10.2.1 代入消元法（第2课时 稍复杂二元一次方程组的代入法）（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

10.2.1 代入消元法（第2课时：稍复杂二元一次方程组的代入法） （教学设计） 1.教学内容 本课时是人教新版七年级下册第十章《二元一次方程组》10.2.消元法解二元一次方程组，10.2.1代入消元法第一课时：用代入法解二元一次方程组。主要内容包括：本节课主要内容包括：用代入消元法解未知数系数均不为1（或-1）的稍复杂的二元一次方程组；根据方程组特点灵活选择变形策略（系数绝对值较小优先）；整体代入法的初步应用；用代入消元法解决简单的实际问题. 2. 内容解析 本节课是代入消元法的深化与拓展，是在学生已经掌握用代入法解系数简单（有系数为1或-1）的二元一次方程组的基础上进行的.从知识体系看，本节课是代入消元法的进阶内容，它解决了当方程组中未知数的系数都不是1或-1时如何求解的问题，同时也为后续学习加减消元法以及三元一次方程组奠定基础。从思想方法层面看，本节课进一步强化了“消元”思想和“化归”思想，同时渗透了“优化策略”意识——面对不同形式的方程组，如何选择最简便的变形方式.此外，整体代入法的引入，让学生体会数学解题中的灵活性和技巧性. 基于以上分析，本节课的教学重点为：用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组. 1. 教学目标 （1）会用代入消元法解未知数系数均不为1（或-1）的稍复杂的二元一次方程组；能根据方程组的特点灵活选择简便的变形策略；了解整体代入法，并能用于解决特定形式的方程组. （2）经历探索不同形式方程组的解法的过程，体会优化策略的重要性；通过整体代入法的学习，培养观察能力和灵活思维能力. （3）在解决较复杂问题的过程中，培养迎难而上的学习品质；通过古代数学问题的引入，感受中华数学文化的魅力，增强民族自豪感. 2.目标解析 （1）强调技能的深化与拓展.学生需要掌握当方程组中未知数系数均不为1或-1时，如何选择合适的方程进行变形，并能准确完成计算过程. （2）侧重于思维能力的培养.面对不同形式的方程组，学生需要学会观察、比较、分析，选择最优解题策略；整体代入法的学习更是对思维灵活性的重要训练. （3）通过古代数学问题的引入，让学生在解题的同时感受中华数学文化的博大精深. 学生通过第1课时的学习，已经掌握了代入消元法的基本步骤，能够解未知数系数为1或-1的简单二元一次方程组.但在本节课的学习中，学生可能遇到以下困难：①当两个方程中未知数的系数都不是1或-1时，不知道选择哪个方程、用哪个未知数表示另一个未知数更简便；②变形过程中涉及分数系数，计算容易出错；③对于整体代入法这一较为灵活的技巧，理解和运用存在障碍；④面对实际问题时，建立方程组后求解过程仍需进一步熟练.本节课的教学中应注重引导学生观察方程组的特点，通过对比不同变形策略的繁简程度，让学生自己感悟优化选择的原则，并通过变式训练和整体代入法的逐步引导，帮助学生突破难点. 基于以上分析，确定本节课的教学难点：根据方程组特点灵活选择变形策略，以及整体代入法的理解和应用. 创设情景，引入新课 问题呈现：出示古代数学问题——“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？” 追问1：怎样列二元一次方程组解决问题？ 列方程组：设马每匹x两，牛每头y两，列得方程组 追问2：这个方程组与我们上节课学习的方程组有什么不同？ 引导学生发现：两个方程中未知数的系数都不是1或-1.引入课题. （设计意图：通过古代数学问题引入，既激发学生学习兴趣，又自然引出本节课的核心问题——如何解未知数系数均不为1或-1的二元一次方程组.） 探究点1　系数复杂时的变形策略 问题：对于方程组，未知数x，y的系数都不是1或-1，如何用代入法求解？ 小组讨论：选择哪个方程进行变形？用哪个未知数表示另一个未知数更简便？ 学生讨论：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②。 追问1：为什么选择系数绝对值较小的方程变形？ 因为这样变形后得到的表达式系数较简单，代入后计算量小. 完整解答： 由①，得 ③ 把③代入②，得 两边乘以2，得 把代入③，得 所以原方程组的解为 . 追问2：解这个方程组时，可以先消去y吗？试一试，比较两种方法的繁简程度. 学生独立完成. (设计意图：通过具体例题和对比分析，引导学生发现：当未知数的系数都不是1或-1时，应选择系数绝对值较小的方程进行变形，这样计算更简便.) 探究点2 代入消元的优化策略 从上面的解答中,我们来共同归纳：用代入法解二元一次方程组时变形的选择技巧： 1. 若方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式，直接代入； 2. 若方程组中有未知数的系数为1或-1，选择系数为1或-1的方程变形； 3. 若未知数的系数都不是1或-1，一般选择系数绝对值较小的方程变形； 4. 变形时，选择系数较简单的未知数表示另一个未知数. (设计意图：通过归纳总结，帮助学生形成系统的方法体系，为后续解题提供策略指导.) 探究点3：整体代入法解方程组 问题:解方程组 追问1:如果按常规方法，用含y的式子表示x，或用含x的式子表示y，计算起来会怎样？ 