高一数学下学期第一次月考（沪教版必修第二册第六章，高效培优）数学沪教版高一必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 1、 填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1． . 2．/ 3．四 4．或 或 5． 6．1 7． 8． 9．/ 10． 11．2 12． ， 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 14 15 16 D B B D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（14分） 【解析】（1）利用三角函数诱导公式逐项化简： ，，， ，， 代入原式可得：,（4分） 由于，所以， 即；（7分） （2）当，， 可得 .（14分） 18．（14分） 【解析】（1） ，（5分） 所以．（7分） （2）由，得，整理得，（11分） 由，得， 所以，即．（14分） 19．（14分） 【解析】（1）由，得． 因为，（3分） 所以转化为， 所以．（5分） 因为，所以．因为，所以．（6分） （2）由正弦定理，得． 所以或．（8分） ①当时，由，得，所以； ②当时，由，得， 所以． 综上可得或2．（14分） 20．（18分） 【解析】（1）由， 由正弦定理得，， 又， 所以， 即，（6分） 又因为，所以，所以， 又，所以.（8分） （2）恒成立， 即恒成立，即求的最大值，（10分） 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以，（14分） 当且仅当，即时，等号成立，（15分） 所以， 所以实数的最小值为.（18分） 21．（18分） 【解析】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中.（6分） （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°.（12分） （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或，（15分） 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h.（18分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第6章 三角。 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．已知一个扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________. 【答案】. 【解析】已知扇形的圆心角为，半径为3， 则该扇形的弧长为. 故答案为：. 2．如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为，若，，则角的大小为_____________． 【答案】/ 【分析】由三角函数的定义求出角，结合角的范围求解即可. 【解析】由三角函数的定义，可得， 因为，所以． 故答案为：． 3．已知点位于第二象限，则角是第______象限角． 【答案】四 【分析】由点位于第二象限，得到，根据三角函数值得正负判断出所在的象限即可得解. 【解析】点位于第二象限， ，， 满足时，为第三四象限角，满足时，为第一四象限角， 满足条件的为第四象限角， 点位于第二象限，角是第四象限角. 故答案为：四. 4．已知，则________，________． 【答案】 或 或 【分析】利用三角函数的基本关系求值. 【解析】因为，所以角为第三或第四象限角. 若为第三象限角，则，所以， ； 若为第四象限角，则，所以， . 故答案为：或；或. 5．已知角满足，则___________. 【答案】 【分析】对已知条件进行平方，先求出，再由角的象限判断，计算可得出结论. 【解析】由，得，所以. 又由，知，由，得， 所以，所以， 所以 故答案为： 6．________．（且） 【答案】1 【分析】根据诱导公式化简即可. 【解析】根据诱导公式可得：. 7．若，则___________． 【答案】 【分析】由两角差的余弦公式和二倍角公式计算. 【解析】由题意得， 由二倍角的余弦公式得. 故答案为：. 8．已知且，则______. 【答案】 【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系的平方关系，结合角的范围即可求解. 【解析】，因为， 所以，因为，所以， 又，所以，故， 所以. 故答案为： 9．若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【解析】由，，且，得 又，所以 因为，则，所以 所以 ， 且，且，所以. 故答案为：. 10．已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【解析】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】由已知条件，根据余弦定理，可得，所以.根据正弦定理，得． 【解析】由余弦定理，得. 因为，所以，化简得. 由正弦定理，得． 故答案为：2. 12．如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 【答案】 ， 【解析】在中，， 由正弦定理得，得． 在中，，，∴． 在中，， 由余弦定理得， ∴． 因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【答案】D 【分析】由任意角的周期性的概念结合正负角即可求解. 【解析】对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大， 例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角， 故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则有，， 则，， 当时，，的终边在第一象限， 当时，，的终边在第三象限， 当时，，即，的终边在第一象限， 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 14．（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，辅助角公式和正弦二倍角公式进行化简. 【解析】 ． 故选：B 15．已知为的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合齐次法将给定等式变形为，进而求解即得. 【解析】由为的一个内角及，得， 则， 整理得，即， 则，解得， 于是，而，解得. 故选：B 16．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【解析】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（14分） 已知 (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用诱导公式化简即可； (2)利用周期性和诱导公式化简即可求值. 【解析】（1）利用三角函数诱导公式逐项化简： ，，， ，， 代入原式可得：, 由于，所以， 即； （2）当，， 可得 . 18．（14分） 已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【解析】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 19．（14分） 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角得到，将转化为，利用两角和的正弦公式计算得解； （2）利用正弦定理得到，从而求出，按照的值分类讨论求解. 【解析】（1）由，得． 因为， 所以转化为， 所以． 因为，所以．因为，所以． （2）由正弦定理，得． 所以或． ①当时，由，得，所以； ②当时，由，得， 所以． 综上可得或2． 20．（18分） 在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据及三角恒等变换即可求解； （2）根据题意可得恒成立，利用三角形面积公式及余弦定理可将右式化为，利用基本不等式求出最大值即可求出答案. 【解析】（1）由， 由正弦定理得，， 又， 所以， 即， 又因为，所以，所以， 又，所以. （2）恒成立， 即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以实数的最小值为. 21．（18分） 如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】(1)快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． (2)快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． (3)4h． 【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可. （2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可. （3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可. 【解析】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第6章 三角。 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．已知一个扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________. 2．如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为，若，，则角的大小为_____________． 3．已知点位于第二象限，则角是第______象限角． 4．已知，则________，________． 5．已知角满足，则___________. 6．________．（且） 7．若，则___________． 8．已知且，则______. 9．若，，并且，，且，则的值为______. 10．已知锐角，满足，，则___________． 11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 12．如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 14．（   ） A． B．1 C． D． 15．已知为的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 16．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（14分） 已知 (1)化简； (2)若，求的值． 18．（14分） 已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 19．（14分） 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 20．（18分） 在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 21．（18分） 如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $