第15章 一元一次不等式（复习讲义，6知识&7题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第15章 一元一次不等式（复习讲义） 1.理解不等式、一元一次不等式（组）的核心概念，能准确区分一元一次不等式与其他不等式，明确不等式解与解集的区别与联系，掌握不等号的含义及正确使用方法。 2.熟练掌握不等式的基本性质，能灵活运用性质对不等式进行变形，尤其注意乘（除）同一个负数时不等号方向的改变，能判断不等式变形的正确性。 3.熟练掌握一元一次不等式的解法，能按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤规范求解，准确用最简不等式表示解集，并能在数轴上直观表示不等式的解集（区分空心圆圈与实心圆点、左右方向）。 4.理解一元一次不等式组的定义，掌握不等式组解集的四种类型，能运用数轴法求出不等式组的公共解集，明确“且”与“或”的逻辑关系。 5.能运用一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，学会将实际问题转化为不等式模型，提升数学建模能力，能检验解的合理性，贴合生活实际场景。 知识点01：核心概念 1. 不等式 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示两个量之间不等关系的式子，叫做不等式。 例如：3x + 5 > 2，2y - 1 ≤ 0，a ≠ 3 等。其中，≥表示“大于或等于”（即“不小于”），≤表示“小于或等于”（即“不大于”），≠表示“不等于”，这三种不等号也叫非严格不等号，>、< 叫严格不等号。 注意：不等式与等式的根本区别在于连接符号不同，等式用“=”连接，解的个数通常有限（一元一次方程只有1个解），而不等式的解通常有无限个，组成一个数值范围（解集）。 2. 不等式的解与解集 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式可能有多个解， 例如：x = 3、x = 4 都是不等式 x + 1 > 3 的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，它是一个数值范围，而不是单个或几个具体的数。 例如：不等式 x + 1 > 3 的解集是 x > 2。 解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 3. 一元一次不等式 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。其标准形式为：ax + b > 0（或 < 0、≥ 0、≤ 0），其中 a ≠ 0（a、b 为常数）。 易错辨析：判断一个式子是否为一元一次不等式，需同时满足三个条件：① 只含一个未知数；② 未知数次数为1；③ 不等号两边都是整式。例如：x² + 2 > 5（未知数次数为2）、x + y > 8（含两个未知数），都不是一元一次不等式。 4. 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。 解不等式组：求一元一次不等式组解集的过程，叫做解一元一次不等式组。 无解：若几个不等式的解集没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解。 知识点02：不等式的基本性质（核心重点，解不等式的理论依据） 不等式的基本性质是解不等式的根本依据，每一步变形都需有性质支撑，其中性质3是易错点，需重点掌握。 1.（传递性）：如果 a > b，b > c，那么 a > c；同理，若 a < b，b < c，则 a < c。 示例：因为 8 > 5，5 > 2，所以 8 > 2。 2.（可加性）：不等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变。 用字母表示：若 a > b，则 a ± c > b ± c（c 为任意实数）。 注意：这是解不等式时“移项”的理论基础，移项时要变号，本质是利用性质2将某一项从不等号一边移到另一边，等价于两边同时加（或减）这个项的相反数。 3.（可乘性）：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 易错提醒：两边同时乘（除）负数时，一定要改变不等号方向，例如：由 -2x > 6，两边除以 -2，得 x < -3（不可写成 x > -3）；另外，不能两边同时乘（除）一个含未知数的式子，除非能确定这个式子的正负。 补充性质：若 a > b，则 b < a（对称性）；若 a = b，b > c，则 a > c。 易错点：① 混淆可加性和可乘性，忘记乘（除）负数时改变不等号方向；② 移项时忘记变号；③ 两边同时乘（除）0，将不等式变为等式，破坏原不等关系。 知识点03：一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但需注意在“去分母”“系数化为1”时，若涉及乘（除）负数，要改变不等号方向，具体步骤如下（以解不等式 -1＞ 为例） 1.去分母：在不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。注意：最小公倍数为正数时，不等号方向不变；若为负数，需改变方向（通常选择正的最小公倍数）。 示例：两边同乘6，得 2(2x - 1) - 6 > 3(x + 2)。 2.去括号：根据乘法分配律去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号。 示例：4x - 2 - 6 > 3x + 6。 3.移项：将含未知数的项移到不等号的一边，常数项移到另一边，移项要变号（依据性质2）。 示例：4x - 3x > 6 + 2 + 6。 4.合并同类项：将同类项合并，化为“ax > b”（或 < 0、≥ 0、≤ 0）的最简形式。 示例：x > 14。 5.系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数a，若a > 0，不等号方向不变；若a < 0，不等号方向改变。 示例：本题中x的系数为1（正数），故解集为 x > 14。 注意：解完后可代入解集内的一个数检验，确保解题正确；若不等式两边有分母、括号，需逐步化简，避免跳步出错。 知识点04：一元一次不等式解集的表示方法 1. 文字表示法 直接用文字描述解集的范围，例如：x > 2（x大于2）、x ≤ -3（x小于或等于-3）。 2. 符号表示法（最简形式） 用“>、<、≥、≤”表示，例如：x < 5、x ≥ 0、-1 < x ≤ 2。 3. 数轴表示法（数形结合，重点） 用数轴上的区间表示解集，直观清晰，步骤如下：① 画数轴；② 定界点（解集包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈）；③ 定方向（大于向右画，小于向左画）。 x > 2：数轴上表示2的点画空心圆圈，向右画一条无限延伸的射线； x ≤ -3：数轴上表示-3的点画实心圆点，向左画一条无限延伸的射线； -1 < x ≤ 4：数轴上表示-1的点画空心圆圈，，表示4的点画实心圆点，在两点之间画线段。 知识点05：一元一次不等式组的解法 1. 解题步骤 1.分别解不等式组中的每个一元一次不等式，求出每个不等式的解集； 2.将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来； 3.找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集；若没有公共部分，则不等式组无解。 2. 不等式组解集的四种类型（设 a < b，结合数轴理解） 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小找不到） 知识点06：一元一次不等式（组）的实际应用 1. 应用场景 现实生活中，涉及“至少”“最多”“不小于”“不大于”“超过”“不足”等不等关系的问题，均可通过一元一次不等式（组）解决，例如：购物预算控制、人数安排、产量限定、行程规划等。 2. 解题步骤 1.审题：找出题目中的不等关系，明确已知量、未知量，确定不等关键词（如“至少”对应“≥”，“最多”对应“≤”）； 2.设元：设出合适的未知数（通常设问题中所求的量为x）； 3.列不等式（组）：根据不等关系，列出一元一次不等式（或不等式组）； 4.解不等式（组）：求出不等式（组）的解集； 5.检验：结合实际问题的意义，检验解集是否合理（例如：人数、物品个数等应为正整数）； 6.作答：写出符合题意的答案。 题型一 不等式性质应用 【例1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·月考）若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海松江·月考）如果，那么_____（填“”或“”）． 【变式1-3】（25-26七年级上·上海·月考）当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 题型二 一元一次不等式的识别与定义求参 【例2-1】（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为________． 【变式2-1】下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 题型三 解一元一次不等式并在数轴表示解集 【例3】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【变式3-1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【变式3-3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 题型四 一元一次不等式的整数解 【例4-1】（24-25七年级下·上海·月考）不等式的最大整数解是______． 【例4-2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是______． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为______． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 【变式4-3】（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 题型五 解一元一次不等式组 【例5-1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式组的解集是______． 【例5-2】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【变式5-1】（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式组： 【变式5-2】（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 题型六 含参数的不等式（组） 【例6-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是__________． 【例6-2】（24-25七年级下·上海·月考）不等式组有80个整数解，则m的取值范围为________． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 【变式6-2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【变式6-3】（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【变式6-4】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 题型七 实际应用 【例7-1】（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【例7-2】（24-25七年级下·上海·月考）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【例7-3】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【变式7-1】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【变式7-2】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【变式7-3】（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【变式7-4】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【变式7-5】（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【变式7-6】（24-25七年级上·上海·期末）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知，下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·上海·期中）如果 ，那么下列各式不能成立的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知，则_______．（用“>”“<”填空） 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式的解集是______． 5．（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是______． 6．（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件：_________． 三、解答题 7．（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式： 8．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 9．（24-25七年级下·上海崇明·期中）计算： 10．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式组： 11．（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式组，并在数轴上表示解集 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法中，一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 二、填空题 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）若，，，则的最小值是_____． 3．（23-24六年级下·上海长宁·期中）我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为_____________. 4．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”．若关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数的值为___________． 5．（24-25七年级下·上海宝山·月考）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围 ． 三、解答题 6．（24-25七年级下·上海闵行·月考）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 7．（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． 8．（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上，并求出其自然数解． 9．（24-25七年级下·上海·月考）关于x的两个不等式①与②，若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围． 10．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一：填空 ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________． 任务二：请写出正确的解题过程． 11．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 12．（22-23六年级下·上海虹口·期中）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如：是“友好组合” 分析：由，得 由，得 因为在范围内，所以是“友好组合” (1)请判断关于的组合是“友好组合”还是“非友好组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“非友好组合”．求的取值范围． 13．（24-25七年级上·上海·月考）“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． (1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 14．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 一元一次不等式（复习讲义） 1.理解不等式、一元一次不等式（组）的核心概念，能准确区分一元一次不等式与其他不等式，明确不等式解与解集的区别与联系，掌握不等号的含义及正确使用方法。 2.熟练掌握不等式的基本性质，能灵活运用性质对不等式进行变形，尤其注意乘（除）同一个负数时不等号方向的改变，能判断不等式变形的正确性。 3.熟练掌握一元一次不等式的解法，能按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤规范求解，准确用最简不等式表示解集，并能在数轴上直观表示不等式的解集（区分空心圆圈与实心圆点、左右方向）。 4.理解一元一次不等式组的定义，掌握不等式组解集的四种类型，能运用数轴法求出不等式组的公共解集，明确“且”与“或”的逻辑关系。 5.能运用一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，学会将实际问题转化为不等式模型，提升数学建模能力，能检验解的合理性，贴合生活实际场景。 知识点01：核心概念 1. 不等式 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示两个量之间不等关系的式子，叫做不等式。 例如：3x + 5 > 2，2y - 1 ≤ 0，a ≠ 3 等。其中，≥表示“大于或等于”（即“不小于”），≤表示“小于或等于”（即“不大于”），≠表示“不等于”，这三种不等号也叫非严格不等号，>、< 叫严格不等号。 注意：不等式与等式的根本区别在于连接符号不同，等式用“=”连接，解的个数通常有限（一元一次方程只有1个解），而不等式的解通常有无限个，组成一个数值范围（解集）。 2. 不等式的解与解集 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式可能有多个解， 例如：x = 3、x = 4 都是不等式 x + 1 > 3 的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，它是一个数值范围，而不是单个或几个具体的数。 例如：不等式 x + 1 > 3 的解集是 x > 2。 解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 3. 一元一次不等式 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。其标准形式为：ax + b > 0（或 < 0、≥ 0、≤ 0），其中 a ≠ 0（a、b 为常数）。 易错辨析：判断一个式子是否为一元一次不等式，需同时满足三个条件：① 只含一个未知数；② 未知数次数为1；③ 不等号两边都是整式。例如：x² + 2 > 5（未知数次数为2）、x + y > 8（含两个未知数），都不是一元一次不等式。 4. 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。 解不等式组：求一元一次不等式组解集的过程，叫做解一元一次不等式组。 无解：若几个不等式的解集没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解。 知识点02：不等式的基本性质（核心重点，解不等式的理论依据） 不等式的基本性质是解不等式的根本依据，每一步变形都需有性质支撑，其中性质3是易错点，需重点掌握。 1.（传递性）：如果 a > b，b > c，那么 a > c；同理，若 a < b，b < c，则 a < c。 示例：因为 8 > 5，5 > 2，所以 8 > 2。 2.（可加性）：不等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变。 用字母表示：若 a > b，则 a ± c > b ± c（c 为任意实数）。 注意：这是解不等式时“移项”的理论基础，移项时要变号，本质是利用性质2将某一项从不等号一边移到另一边，等价于两边同时加（或减）这个项的相反数。 3.（可乘性）：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 易错提醒：两边同时乘（除）负数时，一定要改变不等号方向，例如：由 -2x > 6，两边除以 -2，得 x < -3（不可写成 x > -3）；另外，不能两边同时乘（除）一个含未知数的式子，除非能确定这个式子的正负。 补充性质：若 a > b，则 b < a（对称性）；若 a = b，b > c，则 a > c。 易错点：① 混淆可加性和可乘性，忘记乘（除）负数时改变不等号方向；② 移项时忘记变号；③ 两边同时乘（除）0，将不等式变为等式，破坏原不等关系。 知识点03：一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但需注意在“去分母”“系数化为1”时，若涉及乘（除）负数，要改变不等号方向，具体步骤如下（以解不等式 -1＞ 为例） 1.去分母：在不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。注意：最小公倍数为正数时，不等号方向不变；若为负数，需改变方向（通常选择正的最小公倍数）。 示例：两边同乘6，得 2(2x - 1) - 6 > 3(x + 2)。 2.去括号：根据乘法分配律去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号。 示例：4x - 2 - 6 > 3x + 6。 3.移项：将含未知数的项移到不等号的一边，常数项移到另一边，移项要变号（依据性质2）。 示例：4x - 3x > 6 + 2 + 6。 4.合并同类项：将同类项合并，化为“ax > b”（或 < 0、≥ 0、≤ 0）的最简形式。 示例：x > 14。 5.系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数a，若a > 0，不等号方向不变；若a < 0，不等号方向改变。 示例：本题中x的系数为1（正数），故解集为 x > 14。 注意：解完后可代入解集内的一个数检验，确保解题正确；若不等式两边有分母、括号，需逐步化简，避免跳步出错。 知识点04：一元一次不等式解集的表示方法 1. 文字表示法 直接用文字描述解集的范围，例如：x > 2（x大于2）、x ≤ -3（x小于或等于-3）。 2. 符号表示法（最简形式） 用“>、<、≥、≤”表示，例如：x < 5、x ≥ 0、-1 < x ≤ 2。 3. 数轴表示法（数形结合，重点） 用数轴上的区间表示解集，直观清晰，步骤如下：① 画数轴；② 定界点（解集包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈）；③ 定方向（大于向右画，小于向左画）。 常见表示示例： x > 2：数轴上表示2的点画空心圆圈，向右画一条无限延伸的射线； x ≤ -3：数轴上表示-3的点画实心圆点，向左画一条无限延伸的射线； -1 < x ≤ 4：数轴上表示-1的点画空心圆圈，，表示4的点画实心圆点，在两点之间画线段。 知识点05：一元一次不等式组的解法 1. 解题步骤 1.分别解不等式组中的每个一元一次不等式，求出每个不等式的解集； 2.将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来； 3.找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集；若没有公共部分，则不等式组无解。 2. 不等式组解集的四种类型（设 a < b，结合数轴理解） 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小找不到） 知识点06：一元一次不等式（组）的实际应用 1. 应用场景 现实生活中，涉及“至少”“最多”“不小于”“不大于”“超过”“不足”等不等关系的问题，均可通过一元一次不等式（组）解决，例如：购物预算控制、人数安排、产量限定、行程规划等。 2. 解题步骤 1.审题：找出题目中的不等关系，明确已知量、未知量，确定不等关键词（如“至少”对应“≥”，“最多”对应“≤”）； 2.设元：设出合适的未知数（通常设问题中所求的量为x）； 3.列不等式（组）：根据不等关系，列出一元一次不等式（或不等式组）； 4.解不等式（组）：求出不等式（组）的解集； 5.检验：结合实际问题的意义，检验解集是否合理（例如：人数、物品个数等应为正整数）； 6.作答：写出符合题意的答案。 题型一 不等式性质应用 【例1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果， 两边同时减去，得，则A符合题意， 两边同时加上，得，则B不符合题意， 两边同时乘以再同时减去，得，则C不符合题意， 两边同时乘以，得，则D不符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·月考）若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项进行判断即可 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴，故该选项符合题意； C、∵， ∴，故该选项不符合题意； D、∵， ∴只有当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海松江·月考）如果，那么_____（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据“不等式两边同乘以一个负数，改变不等号的方向”即得答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26七年级上·上海·月考）当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 题型二 一元一次不等式的识别与定义求参 【例2-1】（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 【例2-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、变形得：，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是等式，不是一元一次不等式，不符合题意； D、，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 题型三 解一元一次不等式并在数轴表示解集 【例3】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 【变式3-1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法．根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示． 【变式3-3】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 【答案】(1)一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数，出现错误； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1求出不等式的解集，进而在数轴上表示解集即可。 【详解】（1）解：解答过程中，从第一步开始出现错误，错因是去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； 故答案为：一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：， 数轴表示解集如图： 题型四 一元一次不等式的整数解 【例4-1】（24-25七年级下·上海·月考）不等式的最大整数解是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再取其最大整数解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∴不等式的最大整数解是1， 故答案为：1． 【例4-2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解是2． 故答案为：2． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为______． 【答案】0或1或2或3 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．移项合并，最后系数化为1，可求不等式的解集，进而可得非负整数解的个数． 【详解】解：， ， 解得，， ∴非负整数解为0或1或2或3， 故答案为：0或1或2或3． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 【答案】， 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∴不等式的负整数解为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 题型五 解一元一次不等式组 【例5-1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故答案为∶ 【例5-2】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解法是关键． 先求出两个不等式的解集，再求出公共解，然后在数轴表示即可． 【详解】解：， 由①解得， 由②解得， 故原不等式组的解集为：． 在数轴表示如下： 【变式5-1】（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 则不等式组的解集为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 【答案】；；； 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则求出不等式的解集后解答即可． 【详解】解：由①可得： ， 由②可得： ， ∴不等式的解集为：， ∴整数解为：；；；． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 【答案】，数轴见解析，所有非负整数解有0，1，2． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后求出所有非负整数解即可． 【详解】解∶， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示为： ∴所有非负整数解有0，1，2． 题型六 含参数的不等式（组） 【例6-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质以及根据不等式的解集求参数的取值范围，解题的关键是根据不等式两边同除以一个数后不等号方向的变化，判断这个数的正负性．观察不等式及其解集，发现不等号方向发生了改变．根据不等式的基本性质，判断的正负性，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：。 【例6-2】（24-25七年级下·上海·月考）不等式组有80个整数解，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式组． 求出不等式组的解集，然后根据不等式组有80个整数解，进而求得m的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵不等式组有80个整数解， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式6-1】（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，得出关于的不等式，据此进行计算即可．本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 因为此不等式组有个整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 【变式6-3】（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 【变式6-4】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】(1)，见解析； (2)． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组无解问题； （1）当时，可得，再解不等式组即可； （2）由得：，由得：，结合不等式组无解可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：当时， ， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集； （2）解得：， 解得：， 要使此不等式组无解， ∴， ∴； ∴的取值范围是. 题型七 实际应用 【例7-1】（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 【例7-2】（24-25七年级下·上海·月考）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著和人物传记各25，20元 (2)33本 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设每本文学名著和人物传记各x元、y元，根据30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设人物传记买m本，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每本文学名著和人物传记各x元、y元，依题意，得 ， 解得：， 答：每本文学名著和人物传记各25，20元． （2）设人物传记买m本，依题意，得 ， 解得：， ∴m取最大整数为33． 答：人物传记至多买33本． 【例7-3】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【答案】(1)种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． (2)2种进货方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，准确找出数量关系是解题的关键． （1）利用“、两种礼盒单价比为”，设单价为元，单价为元．依据“单价和为210元”，列方程，求解，进而得出、的单价． （2）设购进种礼盒个，根据“恰好用去4800元”表示出种礼盒数量．结合“种礼盒最多36个”，“种礼盒数量的倍不超过种礼盒数量”，列出不等式组，求出的取值范围．根据礼盒个数为正整数，对在取值范围内取值验证，确定符合条件的值，从而得出进货方案数量． 【详解】（1）解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据题意得 解得． 则种礼盒的单价为（元）， 种礼盒的单价为（元）． 答：种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． （2）设购进种礼盒个，购进种礼盒个，根据题意得， ， 解得． ∵两种礼盒个数均为正整数， ∴为正整数，即是的倍数． 当时，（符合条件）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（符合条件）． ∴购进A种礼盒13个，购进种礼盒36个，或种礼盒16个，购进种礼盒32个，共有种进货方案． 【变式7-1】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了有理数的运算以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组解题的关键． （1）根据盈利率等于售价减去成本再比上成本，即可求解； （2）设商品的原价（正整数）是元，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． （2）解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【变式7-3】（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【答案】(1)乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元 (2)有三种购买方案：学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，准确列出方程组、不等式组求解是解决问题的关键． （1）设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，由题意列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，则 ， 解得， 答：乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，则 ， 解得， 为正整数， 可取， 即有三种购买方案： 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副． 【变式7-4】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【答案】(1)最多购买个种魔方 (2)见解析 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用． （1）设购买种魔方件，则购买种魔方件，根据种魔方的数量不少于种魔方的数量即可解答； （2）结合两种魔方得单价列出不等式求得可能的情况，再结合单价求出购买方案． 【详解】（1）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的最大值为15， 答：最多购买个种魔方； （2）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的值为， 则有三种购买方案： 方案一：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案二：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案三：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元． 【变式7-5】（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业购买方案有2种：①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 【变式7-6】（24-25七年级上·上海·期末）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知，下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，正确，不符合题意； B、∵，∴，∴，正确，不符合题意； C、∵，∴，正确，不符合题意； D、时与可能相等，也可能，，故错误，符合题意， 故选：D． 2．（22-23六年级下·上海·期中）如果 ，那么下列各式不能成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】A、两边同乘，不等号的方向要改变，正确，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 3．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知，则_______．（用“>”“<”填空） 【答案】< 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟悉不等式的三个基本性质的内容并灵活运用是解题的关键；在两边同乘，得，再在不等式两边加1即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可得到答案； 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键，属于中考常考题型．根据解一元一次不等式的步骤，求解即可． 【详解】解：， 则， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件：_________． 【答案】/ 【分析】本题考查不等式的定义，熟练根据题意转换为的范围是解题的关键．利用不超过的最大整数是，分别探索上限和下限即可得出结果． 【详解】解：由不超过的最大整数是， 当时，不超过的最大整数小于； 当时，不超过的最大整数大于等于； 当时，不超过的最大整数是， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．根据解一元一次不等式的步骤即可解得答案． 【详解】解：移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：． 8．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的计算，根据计算步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； 【详解】解：， ， ， ， ， . 9．（24-25七年级下·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母，去括号，移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1得： 10．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 11．（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式组，并在数轴上表示解集 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，按照解不等式的一般步骤，先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将其在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法中，一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.当时，，原说法不成立； B.当时，，原说法不成立； C..当时，，原说法不成立； D.由可知，即可得到，原说法成立； 故选：D． 二、填空题 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）若，，，则的最小值是_____． 【答案】6 【分析】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【详解】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故答案为：6． 3．（23-24六年级下·上海长宁·期中）我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为_____________. 【答案】或 【分析】本题考查方程和不等式，分为和两种情况化简方程解题即可． 【详解】解：当时，即时，，解得； 当时，即时，，解得； 故答案为：或. 4．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”．若关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数的值为___________． 【答案】2或3 【分析】本题考查解一元一次方程，求不等式组的解集，掌握“有缘方程”的定义，是解题的关键． 先求出方程的解和不等式组的解集，利用有缘方程的定义，得到关于k的不等式组，求出整数解即可． 【详解】解：解方程，得：， 解不等式组，得：， 关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程， ， 解得， k是整数， 的值为2或3． 故答案为：2或3． 5．（24-25七年级下·上海宝山·月考）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据有三个整数解列不等式组求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又不等式组有三个整数解， ∴不等式组的整数解为， ， 解得：． 实数a的取值范围为． 三、解答题 6．（24-25七年级下·上海闵行·月考）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 7．（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，然后取它们解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以，不等式组的解集为． 8．（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上，并求出其自然数解． 【答案】不等式组的解集为，数轴见解析，不等式组的自然数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上，据此求出不等式组的自然数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 把不等式组的解集表示在数轴上如下： 由数轴可知，不等式组的自然数解为． 9．（24-25七年级下·上海·月考）关于x的两个不等式①与②，若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据不等式①的解都是②的解，求出的范围即可．根据题意分别求出不等式的解集，进而得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：由①得：， 由②得：， 由不等式①的解都是②的解，得到， 解得：． 10．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一：填空 ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________． 任务二：请写出正确的解题过程． 【答案】任务一：①不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②三，移项没有改变符号；任务二：见解析 【分析】任务一：①根据不等式的性质2可得答案；②由移项没有改变符号可得第三步开始出现错误； 任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变进行变形的； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有改变符号； 任务二： ． 解：， ， ， ， ． 11．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 【答案】(1) (2)，的最大值为25 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）先根据，可得①，同理可得②，将①与②相加即可得； （2）先根据，可得③，同理可得④，将③与④相加即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得：②， 由①②得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴③， 同理可得：④， 由③④得：， ∴， ∴的最大值为25． 12．（22-23六年级下·上海虹口·期中）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如：是“友好组合” 分析：由，得 由，得 因为在范围内，所以是“友好组合” (1)请判断关于的组合是“友好组合”还是“非友好组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“非友好组合”．求的取值范围． 【答案】(1)是“友好组合”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式、解一元一次方程，关键是对“友好组合”与“非友好组合”的理解． （1）先求方程的解，再解不等式，根据“友好组合”和“非友好组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“非友好组合”的定义求a的取值范围． 【详解】（1）解：关于的组合是“友好组合”，理由如下： ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． ∵在范围内， ∴组合是“友好组合”； （2）解方程， 去分母，得， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵关于x的组合是“非友好组合， ∴， 解得：． 13．（24-25七年级上·上海·月考）“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． (1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 【答案】(1)品牌垃圾桶每个100元；B品牌垃圾桶每个150元 (2)品牌垃圾桶最多买10个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，根据等量关系与不等量关系列出方程与不等式是解题的关键． （1）设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，根据两种垃圾桶数量相同，列出分式方程并求解即可，注意检验； （2）设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴（元）； 答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元； （2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个， 由题意得：， 解得：， ∴品牌垃圾桶最多买10个； 答：品牌垃圾桶最多买10个． 14．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 【答案】游戏分析：；；给出结论：或；游戏拓展：纸片上的数可能是或 【分析】本题考查的是不等式组的应用， 游戏分析：根据题意分析计算求和进而写出结论； 给出结论：根据分析内容汇总得出结论； 游戏拓展：结合上面的分析及结论，类别写出即可． 【详解】解：游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8， ，， ，解得：， 正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 故答案为：；；或； 游戏拓展：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为m、n、e、f，其中． 最小的两个数的和为6，最大的两个数的和为9， ，， ，解得：， 正整数，2，3． 当时，，则不满足最大的两个数的和为9这一条件，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，但它们的和出现的数6，9，不符合题意； 当时，，若，，它们的和出现的数； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $