6.4平面向量的应用【7个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.4平面向量的应用】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：用向量证明几何中的垂直关系】 【练方法】 知识梳理 核心依据：向量垂直的充要条件 几何转化：证明两条线段垂直等价于证明对应向量的数量积为0 常见场景：证明三角形高、矩形邻边、菱形对角线等垂直关系 解题思路 1.选取合适的基底（如两条邻边向量）或建立平面直角坐标系 2.将几何图形中的线段转化为向量表示 3.计算对应向量的数量积 4.若数量积为0则两向量垂直对应线段垂直得证 名师点睛 优先选择互相垂直的向量作为基底可简化计算 坐标系法更直接适合规则图形（矩形、直角三角形等） 注意向量方向数量积为0与线段位置无关只反映方向垂直 证明时要明确写出“”的逻辑链 （2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ）经典例题1例题 A． B． C．3 D． （24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.经典例题2例题    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. （23-24高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.小试牛刀1    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. （22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．小试牛刀2    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． （22-23高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.小试牛刀3    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【题型2：用向量求几何中的夹角】 【练方法】 知识梳理 核心公式：向量夹角公式 几何转化：求两条线段的夹角等价于求对应向量的夹角（注意夹角范围） 常见场景：求三角形内角、直线夹角、多边形内角等 解题思路 1.将几何图形中的线段转化为向量（注意起点与方向） 2.计算向量的数量积 3.计算向量的模、 4.代入夹角公式求出 5.根据确定角度值（或反三角函数表示） 名师点睛 向量夹角与线段夹角可能互补要注意观察图形判断锐角/钝角 若则夹角为钝角需结合图形确认 坐标系法可直接用坐标计算避免基底选择的麻烦 结果若用反三角函数表示要注明角度范围 （24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.经典例题2例题    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. （23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.小试牛刀1    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. （23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________小试牛刀2 （23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为________.小试牛刀3 【题型3：用向量求几何中的长度】 【练方法】 知识梳理 核心依据：向量模长公式即 几何转化：求线段长度等价于求对应向量的模长 常见场景：求三角形边长、对角线长度、两点间距离等 解题思路 1.将线段表示为向量（如） 2.计算向量的平方 3.展开数量积利用已知向量的模长和夹角计算 4.开平方得到线段长度 名师点睛 模长计算优先用“平方后开方”避免直接处理根号 若已知向量夹角可直接用展开 坐标系法中模长就是两点间距离公式本质和向量模长一致 注意长度为正数开平方后取正根 （2026高一·全国·专题练习）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（）经典例题1例题 A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 （2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，是的外心，，，求的长．经典例题2例题 （2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ）小试牛刀2 A． B． C．2 D． （21-22高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，，_______________.小试牛刀3 【题型4：向量在物理中的应用】 【练方法】 知识梳理 物理模型：力、速度、位移等都是向量遵循向量运算法则 核心方法：将物理量抽象为向量用向量的加减、数乘、数量积解决问题 常见场景：力的合成与分解、速度合成、做功计算等 解题思路 1.将物理量抽象为向量（如力、位移） 2.根据物理规律建立向量方程（如合力） 3.用向量运算法则（平行四边形法则、三角形法则）计算 4.做功问题：直接用数量积计算 5.还原为物理结论给出大小和方向 名师点睛 注意物理量的方向向量方向直接对应物理方向（如力的方向、速度方向） 力的合成用平行四边形法则本质是向量加法 做功问题中夹角是力与位移的夹角要准确判断 结果要带物理单位并说明方向（如“力的大小为5N方向水平向右”） （2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______.经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？经典例题2例题 （25-26高三下·安徽·开学考试）2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min）小试牛刀1 A． B． C．6 D．12 （25-26高一下·全国·课堂例题）今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（）小试牛刀2 （25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为．小试牛刀3 (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 【B·能力提升题型】 【题型1：利用向量求几何中参数的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心转化：将几何中的参数（如线段长度、角度、坐标）表示为向量的函数 常用工具：向量模长公式、数量积公式、三角函数值域、二次函数最值 场景：求动点轨迹中的参数范围、几何图形中变量的最值等 解题思路 1.选取参数（如动点坐标、角度）作为自变量 2.将目标量（如长度、面积）用参数和向量表示 3.转化为函数形式（如三角函数、二次函数） 4.求函数的最值或值域得到参数的范围 5.验证等号成立的条件（是否符合几何意义） 名师点睛 优先用参数化方法（如设角度、坐标）将几何问题代数化 注意参数的几何意义避免超出范围（如角度） 若转化为三角函数可利用、的有界性求最值 等号成立时要检查是否满足图形存在的条件 （2026·山东滨州·一模）已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________．经典例题1例题 （25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·陕西咸阳·月考）在平面四边形中，点，分别是和的中点，且，向量与的夹角为，若，，则的最大值为_____.小试牛刀1 （24-25高一下·上海·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．小试牛刀2    （2025高三·全国·专题练习）如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______．小试牛刀3 【题型2：利用向量求几何中的数量积最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 转化方向： 1.用模长和夹角表示数量积结合三角函数求最值 2.用坐标表示数量积转化为二次函数或线性函数求值域 场景：求动点对应的数量积最值、图形中向量数量积的范围等 解题思路 1.将目标数量积用已知向量或参数表示 2.若已知模长用转化为的函数 3.若用坐标法直接展开为坐标的线性/二次函数 4.求函数的最值或值域得到数量积的范围 5.验证等号成立的几何条件 名师点睛 数量积的最值常出现在夹角（同向）或（反向）时 若其中一个向量是单位向量可简化为即投影 坐标系法适合复杂图形可直接用坐标运算避免角度判断 注意数量积可正可负范围要包含正负情况 （25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　）经典例题1例题 A． B． C．-1 D． （25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为__________.经典例题2例题 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B．3 C． D． （2025高三·全国·专题练习）在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____．小试牛刀3 【题型3：综合素养题型】 【练方法】 知识梳理 综合考点：结合平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识考查向量的综合应用 核心能力：将复杂几何问题转化为向量问题的建模能力、多知识点融合能力 场景：几何证明、轨迹问题、最值问题、存在性问题等 解题思路 1.审题提取几何图形中的关键信息（如垂直、平行、长度、角度） 2.选择合适的方法：基底法/坐标系法将几何关系转化为向量关系 3.利用向量运算（加减、数乘、数量积）建立方程或不等式 4.结合三角函数、不等式、函数最值等知识求解 5.还原为几何结论验证是否符合题意 名师点睛 基底法适合无明显垂直关系的图形体现向量的本质 坐标系法适合规则图形或有垂直关系的图形计算更直接 遇到“存在性”“最值”问题优先考虑参数化+函数最值的思路 注意数形结合画图分析可快速找到解题突破口 （2026高一下·全国·专题练习）已知都是平面向量，且，若，则的最小值为________．经典例题1例题 （25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ）经典例题2例题 A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 （2025高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）．小试牛刀1 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·北京西城·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，96朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类的“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中“大雪花”各顶点可近似得到正六边形.已知正六边形的边长为1，点满足，则_____；若点是正六边形内部一点（包含边界），则的取值范围是_____.小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 3．（23-24高一下·重庆·期末）在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江·期中）已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（    ）. A．. B．. C．. D．. 8．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 10．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏徐州·期中）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最大值为5 D．若，则当三点共线时， 12．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，，，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 三、填空题 13．（24-25高一下·北京·期中）如图，中，，为的三等分点，为边上的动点． ①当时，则________； ②的最小值为________． 14．（24-25高一下·天津·月考）在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______. 15．（24-25高一下·四川·期中）在平面四边形中，， ，则的取值范围为_____________． 四、解答题 16．（24-25高一下·安徽·月考）在等腰梯形中， 为的中点，点在上，且，记. (1)用向量表示向量； (2)求的值. 17．（24-25高一下·山东聊城·期中）如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R． (1)用向量方法证明：； (2)若，，求的值． 18．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.4平面向量的应用】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：用向量证明几何中的垂直关系】 【练方法】 知识梳理 核心依据：向量垂直的充要条件 几何转化：证明两条线段垂直等价于证明对应向量的数量积为0 常见场景：证明三角形高、矩形邻边、菱形对角线等垂直关系 解题思路 1.选取合适的基底（如两条邻边向量）或建立平面直角坐标系 2.将几何图形中的线段转化为向量表示 3.计算对应向量的数量积 4.若数量积为0则两向量垂直对应线段垂直得证 名师点睛 优先选择互相垂直的向量作为基底可简化计算 坐标系法更直接适合规则图形（矩形、直角三角形等） 注意向量方向数量积为0与线段位置无关只反映方向垂直 证明时要明确写出“”的逻辑链 （2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ）经典例题1例题 A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A （24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.经典例题2例题    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. （23-24高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.小试牛刀1    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【详解】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. （22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．小试牛刀2    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． （22-23高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.小试牛刀3    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【详解】（1） . （2）， ，. 【题型2：用向量求几何中的夹角】 【练方法】 知识梳理 核心公式：向量夹角公式 几何转化：求两条线段的夹角等价于求对应向量的夹角（注意夹角范围） 常见场景：求三角形内角、直线夹角、多边形内角等 解题思路 1.将几何图形中的线段转化为向量（注意起点与方向） 2.计算向量的数量积 3.计算向量的模、 4.代入夹角公式求出 5.根据确定角度值（或反三角函数表示） 名师点睛 向量夹角与线段夹角可能互补要注意观察图形判断锐角/钝角 若则夹角为钝角需结合图形确认 坐标系法可直接用坐标计算避免基底选择的麻烦 结果若用反三角函数表示要注明角度范围 （24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． （24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.经典例题2例题    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. （23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.小试牛刀1    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. （23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. （23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为________.小试牛刀3 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 【题型3：用向量求几何中的长度】 【练方法】 知识梳理 核心依据：向量模长公式即 几何转化：求线段长度等价于求对应向量的模长 常见场景：求三角形边长、对角线长度、两点间距离等 解题思路 1.将线段表示为向量（如） 2.计算向量的平方 3.展开数量积利用已知向量的模长和夹角计算 4.开平方得到线段长度 名师点睛 模长计算优先用“平方后开方”避免直接处理根号 若已知向量夹角可直接用展开 坐标系法中模长就是两点间距离公式本质和向量模长一致 注意长度为正数开平方后取正根 （2026高一·全国·专题练习）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（）经典例题1例题 A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 【答案】D 【分析】方法一：设，，利用平面向量的数乘运算与基本定理得到 ，然后计算得解； 方法二：设λ，得到 λλ，利用三点共线性质计算即可 【详解】方法一　设， 则， ， 因为点A，P，M和点B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ，使 ， ， 所以， 又， 所以解得 所以， 所以AP. 方法二　设λ，λ∈R， 因为M是BC的中点，AN＝2NC， 则， λλλ， 又B，P，N三点共线，所以λ＋λ＝1， 解得λ，所以APAM＝4.4. （2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，是的外心，，，求的长．经典例题2例题 【答案】10 【分析】解法1：几何结合法,设分别为的中点，与的夹角为，与的夹角为．圆的半径，分别在上，,，且满足.一方面，由结合题设条件得到①；另一方面，由正弦定理得到②，将②代入①，通过三角恒等变换化简可得，即得的长. 解法2：点乘向量法,设与的夹角为，与的夹角为．两边同时点乘，根据向量数量积的几何意义化简即得. 【详解】解法1：几何结合法 如图，设分别为的中点，与的夹角为，与的夹角为． 设圆的半径，分别在上，,，且满足, 由题设知，， 则，， 从而， 又，故，． 因为，所以，即① 在中，由正弦定理，得， 则②， 则有 可得， 即， 所以，，即． 解法2：点乘向量法 设与的夹角为，与的夹角为，如图. 两边同时点乘，得， 即 ， 所以． （2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. （24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ）小试牛刀2 A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. （21-22高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，，_______________.小试牛刀3 【答案】/ 【分析】用表示出，两边同时平方，根据向量数量积即可求得答案. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 【题型4：向量在物理中的应用】 【练方法】 知识梳理 物理模型：力、速度、位移等都是向量遵循向量运算法则 核心方法：将物理量抽象为向量用向量的加减、数乘、数量积解决问题 常见场景：力的合成与分解、速度合成、做功计算等 解题思路 1.将物理量抽象为向量（如力、位移） 2.根据物理规律建立向量方程（如合力） 3.用向量运算法则（平行四边形法则、三角形法则）计算 4.做功问题：直接用数量积计算 5.还原为物理结论给出大小和方向 名师点睛 注意物理量的方向向量方向直接对应物理方向（如力的方向、速度方向） 力的合成用平行四边形法则本质是向量加法 做功问题中夹角是力与位移的夹角要准确判断 结果要带物理单位并说明方向（如“力的大小为5N方向水平向右”） （2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为， 则，，且， 设，由船需要准确到达正北方向的点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. （25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？经典例题2例题 【答案】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图所示：， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有， 所以有 . 所以此时小货船航行速度为. （25-26高三下·安徽·开学考试）2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min）小试牛刀1 A． B． C．6 D．12 【答案】D 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. （25-26高一下·全国·课堂例题）今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（）小试牛刀2 【答案】，方向与上游河岸的夹角为53°． 【分析】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，，根据三角函数得，再利用辅助角公式求解. 【详解】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，， ，，由物理学知识， 可知，所以． 令 即，即． 所以当时，，所以． 此时． 故划速最小为，方向与上游河岸的夹角为53°． （25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为．小试牛刀3 (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，由平面向量的数量积运算法则，结合题意可得，解三角形即可求得，的大小； （2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据锐角三角函数，即可求得与的余弦值． 【详解】（1）因为质点在，，的作用下保持平衡， 所以，所以， 又，，所以与的夹角为，所以， ， 因为，所以． 如图．易得， 所以， ． （2）因为，且质点处于平衡状态， 所以以为边长的三角形为直角三角形，如图所示， 则，， 所以， ． 【B·能力提升题型】 【题型1：利用向量求几何中参数的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心转化：将几何中的参数（如线段长度、角度、坐标）表示为向量的函数 常用工具：向量模长公式、数量积公式、三角函数值域、二次函数最值 场景：求动点轨迹中的参数范围、几何图形中变量的最值等 解题思路 1.选取参数（如动点坐标、角度）作为自变量 2.将目标量（如长度、面积）用参数和向量表示 3.转化为函数形式（如三角函数、二次函数） 4.求函数的最值或值域得到参数的范围 5.验证等号成立的条件（是否符合几何意义） 名师点睛 优先用参数化方法（如设角度、坐标）将几何问题代数化 注意参数的几何意义避免超出范围（如角度） 若转化为三角函数可利用、的有界性求最值 等号成立时要检查是否满足图形存在的条件 （2026·山东滨州·一模）已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心， 因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则， 所以 ， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. （25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以 ， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C （25-26高三上·陕西咸阳·月考）在平面四边形中，点，分别是和的中点，且，向量与的夹角为，若，，则的最大值为_____.小试牛刀1 【答案】16 【分析】根据平面向量的线性运算，以向量与为基底，表示出向量，进而根据向量模长的概念，求出参数的关系式，根据基本不等式，求出参数范围，进而根据二次函数性质，求出结果. 【详解】 如图所示，可知，且， 两式相加得， 由，得，即， 由向量与的夹角为，，，代入得，化简得， 可得，即， 由基本不等式可知时，，当且仅当时取等号， 即，代入得，解得， 由得， 由得，即，得， 可知， 令， 设函数，可知二次函数开口向上，对称轴为， 则在函数单调递增，即在时取最大值， 此时，，最大值为. 故答案为：16. （24-25高一下·上海·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．小试牛刀2    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出，再利用三角函数的有界性计算即可得. 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______．小试牛刀3 【答案】2 【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值． 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下： 由已知条件可知，，，设，，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【题型2：利用向量求几何中的数量积最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 转化方向： 1.用模长和夹角表示数量积结合三角函数求最值 2.用坐标表示数量积转化为二次函数或线性函数求值域 场景：求动点对应的数量积最值、图形中向量数量积的范围等 解题思路 1.将目标数量积用已知向量或参数表示 2.若已知模长用转化为的函数 3.若用坐标法直接展开为坐标的线性/二次函数 4.求函数的最值或值域得到数量积的范围 5.验证等号成立的几何条件 名师点睛 数量积的最值常出现在夹角（同向）或（反向）时 若其中一个向量是单位向量可简化为即投影 坐标系法适合复杂图形可直接用坐标运算避免角度判断 注意数量积可正可负范围要包含正负情况 （25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　）经典例题1例题 A． B． C．-1 D． 【答案】A 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：A （25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为__________.经典例题2例题 【答案】 【分析】由题意建立直角坐标系，根据等腰梯形求边长，高，表示出点的坐标，再根据向量数量积的坐标公式以及三角函数性质，可得答案. 【详解】 如图，以为原点，建立直角坐标系. 由题意，梯形的高长为，则. 因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，. 则 其中，， 故当时，. 故答案为： （25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量中点公式，得到，把原式化简为，根据向量的数量积运算确定最小时点的位置，再利用均值不等式求出最小值. 【详解】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． （2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. （2025高三·全国·专题练习）在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____．小试牛刀3 【答案】5 【分析】根据向量的加减法结合数量积运算律计算求解最大值. 【详解】如图，动点满足，点在以为圆心，1为半径的圆上， 因为，所以， 所以，设线段的中点为， 则， ， 当且仅当三点共线时取最大值， 所以的最大值为5． 故答案为：5. 【题型3：综合素养题型】 【练方法】 知识梳理 综合考点：结合平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识考查向量的综合应用 核心能力：将复杂几何问题转化为向量问题的建模能力、多知识点融合能力 场景：几何证明、轨迹问题、最值问题、存在性问题等 解题思路 1.审题提取几何图形中的关键信息（如垂直、平行、长度、角度） 2.选择合适的方法：基底法/坐标系法将几何关系转化为向量关系 3.利用向量运算（加减、数乘、数量积）建立方程或不等式 4.结合三角函数、不等式、函数最值等知识求解 5.还原为几何结论验证是否符合题意 名师点睛 基底法适合无明显垂直关系的图形体现向量的本质 坐标系法适合规则图形或有垂直关系的图形计算更直接 遇到“存在性”“最值”问题优先考虑参数化+函数最值的思路 注意数形结合画图分析可快速找到解题突破口 （2026高一下·全国·专题练习）已知都是平面向量，且，若，则的最小值为________．经典例题1例题 【答案】 【分析】设，则，结合两点间线段最短进行即可求解． 【详解】如图设， 点在以为圆心，半径为的圆上， 点在以为圆心，半径为1的圆上，， 所以在射线上， 所以， 作点关于射线的对称点，则，且， 所以，（当且仅当共线时取等号）， 的最小值为． 故答案为：． （25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ）经典例题2例题 A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. （2025高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）．小试牛刀1 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 【答案】C 【分析】作的边上的中线，过点作于点，过点作于点，根据数量积的几何意义可得，结合重心性质可得点重合，从而得解. 【详解】作的边上的中线， 因为为的外心，所以． 因为为的重心，所以． 过点作于点，过点作于点． 由及，由于为在方向上的投影向量， 由数量积的几何意义，得．    由及，得．而， 所以点重合，故． 故选：C． （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是重心，也是内心，是等边三角形，建立直角坐标系，写出点的坐标，设，求出，利用三角函数有界性求出的取值范围. 【详解】由，易知是重心， 又已知的内切圆圆心为，所以也是内心， 由三线合一可知是等边三角形. 如图，以为坐标原点，所在直线为y轴，平行于的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以取值范围是 故选：B （24-25高一下·北京西城·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，96朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类的“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中“大雪花”各顶点可近似得到正六边形.已知正六边形的边长为1，点满足，则_____；若点是正六边形内部一点（包含边界），则的取值范围是_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据正六边形的几何性质，由数量积的运算律，可得空一的答案；利用平面向量基本定理，分解向量，根据垂直向量数量积为零，结合六边形的几何性质，可得空二的答案. 【详解】由题意易知，则， ； 易知，， 当时，取最大值为， 当时，取最小值为， 所以. 故答案为：；. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据航行距离最短有合成速度垂直于两岸，即，再应用诱导公式化简，即可得. 【详解】要使船的航行距离最短，只需合成速度垂直于两岸， 所以，即. 故选：C 2．（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 3．（23-24高一下·重庆·期末）在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线定理得到，两边平方求出，得到答案. 【详解】因为D为AB的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以， 解得， 两边平方得 ， 故. 故选：A 4．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【详解】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A    5．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 6．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 7．（24-25高一下·浙江·期中）已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（    ）. A．. B．. C．. D．. 【答案】B 【分析】用的方向向量坐标表示出的最小值，从而求出. 【详解】设点在原点 . 向量 ，因为且沿 轴， 向量 ，且 ， 角平分线的方向向量是 和 的单位向量的和： ，，所以角平分线方向向量为 ， ， 所以方向的单位向量为：， 设，则， ​​.，， ， ， 这是一个关于的二次函数.当，最小. 此时. 故选：B. 8．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解. 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 10．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 11．（24-25高一下·江苏徐州·期中）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最大值为5 D．若，则当三点共线时， 【答案】ACD 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确.    故选：ACD. 12．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，，，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确. 【详解】对于A，，则为的中点，故， 设，因为， 则， ， 由共线，得，解得，所以，故A正确； 对于B，， 所以 所以，故B不正确； 对于C，为的中点，故，， 又，所以， 所以，，故C正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得， 由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以， 由，得或， 当时，，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题 13．（24-25高一下·北京·期中）如图，中，，为的三等分点，为边上的动点． ①当时，则________； ②的最小值为________． 【答案】 4 【分析】设，根据可得计算可求得①中的结果，将的表达式写成关于的函数，利用二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 设，易知， ①由可得，即， 因此； ②因为为边上的动点，可得，且， 则 ， 当时，的最小值为. 故答案为：4；. 14．（24-25高一下·天津·月考）在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据定比分点以及向量线性运算，利用数量积的运算律计算可得；设，利用向量数量积的运算律并结合二次函数性质即可求得的最小值. 【详解】因为D为BC的三等分点（靠近C点），所以， 可得， 所以 ； 设， 所以， 可得 ； 可知当时，的最小值为. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用平面向量的共线定理设出，再由向量的线性运算以及运算律计算可得结果. 15．（24-25高一下·四川·期中）在平面四边形中，， ，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示相应向量，根据三角换元、辅助角公式及三角函数的有界性计算即可. 【详解】根据条件可知该四边形为直角梯形，如下图所示，建立平面直角坐标系， 则， 因为 ， 所以，且， 易知， 利用三角换元，可设， 则， 其中， 显然，则， 所以. 故答案为： 四、解答题 16．（24-25高一下·安徽·月考）在等腰梯形中， 为的中点，点在上，且，记. (1)用向量表示向量； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）连接，可得、，利用向量的加法表示； （2）由（1），过分别作的垂线，垂足分别为，得到，然后应用数量积的运算律求值. 【详解】（1）如图所示，连接，则四边形为平行四边形， 所以， 因为点在上，且，所以， 所以. （2）由（1）可知，， 在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为， 则，所以， 由题意知，且， . 17．（24-25高一下·山东聊城·期中）如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R． (1)用向量方法证明：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)-6 【分析】（1）存在，使得，利用向量的线性运算可得， 又由点R， A，C三点共线，且，可得，解得值，从而得证. （2）由题设得四边形ABCD是菱形，，数形结合，作于点H，利用投影向量的概念即可得在上的投影向量为，由向量的线性运算即可求解． 【详解】（1）证明：因为R在ED上，所以存在，使得， 故， 又因为点R在AC上，且，， 所以，得， 所以，所以． （2）因为， 和分别是和方向上的单位向量， 设，，则以，为邻边的平行四边形是菱形， 是该菱形的对角线， ，所以 与垂直，所以， 可得，所以平行四边形ABCD是菱形， 所以，， 作于点H，又因为E为AB的中点， 所以在上的投影向量为， 所以． 18．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】（1）， ， ． （2）设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． （3）， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $