第14节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件系统覆盖二次函数核心考点，严格对接中考说明，分析8年2考等考点权重，梳理三种解析式、图象性质、系数关系及与方程不等式关系等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“母题变式+真题训练”模式，如2024陕西真题解析对称轴判定，最值问题通过定轴定范围、定轴动范围分类讨论，培养数学思维与模型意识。技巧点拨中“距离比较法”等实用方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

数 学 陕西 课堂精讲册 1 第三章　函数 第十四节　二次函数的图象与性质 一阶　教材知识全梳理 二阶　母题变式练考点 概念 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数项，且a≠0)的函数 开口方向 a＞0，开口向① ⁠ a＜0 ，开口向② ⁠ 大致图象 (抛物线) 上　 下　 返回目录 解析式 (三种形式) 一般式：y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0) 顶点式：y＝a(x －h)2＋k (a≠0) 交点式：y＝a(x －x1)(x－x2) (a≠0) 对称轴 直线③ ⁠ 直线④ ⁠ 直线⑤ ⁠ 顶点坐标 ⑥ ⁠ ⑦ ⁠ 将x＝⑧ ⁠代入解析式，求y值 x＝－ x＝h x＝ (－ ， ) (h，k)　 　 返回目录 最值 在对称轴处，y取得最⑨ ⁠值 在对称轴处，y取得最 ⑩ ⁠值 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而 ⑪ ⁠； 在对称轴右侧，y随x的增大而 ⑫ ⁠ 在对称轴⑬ ，y随 x的增大而增大； 在对称轴⑭ ，y随 x的增大而减小 小　 大　 减小　 增大　 左侧　 右侧　 返回目录 开口方向(由a决定) 开口向上⇔a⑮ 0；开口向下⇔a⑯ 0 ； ｜a｜越大，开口越小；｜a｜相同，开口大小相同； y＝ax2和y＝－ax2(a≠0)的图象关于x轴对称 对称轴(由a，b决定) 对称轴在y轴左侧⇔－ ＜0(即a，b同号)； 对称轴是y轴⇔－ ＝0(即b⑰ 0)； 对称轴在y轴右侧⇔ ⑱ (即a，b ⑲ ⁠) 口诀：左同右异 ＞　 ＜　 ＝　 － ＞0　 异号　 返回目录 与y 轴的交点(由c 决定) 与y轴正半轴相交⇔c＞0；过原点⇔⑳ ⁠； 与y轴负半轴相交⇔㉑ ⁠ 与x轴的交点个数(由b2－4ac 决定) 与x轴有两个交点⇔b2－4ac＞0；与x轴有一个交点⇔b2－4ac＝0；与x轴无交点⇔ ㉒ ⁠ 其他特殊关系(先把含a，b，c的项移到等式或不 等式的一边) 看到2a＋b，比较－ 和1的大小 看到2a－b，比较－ 和 ㉓ ⁠的大小 看到a＋b＋c，找当x＝1时，y的值 看到a－b＋c，找当x＝ ㉔ 时，y的值 看到4a＋2b＋c，找当x＝2时，y的值 看到4a－2b＋c，找当x＝ ㉕ 时，y的值 c＝0　 c＜0　 b2－4ac＜0　 －1　 －1　 －2　 返回目录 1. 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的 横坐标 Δ＝b2－4ac 方程ax2＋bx＋c＝0的根 抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴的交点 Δ＞0 两个㉖ ⁠实数根 ㉗ ⁠交点 Δ＝0 两个㉘ ⁠实数根 一个交点 Δ＜0 没有没有实数根 没有交点 不相等的　 两个　 相等的　 返回目录 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c与不等式的关系 不等式 解集 图示 ax2＋bx＋c＞kx＋m 函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于函数y＝kx＋m的图象㉙ ⁠对应的点的横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜kx＋m 函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于函数y＝kx＋m的图象㉚ ⁠对应的点的横坐标的取值范围 上方　 下方　 返回目录 考点1 二次函数的图象与性质(必考) 1. (2024陕西8题3分)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数 y的几组对应值如下表： x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　D　) A. 图象的开口向上 B. 当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线x＝1 D 返回目录 2. (人教九上P41T7改编)已知抛物线y＝－x2＋2x＋3. (1)该抛物线开口向 ，对称轴是直线 ，与x轴有 个交点，交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ，有最 (填“大”或“小”)值，最 值为 ，顶点坐标为 ⁠； (2)将抛物线的解析式化为顶点式是 ，化为交点式 是 ⁠； (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； 下　 x＝1　 2　 (－1，0)和(3，0)　 (0，3)　 大　 大　 4　 (1，4)　 y＝－(x－1)2＋4　 y＝－(x＋1)(x－3)　 返回目录 (4)现要在抛物线上找点P(a，b)，若b＝5，则点P的个数为 ；若b＝4，则点P的个数为 ；若b＝3，则点P的个数为 ⁠； (5)当x≤0时，y随x的增大而 ，最大值为 ⁠； (6)若抛物线经过点(－2，a)和(－1，b)，则a b；若抛物线经过点 (－3，m)和(4，n)，则m n.(填“＞”“＜”或“＝”) 变式1——坐标含参数已知点A(n2，y1)，B(n2＋1，y2)在抛物线y＝－(x＋2)2＋1上，则y1 y2.(填“＞”“＜”或“＝”) 变式2——解析式含参数若点A(－1，yA)，B(2，yB)，C(6，yC)都在抛物线y＝mx2－6mx＋4(m＞0)上，则yA，yB，yC的大小关系为 ⁠. (用“＜”连接) 0　 1　 2　 增大　 3　 ＜　 ＜　 ＞　 yB＜yC＜yA 返回目录 技巧点拨 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法： (1)代入比较法： (2)增减性比较法： (3)距离比较法： 返回目录 考点2 二次函数图象与系数的关系(8年2考) 3. (2025陕西8题3分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－ 3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下 列关于该函数的结论正确的是(　D　) A. 图象的开口向下 B. 当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C. 函数的最小值小于－3 D. 当x＝2时，y＜0 D 返回目录 4. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴负半轴交于点(－ ，0)，对 称轴为直线x＝1，则以下结论中正确的是 .(填序号) ①abc＜0；②a－b＋c＞0；③4a＋2b＋c＜0；④2a－b＞0；⑤c＜0；⑥b2＜4ac；⑦3a＋c＝0；⑧一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0有实数根；⑨若(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)都是抛物线上的点，则y1＜y2＜y3； ⑩am2＋bm≥a＋b(m为任意实数). ②③④⑤⑧⑩　 返回目录 考点3 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 5. (人教九上P47T5改编)观察下列函数图象，解答问题. 图1 图2 图3 (1)如图1，方程x2－2x－3＝0的解为 ⁠； (2)如图2，方程x2－2x＝3的解为 ⁠； (3)如图3，方程x2＝2x＋3的解为 ⁠； (4)如图3，不等式x2＜2x＋3的解集为 ⁠. x1＝－1，x2＝3　 x1＝－1，x2＝3　 x1＝－1，x2＝3　 －1＜x＜3　 返回目录 与二次函数有关的最值问题 6. 已知二次函数y＝x2－4x＋3. 【铺垫设问】 (1)该二次函数图象的开口向 ，对称轴为直线 ，顶点坐标 为 ⁠. 【解决问题1——定轴定范围】 (2)①当－1≤x≤1时，函数y的最大值为 ，最小值为 ⁠； ②当4≤x≤8时，函数y的最大值为 ，最小值为 ⁠； ③当0≤x≤3时，函数y的最大值为 ，最小值为 ⁠； ④当1≤x≤7时，函数y的最大值为 ，最小值为 ⁠. 上　 x＝2　 (2，－1)　 8　 0　 35　 3　 3　 －1　 24　 －1　 返回目录 【解决问题2——定轴动范围】 (3)若当a≤x≤a＋2时，函数y的最小值为0，则a的值为 ⁠. 【拓展探究——动轴定范围】 (4)已知关于x的二次函数y＝－4x2－4ax－a2＋2a.若当－ ≤x≤ 时， 函数y有最大值－2，则a的值为 ⁠. －1或3　 －1或2＋ 　 返回目录 方法总结 解决二次函数的最值问题时，通常会用到分类讨论思想. (1)若自变量的取值范围未限定，则在对称轴处取得最值，此时需要由二次 项系数a的符号来确定是最大值还是最小值.若a的符号未知，则需要分类 讨论：①a＞0；②a＜0. (2)若自变量的取值范围被限定，且自变量的取值范围或二次函数解析式中 含有参数，通常需要分类讨论： ①对称轴在自变量的取值范围的右侧； ②对称轴在自变量的取值范围内； ③对称轴在自变量的取值范围的左侧. 返回目录 对称轴与取值范围的关系 对称轴在x1≤ x≤x2右侧 对称轴在x1≤x≤x2内 对称轴在x1≤ x≤x2左侧 离x1近 离x2近 图示 结论 当x＝x1时，y最大； 当x＝x2时，y最小 当x＝x2时，y最大； 当x＝－ 时，y最小 当x＝x1时，y最大； 当x＝－ 时，y最小 当x＝x2时，y最大； 当x＝x1时，y最小 以a＞0，自变量的取值范围为x1≤x≤x2为例： 返回目录 22 $