学生发现：计算复杂，且有分数. 追问2:观察两个方程，有什么共同特点? 引导学生发现：每个方程中都含有“2x-3y”这个整体 追问3:能否整体代入来求? 怎样解? 由①，得 2x - 3y = 2 ③ 把③代入②，得 (2 + 5)/7 + 2y = 9 1 + 2y = 9 y = 4 把y = 4代入③，得 2x - 12 = 2，解得 x = 7 所以原方程组的解为. 归纳：这种将一个整体式子代入另一个方程的方法，叫做“整体代入法”. 总结：当方程组中某些项含有相同（或成倍数关系）的整式时，可以将相同（或成倍数关系）的整式作为整体，直接代入另一个方程中求解，这样可以大大简化计算. (设计意图：整体代入法是代入消元法的重要拓展，通过引导学生观察方程组的结构特点，发现特殊规律，培养灵活思维和观察能力.） 回归情境——解决古代数学问题 解决：回到课前的“马牛问题”，学生尝试独立求解. 学生板演：选代表板书解答过程，集体评议. （设计意图：前后呼应，让学生体验成功的喜悦，同时感受中华数学文化的魅力.） 典型例题 例1.解方程组 【分析】方程①中的看成整体数，代入②求解。 【详解】解：由①，得 . ③ 把③代人①，得 . 解这个方程，得. 把代人③，得 所以这个方程组的解是. （设计意图：通过变式训练，让学生进一步熟悉整体代入法的应用，体会数学解题的灵活性.） 例2.快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件。某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元。如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 【分析】等量关系：送120件的报酬 + 揽45件的报酬 = 270元 送90件的报酬 + 揽25件的报酬 = 185元 【详解】解：设每送一件报酬x元，每揽一件报酬y元，依题意得 由①，得 ③ 把③代人②，得 解这个方程，得 把代人③，得 所以这个方程组的解是 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元. （ 设计意图：通过实际问题的解决，让学生体会数学的应用价值，同时巩固本节课所学知识.） 课本课堂练习：第1、2题. 参考答案：1. (1) (2) 2. 设大、小包装盒每盒分别装x瓶、у瓶，根据题意，列得方程组，解得. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和有相同解， ∴解方程组得：， 把代入得：，解得：， ∴． （设计意图：强化用二元一次方程组解与代入法解二元一次方程组） 1．（2025•河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝ 　 　 ． 【解答】解：根据题意得，， 解得， ∴a+b＝99， 故答案为：99． 2．（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【解答】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 根据题意得：， 解得， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品6盒． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.） 知识总结：（1）用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组的方法：选择系数绝对值较小的方程变形，再代入另一个方程.（2）代入消元法的优化策略：①系数为1或-1优先；②系数绝对值较小优先；③整体代入法.（3）整体代入法：将相同（或成倍数关系）的整式作为整体代入求解. 方法总结：（1）优化思想：面对不同形式的方程组，要善于观察、比较，选择最优解法.（2）整体思想：将相同部分看作整体，化繁为简.（3）建模思想：从实际问题中抽象出方程组模型并求解. 易错提醒：（1）变形选择不当：没有选择系数绝对值较小的方程变形，导致计算复杂.（2）分数系数处理错误：代入后去分母时，忘记每一项都要乘以分母的最小公倍数.（3）整体代入意识不强：遇到含有相同整体的方程组，仍用常规方法，导致计算量大.（4）回代选择不当：求出第一个未知数后，回代时选错方程（应选变形后的方程，计算最简便）.（5）实际问题建模错误：未能准确找出两个等量关系. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本课堂练习第2题3、4小题，习题10.2第2（3、4）题. 探究性作业：课本习题10.2第4题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 10.2.1 代入消元法（第2课时：稍复杂二元一次方程组的代入法） 探究点1　系数复杂时的变形策略 探究点2 代入消元的优化策略 探究点3：整体代入法解方程组 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $