高二数学下学期第一次月考（沪教版选择性必修第一册第一章～第二章，高效培优）数学沪教版高二选择性必修第一册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.） 1.（-2,0) 2.2 3.V6 4.[22-2,22+2 5.[-2,3] 6.5 2 7.5=川*-到859.-少+r110.29 2516 2 11.√17 -7+1,-7+9) 21 12.⑤ 8 3 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 14 15 16 C A B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17.(14分) 【解析】(1)直线斜率是3，且经过点2,1，则直线方程为y-1=3(x-2), 化为一般式方程为3x-y-5=0:(4分) (2)已知O(0,0)关于直线1的对称点为A(-4,2), 故直线1为线段OA的中垂线，求得OA的中点为(-2，)， 且0A的斜率为子。宁故直线1的斜率为2， 故直线1的方程为y-1=2(x+2),化简可得：2x-y+5=0.(8分) (3)设该直线在两轴上截距为a,那么， ①当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=c,代入点(2,3)， 可有-，则方程为y子，即3x-2y=0,1分》 ②当a≠0时直线方程为+上=1，把(2,3)代入求得a=5. aa 则直线方程为x+y-5=0, 由①②知所求直线方程是3x-2y=0或x+y-5=0.(14分) 18.(14分) 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)C1:x2+y2-4x-6y+9=0,.(x-22+(y-3)2=4, C2,3),r=2, :P(3,5),PC=V3-22+(5-32=V5>2=r, P在圆C的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为x=3, 此时圆心C,（2,3)到直线x=3的距离为1≠2， 则直线x=3不是圆C的切线；(2分) 当切线存在斜率时，设切线方程为y-5=k(x-3, 即x-y-3k+5=0, 圆心C2,3到到直线在-y-3头+5=0的距肉为d-24-33张+5_-+2=2， Vk2+1 √k2+1 解得k=0或=号(5分) 当k=0时，切线方程为y-5=0,即y=5; 当k=号时，切线方程为y-5=身x-3引，即4标+3y-27=0: 3 综上可得，切线1的方程为y=5或4x+3y-27=0.(7分) (2)C:x2+y2-4x-6y+9=0①， C2:x2+y2+2x-4y-4=0②， ①②这两个等式相减，得到-6x-2y+13=0,即6x+2y-13=0, 则公共弦AB所在直线的方程为6x+2y-13=0;(10分) 圆心C(2,3)到直线6x+2y-13=0的距离为d= 6×2+2×3-13510 V62+22 V404 则AB=2P2-d2 0 2-4 36 即公共弦AB的长为3V .(14分) 19.(14分) 【解析】(1)设A(x,y),B(x2,2),由△0AB为正三角形，得引OA曰OB|, 2/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则x+y=x+y,即x+2x1=x号+2x2，整理得(x-x2)x+x2+2)=0, 而x1>0,x2>0,因此x=x2,y=-y2,|AB=2|y|, 由OA日AB|,得x+y=4,即x=3y=6x,解得x=6, 所以△0AB的面积S.oB= 94折-41w6分 4 (2)显然直线1不垂直于y轴，设直线l的方程为x=y+m(m≠0)， x=ty+m 由 y2=2x ，得)-20-2m=0,则=-2m,5=兰上=m, 22 由以AB为直径的圆经过原点0，得0A10B,0A·0B=xx2+2=-2m+m2=0, 又m≠0，解得m=2,则直线：x=y+2恒过定点(2,0)， 所以直线1恒过定点.(14分) B 20.(18分) c 2 e=- a 2 a=2√2 61 【解析】(1)由题意可得 a+6 =1,解得b=2 故椭假C的标准方程为。+兰=1，(4分) c=Va2-b2 c=2 84 (2)如下图所示： 1B 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点A(x,y)、B(x2,y2,则点D(x,-y),易知点F(2,0 若直线AB与x轴重合，则点E与原点O重合，不符合题意， 根据题意，设直线AB的方程为x=my+2,其中m≠0， [x=my+2 联立 x2+2y2二8可得(m+22+4m-4=0, 则△=16m2+16m2+2=32m2+1>0, 47m 由韦达定理可得y+y,=- m2+2’5--4 m2+2’(8分) 所以以-=y+)-4%=- 4m2 16 4V2(m2+1 m2+2 m2+2 m2+2 直线BD的方程为y-为=上+(x-x), x2-x1 在直线BD的方程中，令r=0可得y=-少+业=m+2到少+m+2列y, x2-X1 m(y1-y2) 2myy+2(y+2,即点E0, myy2+2(y+y2) ,（13分) m(y-y2) m(y-y2) 8m 8m 所以5 OF *2x 2myy2+2(y+y2)1 m2+2m2+2 2W2 m(y-y2) 4mV2(m2+1 Vm2+1 m2+2 因为m≠0，所以m2+1>1,故Sor= 25∈(0,22 √m2+1 故a0EF面积的取值范围是0,2√2).(18分) 21.(18分) 【解析】(1)由AB=2,PA+PB=4>AB, 所以点P在以A,B为焦点，4为长轴长的椭圆上， 受祁贿圆方程为+行=1（口≥么三0）， 焦距为2c,则c=1,a=2, 所以b2=a2-c2=3, 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以C的方程为+父=1.(4分) 43 (2)①由Q(-4,0),直线1的斜率存在且不为0， 设直线I的方程为x=y-4,E(x,y),F(x2,),<0, x2.y2 联立4+31，得3m2+4y2-24m+36=0, x=my-4 24m 36 则△=144m-4)>0,片+53nm+4为3n+4(6分) 所以网为-0+ 四为水10，所以希友= 七+1， 所以车=s+-4(m,-3》my-3 k2y2(x+1)y2(my1-3)my1y2-3y2 33 0+)-3y222 一= 3 3.3=-1.(10分) 0+⅓)-393-3 ②由①可知，k =-1,所以k+k,=0, 作E关于x轴的对称点G(x,-y),则F,A,G三点共线， 又A(-1,0),BL,0),设M(xy), 则直线AF方程即为直线4G方程x=1y-1, y 又直线E方程为x=y+1, y 作差可得=当 所以，=-1（当）-1=1 y 所以马为=之。 1 又x<0,得出x,<0, 又因为至+上=1， 43 山y- 所以0+一3 =1' 4 5/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 左_5=1x<0) 即6-公=，即草号 34 44 所以点M在以A,B为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以MA-MB=-1.(18分) E M G4 O 6/6 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第一册第1~2章 坐标平面上的直线+圆锥曲线。 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 【答案】 【解析】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 故，解得，即实数k的取值范围是. 2．已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【答案】2 【分析】根据两直线平行的充要条件，列方程求解可得. 【解析】由题可知，，解得. 当时，直线的方程为：，即，与直线平行. 故答案为：2. 3．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】由双曲线渐近线方程得到关系，再结合离心率概念即可求解. 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，所以， 即，即，即， 所以该双曲线的离心率为. 4．已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 5．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【解析】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 6．已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【解析】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 7．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为__________________ 【答案】 【分析】根据两圆相切的条件 ，利用椭圆的定义求轨迹方程． 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故答案为： 8．已知直线与圆：交于，两点，则的面积为________.（为坐标原点） 【答案】 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离为0，从而得到直线过圆心，则为圆的直径，从而得到，求出点到直线的距离，利用三角形面积求出的面积. 【解析】，， 圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 过圆心， 直线与圆：交于，两点， 为圆的直径，， 点到直线的距离为 故答案为：. 9．已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【解析】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 10．若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】由直线与圆相切的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径，列式求解. 【解析】双曲线的渐近线方程为，根据对称性不妨取其中一条渐近线，即， 因为与圆相切， 则，得，即，， ∴. 11．若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【答案】 【解析】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得， 则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号， 直线，由且，得，即点， 所以的最大值为，此时点P的坐标为. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________． 【答案】 【解析】因为，所以， 由椭圆定义，得， 又因为， 所以. 设C的焦距为，由勾股定理，得， 又，所以， 所以． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 14．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用抛物线焦半径公式可得，再结合列方程，即可求得答案. 【解析】由题意知抛物线：的焦点为，准线为， 设点，由于于，故， 的圆心为，由于，故， 结合点在上，则，即，即， 解得，即点的横坐标为. 15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积的比例关系可得，利用椭圆的定义，计算出的各边长，运用余弦定理建立等式. 【解析】 如图，因为，所以, 所以. 因为，所以是等腰三角形，则 又因为，所以，所以，则 过作其中为垂足，则为中点，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，所以离心率为. 16．已知双曲线的两条渐近线与直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为8，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线方程为，令，得， 不妨设，则， 由的面积为8，得，解得， 所以双曲线的离心率． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（14分） 根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案. （2）分析可得直线l为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案. 【解析】（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为， 化为一般式方程为； （2）已知关于直线l的对称点为， 故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为， 且OA的斜率为，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为，化简可得：． （3）设该直线在两轴上截距为a，那么， ①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点， 可得，则方程为，即； ②当时直线方程为，把代入求得． 则直线方程为， 由①②知所求直线方程是或． 18．（14分） 已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）求出圆心和半径，求出的值判断出在圆的外部，分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程，求出圆心到直线切线的距离，由得到的方程，解出的值，将代入切线方程得到所求. （2）两圆相减得到公共弦所在直线的方程；求出圆心到直线的距离为，则计算得解. 【解析】（1），， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. （2）①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 19．（14分） 已知直线与抛物线相交于异于原点的、两点． (1)若为正三角形，求的面积； (2)若以为直径的圆经过原点，求证：直线恒过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设出点的坐标，利用正三角形特征，结合抛物线方程求出即可. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示计算得证. 【解析】（1）设，由为正三角形，得， 则，即，整理得， 而，因此，，， 由，得，即，解得， 所以的面积. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由，得，则，， 由以为直径的圆经过原点，得，， 又，解得，则直线恒过定点， 所以直线恒过定点. 20．（18分） 已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件可得出关于、、的方程组解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，则点，分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，其中，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，利用三角形的面积公式结合不等式的基本性质可求得面积的取值范围. 【解析（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）如下图所示： 设点、，则点，易知点. 若直线与轴重合，则点与原点重合，不符合题意， 根据题意，设直线的方程为，其中， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以 直线的方程为， 在直线的方程中，令可得， ，即点， 所以， 因为，所以，故. 故面积的取值范围是. 21．（18分） 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【解析】（1）由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第一册第1~2章 坐标平面上的直线+圆锥曲线。 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 2．已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 3．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________. 4．已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 5．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 6．已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 7．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为__________________ 8．已知直线与圆：交于，两点，则的面积为________.（为坐标原点） 9．已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 10．若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______. 11．若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．已知双曲线的两条渐近线与直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为8，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．3 D．5 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（14分） 根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 18．（14分） 已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 19．（14分） 已知直线与抛物线相交于异于原点的、两点． (1)若为正三角形，求的面积； (2)若以为直径的圆经过原点，求证：直线恒过定点． 20．（18分） 已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围. 21．（18分） 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $