第15章 一元一次不等式（知识清单，6知识12易错辨析6重难）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第15章 一元一次不等式 1. 不等式及其性质 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接两个代数式的式子（注意：≠连接的不等式无解集，只表示不等关系）。 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值（一个或多个具体数值）。 不等式的解集：一个不等式的所有解组成的集合；解不等式是求解集的过程（解集是一个范围，解是范围内的具体值）。 不等式的基本性质（重点，易错点）： 1. 若a>b，则a±c > b±c（加减不变号，两边同时加、减同一个数/整式，不等号方向不变）。 2. 若a>b，c>0，则ac>bc，＞（乘除正数不变号，两边同时乘、除同一个正数，不等号方向不变）。 3. 若a>b，c<0，则ac<bc，（乘除负数变号，两边同时乘、除同一个负数，不等号方向必须改变）。 补充：不等式两边同时乘0，不等号变为等号（即ac=bc），此时不再是不等式。 2. 一元一次不等式 定义：含有1个未知数，未知数的次数是1，且不等式两边都是整式的不等式（三个要素缺一不可）。 解法步骤（与一元一次方程类似，核心区别：乘除负数变号）： 1. 去分母：两边同乘所有分母的最小公倍数，若公分母为负数，不等号方向改变；注意常数项也要乘公分母（避免漏乘）。 2. 去括号：遵循“括号前是正号，去括号后符号不变；括号前是负号，去括号后各项变号”，同时运用乘法分配律。 3. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号（与方程移项规则一致）。 4. 合并同类项：将同类项合并，化为ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b）的最简形式（a≠0）。 5. 化系数为1：若a>0，不等号方向不变，；若a<0，不等号方向改变。 解集表示（两种形式，必须掌握）： 等式形式：x>a、x<a、x≥a、x≤a（明确解集范围）。 数轴表示：① 定界点：含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号（＞、＜）用空心圆圈；② 定方向：大于向右画，小于向左画。 3. 一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组（未知数必须相同，否则不是同一不等式组）。 相关概念： 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分。 无解：几个不等式的解集没有公共部分（如x>5且x<3，无公共部分，即无解）。 解集的4种情况： 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小找不到） 解法步骤： 1. 分别解出不等式组中每个一元一次不等式的解集； 2. 在同一条数轴上表示出各个不等式的解集； 3. 找出各个解集的公共部分，即为不等式组的解集；若无公共部分，则不等式组无解。 含参问题：与一元一次不等式含参类似，先解不等式组（含参），再结合已知解集、整数解个数，列不等式（组）求参数范围，注意等号是否成立（避免漏解、多解）。 4. 一元一次不等式（组）的实际应用 核心：将实际问题中的“不等关系”转化为“不等式（组）”，求解后结合实际意义检验（如人数、物品个数需为正整数）。 解题步骤：审→设→列→解→验→答（6步缺一不可，重点在“审不等关系”“验实际意义”）。 常见不等关系词（精准对应不等号）： 至少、不低于、不少于 → ≥； 最多、不超过、不多于 → ≤； 超过、大于、多于 → ＞； 不足、小于、少于 → ＜。 常见题型：方案选择问题、分配问题、最值问题、计费问题（如购物打折、租车租船、生产配料等）。 1. 概念混淆（高频）：把“不等式的解”与“解集”等同（解是具体值，解集是范围）；忽略一元一次不等式“整式、1个未知数、次数1”三要素。 2. 性质误用（最高频）：乘除负数时忘记变号；不等式两边同时乘0，仍按不等式变形（此时变为等号，不再是不等式）。 3. 去分母漏乘（高频）：去分母时，常数项未乘公分母。 4. 移项不变号（高频）：移项时只移动位置，不改变符号（如将3x+2>5x-3移项，误写成3x-5x>-3+2）。 5. 化系数错误：系数为负时，化系数为1后不等号方向不变（如-2x>4，误解得x>-2，正确应为x<-2）。 6. 数轴表示错误（高频）：① 含等号用空心点、不含等号用实心点（混淆定界点类型）；② 方向搞反（大于向左、小于向右）。 7. 不等式组解集判断错误：混淆4种解集情况。 8. 含参问题漏解（难点+高频）：求参数时，未考虑“系数正负”对解集的影响；忽略等号是否成立（如已知不等式组解集求参数，漏验边界值）。 9. 整数解漏算/多算：求不等式（组）的整数解时，边界值判断错误（如x<3的整数解，漏算0、-1，或多算3；a<x≤b的整数解，遗漏b或多算a）。 10. 实际应用审题不清（高频）：① 不等关系词理解错误（如“至少”对应<，“不超过”对应>）；② 忽略实际意义，解得非正整数解（如人数、物品个数为负数、小数）。 11. 解不等式组时，只解一个不等式：忽略“所有不等式的公共部分”，直接用单个不等式的解集作为不等式组的解集。 12. 去括号错误：括号前是负号时，去括号后部分项不变号（如-2(x-3)>4，误写成-2x-6>4，正确应为-2x+6>4）。 题型一：不等式性质应用 1．若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意． 故选：C． 2．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， 选项A： 两边同时加2，不等号方向不变，应为，故A错误． 选项B： 左边减5，右边减3，应为，故B错误． 选项C： 两边同时除以正数3，不等号方向不变，应为，故C错误． 选项D： 两边同时乘以负数，不等号方向改变，由可得，故D正确． 故选：D． 3．已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．两边同时加1，不等式方向不变，原式变为，故A错误，不符合题意． B．两边同时减1，不等式方向不变，原式变为，故B错误，不符合题意． C．两边同时乘正数2，不等式方向不变，原式变为，故C错误，不符合题意． D．两边同时乘负数，不等式方向反转，原式变为，故D正确，符合题意． 故选：D． 4．已知，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练运用不等式的基本性质对各选项进行分析判断． 根据不等式的基本性质（不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除以同一个正数，不等号方向不变；乘或除以同一个负数，不等号方向改变），逐一分析选项． 【详解】已知，分析各选项： A、两边同时加1，不等号方向不变，应为，故A错误； B、两边同时乘3（正数），不等号方向不变，应为，故B错误； C、两边同时减1，得；再两边乘，不等号方向改变，得，与原条件一致，故C正确； D、两边乘，不等号方向应改变，得，与原条件矛盾，故D错误． 故选：C． 5．已知，那么下列式子中不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，结合题目条件分析各选项是否一定成立即可． 【详解】解：已知，，根据传递性可得，故选项A一定成立． 对于选项B，不等式，由两边同加得到，根据不等式加法性质，方向不变，故B一定成立． 选项C中，不等式，由两边同减得到，根据不等式减法性质，方向不变，故C一定成立． 选项D中，的成立需考虑的符号．若，则两边同乘后方向不变；若，则方向改变，此时；若，则．由于题目未限定的符号，故不一定成立． 综上，不一定成立的选项为D． 故选：D． 6．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐一分析选项． 【详解】解：因为， 两边乘以负数时，不等号方向改变，得， 所以A不成立； 因为， 不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得， 所以B成立； 因为， 两边除以正数时，不等号方向不变，得， 所以C不成立； 因为， 当和为负数时，例如，，此时但，不成立， 所以D不符合题意． 故选：B． 7．已知，下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练运用不等式的基本性质对各选项进行分析判断． 根据不等式的基本性质，逐一分析每个选项，判断其正确性． 【详解】解：A、当时，满足，但，此时，所以仅由不能得出，该选项错误； B、不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变．因为，两边同时乘3，应该是，而不是，该选项错误； C、因为，移项可得，而不是，该选项错误； D、不等式两边先同时乘，不答号方向改变，由可得；再在两边同时加1，不答号方向不变，即，该选项正确． 故选：D． 8．如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二：一元一次不等式解法 9．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 10．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，解题的关键是依据不等式的基本性质逐步化简求解． 先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1来求解不等式． 【详解】解： ∴原不等式的解集为． 11．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 根据“不等式的性质”进行求解即可． 【详解】解： ． 12．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键． 先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上，注意端点是实心． 【详解】解： ． 在数轴上表示为： 13．解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 题型三：一元一次不等式组解法 14．解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 15．解一元一次不等式组： 【答案】不等式组的解集为 ． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤及“不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变”是解题的关键． 解一元一次不等式组的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1；按照步骤分别解不等式，然后取公共部分，写出解集即可． 【详解】解：， 解得： 解得： 不等式组的解集为 ：． 16．解不等式组 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分可得不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为． 17．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组，掌握解不等式的方法和步骤是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 所以该不等式组的解集为：． 18．解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【答案】，图见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示： 19．解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是； 不等式组的解集在数轴上表示如下： 题型四：含参不等式（组）问题 20.如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先算出每个不等式，则，，再结合关于x的不等式组的解集是，即可列式，进行作答． 【详解】解：∵ ∴由，则，解得， ∵解集是，， ∴， 解得， 故选：A． 21．如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 22．已知不等式的正整数解为1、2、3，则a的取值范围是_________． 【答案】/ 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则．根据题目中的不等式可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：由得，， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴且， 解得，， 故答案为． 23．已知不等式组无解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题即可得出答案． 【详解】解：不等式组无解， ， 故答案为：． 24．已知关于的不等式组无解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，正确理解不等式组无解的情况、得出关于a的不等式是解题的关键； 先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵原不等式组无解， ∴， 解得； 故答案为：． 25．关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有_______对． 【答案】6 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解出不等式组的解集，然后根据整数解的情况分析参数的取值即可． 【详解】解：不等式组， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解只有1和2，则有：， 解得：， 当和均为整数时，或或，或， ∴整数对有对． 故答案为：6 ． 26．若关于x的不等式组只有4个整数解，求的取值范围. 【答案】 【分析】先求出不等式组的解题，再由只有4个整数解确定的取值范围. 【详解】 由①得. 由②得:, ∴, ∵不等式组有个整数解， ∴这个整数解为， ∴. 【点睛】本题考查不等式组的整数解，能正确求出不等式组的解集是解题的关键. 题型五：实际应用问题 27．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为（年龄），最低值为（年龄）．所以30岁的人最佳燃脂心率p的范围为______．（包括最高值和最低值） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据心率的最高值和最低值列出不等式求解即可． 【详解】解：解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 28．长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据的取值范围必须满足两个条件：一个是这个长方形的周长不大于48米，另一个是长方形的边长大于0，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解不等式组得：， 答：x的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，并求不等式组的解，注意不要漏掉长方形的长要大于0这个隐含条件． 29．在一次知识竞赛中，共16道选择题，答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答不扣分，某同学有一道题未答，那么他至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 【答案】至少答对12道题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设他答对道题，成绩才能在60分以上，根据得分规则建立不等式，解不等式，求出的最小正整数解即可得． 【详解】解：设他答对道题，成绩才能在60分以上， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为12，符合题意， 答：他至少答对12道题，成绩才能在60分以上． 30．端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 【答案】40盒 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒蛋黄肉粽，则购进盒碱水粽，利用总利润每盒蛋黄肉粽的销售利润购进蛋黄肉粽的数量每盒碱水粽的销售利润购进碱水粽的数量，结合总利润不低于1600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设购进盒蛋黄肉粽，则购进盒碱水粽， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为40， 答：最多能购进蛋黄肉粽40盒． 31．某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 32．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 33．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； (2)共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意正确列方程和不等式组是解题关键． （1）每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可得出的值，进而得出租车方案和费用即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人， 则，解得：， 答：每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 则， 解得：， 的可能取值为5、6、7、8， 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 34．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 35．某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】(1)每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元 (2)学校最多可购买甲种词典10本 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典本，根据总价单价数量结合总费用不超过1700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元， 由题意得， 解得， 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元； （2）解：设学校计划购买甲种词典m本，则购买乙种词典本， 根据题意，得， 解得， 答：学校最多可购买甲种词典10本． 36．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 37．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 38．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 39．年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个B种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组应用，理解题意并列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格分别为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是． 40．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元． (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价为元，足球的单价为元； (2)共有三种购买方案，方案一：采购篮球个，采购足球个；方案二：采购篮球个，采购足球个；方案三：采购篮球个，采购足球个． 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设采购篮球个，则采购足球为个，根据“篮球不少于个，且总费用不超过元”，列不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：篮球的单价为元，足球的单价为元； （2）设采购篮球个，则采购足球为个， 要求篮球不少于个，且总费用不超过元， ， 解得：， 为整数， 的值可为，，， 共有三种购买方案， 方案一：采购篮球个，采购足球个； 方案二：采购篮球个，采购足球个； 方案三：采购篮球个，采购足球个． 41．为鼓励购买和使用新能源汽车，某停车场加快公共区域充电基础设施建设，计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买个、型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，则共有几种购买方案？哪种购买方案所需总费用最少？ (3)在“2024年元旦”促销活动中，每购买一个型充电桩厂家对顾客让利万元，在（2）的条件下，直接写出当为何值时，满足条件的上述购买方案所需费用均相同． 【答案】(1)种型号充电桩的单价为万元，种型号充电桩的单价为万元 (2)共有 种方案，费用最少的是购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用 万元 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，整式的乘法无关类型的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设种型号充电桩的单价为万元，则种型号充电桩的单价为万元 根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据题意，购买方案与无关，即可得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号充电桩的单价为万元，则种型号充电桩的单价为万元 根据题意得， 解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴种型号充电桩的单价为万元 答：种型号充电桩的单价为万元，种型号充电桩的单价为万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意得， 解得： ∵为正整数，则 对应方案：购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用：万元 购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用： 万元 购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用： 万元 共有 种方案，费用最少的是购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用 万元； （3）解：依题意， ∵购买方案所需费用均相同 ∴ 解得： 42．为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 题型六：整数解相关问题 43．不等式的最大整数解是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 44．不等式的正整数解是______． 【答案】1和2/2和1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先根据去分母、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而确定正整数解即可． 【详解】解： ， 所以该不等式的正整数解为：1和2． 故答案为：1和2． 45．关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 46．解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴见详解，整数解为： 【分析】本题考查解不等式组的解集及整数解，在数轴上表示解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的步骤，数形结合的数学思想． 先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再根据数轴上表示解集的方法表示出该不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， ； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示出不等式①②的解集如下： 这个不等式组的整数解为：． 47．解不等式：，并求出它的最大整数解． 【答案】，不等式的最大整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题关键． 依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可得出不等式的解集，再根据解集确定最大整数解． 【详解】解： 所以不等式的最大整数解为． 48．解不等式组，将它的解集表示在数轴上，并求出其自然数解． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析，自然数解为，，，，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的自然数解，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来，最后根据数轴求出自然数解即可，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 由数轴可知，不等式组的自然数解为，，，，，． 49．解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴表示见解析， 【分析】本题考查解不等式组的解集及整数解，在数轴上表示解集．先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再根据数轴上表示解集的方法表示出该不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示为： ∴该不等式组的整数解为． 50．求不等式组的解集并写出最小负整数解． 【答案】；最小负整数解为 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴ 由②得：， ∴， ∴， 最小负整数解为； 51．求不等式组的整数解． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，据此求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 52．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 53．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 一元一次不等式 1. 不等式及其性质 不等式：用 （＞、＜、≥、≤、≠）连接两个代数式的式子（注意：≠连接的不等式无解集，只表示不等关系）。 不等式的解：能使不等式成立的 （一个或多个具体数值）。 不等式的解集：一个不等式的 ；解不等式是求 的过程（解集是一个范围，解是范围内的具体值）。 不等式的基本性质（重点，易错点）： 1. 若a>b，则a±c b±c（ ，两边同时加、减同一个数/整式，不等号方向不变）。 2. 若a>b，c>0，则ac bc，＞（ ，两边同时乘、除同一个正数，不等号方向不变）。 3. 若a>b，c<0，则ac bc，（ ，两边同时乘、除同一个负数，不等号方向必须改变）。 补充：不等式两边同时乘0，不等号变为 （即ac=bc），此时不再是不等式。 2. 一元一次不等式 定义：含有 ，未知数的次数是 ，且不等式两边都是 的不等式（三个要素缺一不可）。 解法步骤（与一元一次方程类似，核心区别：乘除负数变号）： 1. 去分母：两边同乘所有分母的最小公倍数， ；注意常数项也要乘公分母（避免漏乘）。 2. 去括号：遵循“括号前是正号，去括号后符号不变；括号前是负号，去括号后各项变号”，同时运用乘法分配律。 3. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边， （与方程移项规则一致）。 4. 合并同类项：将同类项合并，化为ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b）的最简形式（a≠0）。 5. 化系数为1：若 ，不等号方向不变，；若a<0， 解集表示（两种形式，必须掌握）： 等式形式：x>a、x<a、x≥a、x≤a（明确解集范围）。 数轴表示：① 定界点：含等号（≥、≤）用 ，不含等号（＞、＜）用 ；② 定方向：大于向右画，小于向左画。 3. 一元一次不等式组 定义：由 的一元一次不等式组成的不等式组（未知数必须相同，否则不是同一不等式组）。 相关概念： 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的 。 无解：几个不等式的解集没有公共部分（如x>5且x<3，无公共部分，即无解）。 解集的4种情况： 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小找不到） 解法步骤： 1. 分别解出不等式组中每个一元一次不等式的解集； 2. 在同一条数轴上表示出各个不等式的解集； 3. 找出各个解集的公共部分，即为不等式组的解集；若无公共部分，则不等式组无解。 含参问题：与一元一次不等式含参类似，先解不等式组（含参），再结合已知解集、整数解个数，列不等式（组）求参数范围，注意 （避免漏解、多解）。 4. 一元一次不等式（组）的实际应用 核心：将实际问题中的“ ”转化为“不等式（组）”，求解后结合实际意义 （如人数、物品个数需为正整数）。 解题步骤 → → → → → （6步缺一不可，重点在“审不等关系”“验实际意义”）。 常见不等关系词（精准对应不等号）： 至少、不低于、不少于 → 最多、不超过、不多于 → ； 超过、大于、多于 → ； 不足、小于、少于 → 。 常见题型：方案选择问题、分配问题、最值问题、计费问题（如购物打折、租车租船、生产配料等）。 1. 概念混淆（高频）：把“不等式的解”与“解集”等同（解是具体值，解集是范围）；忽略一元一次不等式“整式、1个未知数、次数1”三要素。 2. 性质误用（最高频）：乘除负数时忘记变号；不等式两边同时乘0，仍按不等式变形（此时变为等号，不再是不等式）。 3. 去分母漏乘（高频）：去分母时，常数项未乘公分母。 4. 移项不变号（高频）：移项时只移动位置，不改变符号（如将3x+2>5x-3移项，误写成3x-5x>-3+2）。 5. 化系数错误：系数为负时，化系数为1后不等号方向不变（如-2x>4，误解得x>-2，正确应为x<-2）。 6. 数轴表示错误（高频）：① 含等号用空心点、不含等号用实心点（混淆定界点类型）；② 方向搞反（大于向左、小于向右）。 7. 不等式组解集判断错误：混淆4种解集情况。 8. 含参问题漏解（难点+高频）：求参数时，未考虑“系数正负”对解集的影响；忽略等号是否成立（如已知不等式组解集求参数，漏验边界值）。 9. 整数解漏算/多算：求不等式（组）的整数解时，边界值判断错误（如x<3的整数解，漏算0、-1，或多算3；a<x≤b的整数解，遗漏b或多算a）。 10. 实际应用审题不清（高频）：① 不等关系词理解错误（如“至少”对应<，“不超过”对应>）；② 忽略实际意义，解得非正整数解（如人数、物品个数为负数、小数）。 11. 解不等式组时，只解一个不等式：忽略“所有不等式的公共部分”，直接用单个不等式的解集作为不等式组的解集。 12. 去括号错误：括号前是负号时，去括号后部分项不变号（如-2(x-3)>4，误写成-2x-6>4，正确应为-2x+6>4）。 题型一：不等式性质应用 1．若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，那么下列式子中不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 6．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”） 题型二：一元一次不等式解法 9．解不等式：． 10．解不等式： 11．解不等式：． 12．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 13．解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 题型三：一元一次不等式组解法 14．解不等式组 15．解一元一次不等式组： 16．解不等式组 17．解不等式组： 18．解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 19．解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 题型四：含参不等式（组）问题 20.如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 21．如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 22．已知不等式的正整数解为1、2、3，则a的取值范围是_________． 23．已知不等式组无解，则a的取值范围是_________． 24．已知关于的不等式组无解，则实数的取值范围为__________． 25．关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有_______对． 26．若关于x的不等式组只有4个整数解，求的取值范围. 题型五：实际应用问题 27．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为（年龄），最低值为（年龄）．所以30岁的人最佳燃脂心率p的范围为______．（包括最高值和最低值） 28．长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 29．在一次知识竞赛中，共16道选择题，答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答不扣分，某同学有一道题未答，那么他至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 30．端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 31．某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 32．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 33．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 34．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 35．某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 36．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 37．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 38．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 39．年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 40．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元． (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，那么有哪几种购买方案？ 41．为鼓励购买和使用新能源汽车，某停车场加快公共区域充电基础设施建设，计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买个、型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，则共有几种购买方案？哪种购买方案所需总费用最少？ (3)在“2024年元旦”促销活动中，每购买一个型充电桩厂家对顾客让利万元，在（2）的条件下，直接写出当为何值时，满足条件的上述购买方案所需费用均相同． 42．为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 题型六：整数解相关问题 43．不等式的最大整数解是_________． 44．不等式的正整数解是______． 45．关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 46．解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 47．解不等式：，并求出它的最大整数解． 48．解不等式组，将它的解集表示在数轴上，并求出其自然数解． 49．解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 50．求不等式组的解集并写出最小负整数解． 51．求不等式组的整数解． 52．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 53．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $