最长，如解图2.过点A作AP⊥BC，∴AP＝3 ，BP＝3， ∴CP＝BC－BP＝5，∴AC＝ ＝2 ， ∴GH＝ ＝ ， 即GH的最大值为 . 7. 易错如图，在四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点. 若AD＝2，BC＝4，则EF的取值范围是 ⁠. 1≤EF＜3　 【解析】如解图，设AB的中点为G，连接EG，FG.∵F是BD的中点，∴GF＝ AD＝1.∵E是AC的中点，∴EG＝ BC＝2.在△EFG中，根据三角形的三边关系，得EG－GF＜EF＜EG＋GF，当E，F，G三点共线时，EF＝EG－GF＝1，即1≤EF＜3. 36 $