专题02 (特殊)平行四边形中的折叠问题（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题02 平行四边形中的折叠问题 题型一：平行四边形中的折叠问题 题型二：矩形中的折叠问题 题型三：菱形中的折叠问题 题型四：正方形中的折叠问题 题型01 平行四边形中的折叠问题 折叠的本质是两个图形关于折痕轴对称，所以折叠图形性质是对应线段相等、对应角相等、对应图形全等。折叠问题常可分为以下三种题型： 1. 折叠情境下的角度求解问题 2. 折叠情境下的线段求解问题 3. 折叠情境下的面积求解问题 【典例1】如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【典例2】如图，在▱ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与▱ABCD的一边垂直时，DM的长为 　　 ． 【变式2】如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【典例3】如图，在平行四边形纸片中，，AD=3cm,将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时E恰为DC中点，则图中重叠部分图形的面积为 ． 【变式3】如图，将▱沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则▱的面积是（    ）    A． B． C． D． 题型02 矩形中的折叠问题 折叠的本质是两个图形关于折痕轴对称，所以折叠图形性质是对应线段相等、对应角相等、对应图形全等。矩形中的折叠问题常可分为以下三种题型： 1. 折痕经过矩形的一个顶点（另一顶点落在矩形的一边上或矩形的对称轴上） 2. 折叠经过矩形的两个顶点（折痕为矩形的对角线） 3. 折叠不经过矩形的顶点（含经过矩形的对称中心） 【典例1】如图，小琼将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将沿翻折，将点翻折到上的点处，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 【典例2】如图，矩形，将沿对角线翻折得到（如图1），交边于点，再将沿翻折得到（如图2），延长交边于点．设、． (1)求证：为等腰三角形； (2)当，四边形为正方形时，求的值； 【变式2】翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． (1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 【典例3】如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 【变式3】如图，在矩形中，，，点G为边上一点．将矩形折叠，使点D落在边上的点G处，点C的对应点为点H．若，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 题型03 菱形中的折叠问题 折叠的本质是两个图形关于折痕轴对称，所以折叠图形性质是对应线段相等、对应角相等、对应图形全等。菱形中的折叠问题常常是转化双勾股模型解决问题 【典例1】在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 【变式2】如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处，若，，，则的长为______． 【变式3】在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为________． 【变式4】在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 题型04 正方形内的折叠问题 折叠的本质是两个图形关于折痕轴对称，所以折叠图形性质是对应线段相等、对应角相等、对应图形全等。正方形中的折叠问题常常考类型有： 1. 一个顶点落在正方形的对角线上（或一边的中垂线上）； 2. 折叠后构成十字架模型； 3. 折叠后构成半角模型. 【典例1】如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． (1)如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； (2)在（1）的条件下，求的长； 【变式2】【问题情境】 小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 （1）如图1，在正方形中，小颖在边上取点（不与、重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上，则此时线段的长是________． 【深入探究】 （2）小颖继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长． 【典例2】如图，在正方形中，为中点，沿直线翻折，使点的对应点恰好落在线段上．___________； 【变式3】（1）如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为______；说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【典例3】如图所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．则______； 【变式4】如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形中的折叠问题 题型一：平行四边形中的折叠问题 题型二：矩形中的折叠问题 题型三：菱形中的折叠问题 题型四：正方形中的折叠问题 题型01 平行四边形中的折叠问题 折叠的本质是两个图形关于折痕轴对称，所以折叠图形性质是对应线段相等、对应角相等、对应图形全等。折叠问题常可分为以下三种题型： 1. 折叠情境下的角度求解问题 2. 折叠情境下的线段求解问题 3. 折叠情境下的面积求解问题 【典例1】如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ， 故选：B． 【变式1】如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【分析】令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°，进而可得∠ACD＝3x°，由折叠可知，∠E＝∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°，再根据三角形的内角和列出关于x的方程式即可得出答案． 【解答】解：令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°， ∴∠ACD＝3x°， ∵ABCD为平行四边形， ∴∠BAC＝3x°， 由折叠可知，∠E＝∠B＝80°， ∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°， 在△ACE中，∠E+∠EAC+∠ACE＝180°， 即80°+3x+2x＝180°， 解得：x＝20， ∴∠BAC＝20°×3＝60°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，找到等量关系是解题的关键． 【典例2】如图，在▱ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与▱ABCD的一边垂直时，DM的长为 　　 ． 【分析】如图1，当BF⊥AD时，如图2，当BF⊥AB时，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：如图1，当BF⊥AD时， ∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴BF⊥BC， ∴∠AMB＝90°， ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠A＝∠F＝45°， ∴∠ABM＝45°， ∵AB＝4， ∴AM＝BM＝44， ∵BC＝AD＝10， ∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6； 如图2，当BF⊥AB时， ∵平行四边形ABCD中，AB∥DC， ∴BF⊥DC， ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠A＝∠EFB＝45°， ∴∠ABF＝90°， 此时F与点M重合， ∵AB＝BF＝4， ∴AF＝48， ∴DM＝10﹣8＝2． 综合以上可得DM的长为2或6． 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及菱形的面积公式的综合运用．关键在于利用折叠性质得出与的关系，进而求出菱形面积，再结合面积公式求出边上的高． 【详解】 解：由折叠性质，可知垂直平分，如图，设交点为，则， 四边形是平行四边形，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，则， ， ， 在中，， 设边上的高为，则， 即：，解得， 即边上的高为： ． 故选：D ． 【典例3】如图，在平行四边形纸片中，，AD=3cm,将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时E恰为DC中点，则图中重叠部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，解答本题的关键重叠部分是等腰三角形． 根据翻折的性质及已知的角度，可得△DBC为直角三角形，从而得到面积． 【详解】解：∵由折叠可知∠ABD=∠FBD, 由四边形为平行四边形，且∠ABD=∠CBD, ∴∠CBD=∠FBD, ∴ED=EB ∵DE=EC ∴∠DBC=90 ∴∠ADB=90 ∴， ∴． ∴ 故答案为：． 【变式3】如图，将▱沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则▱的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和折叠证明即可得到，进而得到，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 题型02 矩形中的折叠问题 折叠的本质是两个图形关于折痕轴对称，所以折叠图形性质是对应线段相等、对应角相等、对应图形全等。矩形中的折叠问题常可分为以下三种题型： 1. 折痕经过矩形的一个顶点（另一顶点落在矩形的一边上或矩形的对称轴上） 2. 折叠经过矩形的两个顶点（折痕为矩形的对角线） 3. 折叠不经过矩形的顶点（含经过矩形的对称中心） 【典例1】如图，小琼将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将沿翻折，将点翻折到上的点处，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查折叠与对称的性质，等边三角形的判定与性质．连接，由折叠与对称的性质可得，，，可判定△BCG为等边三角形，结合等边三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接． 长方形纸片对折后展开，折痕为，再将点C翻折到上的点G处，折痕为， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 故选：D． 【变式1】在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 【答案】． 【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得， ∴，， ∵四边形是长方形，，， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，得， 解得，， ∴的面积为． 【典例2】如图，矩形，将沿对角线翻折得到（如图1），交边于点，再将沿翻折得到（如图2），延长交边于点．设、． (1)求证：为等腰三角形； (2)当，四边形为正方形时，求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形性质及翻折的性质，证得，从而证得为等腰三角形． （2）由四边形为正方形及翻折性质，证得与是等腰直角三角形，再由求得CF与BF的长，进而求得n的值． 【详解】（1）证明：∵矩形，将沿对角线翻折得到， ∴，， ∵， ∴在与中， ， ∴， ∴，即为等腰三角形． （2）解：∵将沿对角线翻折得到，将沿翻折得到， ∴， ∵四边形为正方形， ∴． ∵矩形，， ∴，， ∵，，， ∴． ∵矩形，，将沿对角线翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质以及图形翻折的性质及应用，掌握矩形、正方形的性质及翻折性质，且熟练掌握解特殊直角三角形是解题的关键． 【变式2】翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． (1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证得，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）设的长为x，由折叠得，再求出，然后证得到，最后代入数据计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：设的长为x，由折叠得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的长为． 【典例3】如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用折叠的性质得到，再由矩形的性质求得，通过等量代换证得； （2）利用矩形的性质和已知条件得到各边长的值，再由折叠的性质得到，通过设未知数，利用勾股定理列出方程并求解未知数，进而求得的值，最后由（1）的结论即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵矩形沿折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：在矩形中，， ∴，， 又∵矩形沿折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 由（1）知，， ∴． 【变式3】如图，在矩形中，，，点G为边上一点．将矩形折叠，使点D落在边上的点G处，点C的对应点为点H．若，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，过点作，由题意可得，，，，由折叠的性质可得，，即垂直平分，在中，设，则，由勾股定理可得，，解得，则；在中，由勾股定理可得，则，由题意可得，则，即，解得，即可求解． 【详解】解：连接交于点，过点作，如下图： 由题意可得，，，， 由折叠的性质可得，，，， 即，垂直平分， 在中，设，则， 由勾股定理可得，，即， 解得， 则，， 在中，由勾股定理可得， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 题型03 菱形中的折叠问题 折叠的本质是两个图形关于折痕轴对称，所以折叠图形性质是对应线段相等、对应角相等、对应图形全等。菱形中的折叠问题常常是转化双勾股模型解决问题 【典例1】在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的折叠，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质及折叠的性质，用勾股定理列方程解决问题． 过作于，由四边形是菱形，可得是等边三角形，又，即得，在中，，，从而，设，则，，在中，由勾股定理即可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是菱形，边长为， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 【变式2】如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为________． 【答案】6或7 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 分落在上和落在上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当落在上时，如图， ∵菱形中，，边长为8， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当落在上时，如图： 作交的延长线于点，作于点， ∵菱形， ∴， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴； 综上：或； 故答案为：6或7． 【变式4】在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 【答案】①4；②． 【分析】）①利用等边三角形的判定和性质即可求得答案； ②过点作于点M，过点作于点，运用勾股定理可得，根据菱形性质及翻折可得：，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：①当点落在边上时，如图，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查勾股定理、折叠的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 题型04 正方形内的折叠问题 折叠的本质是两个图形关于折痕轴对称，所以折叠图形性质是对应线段相等、对应角相等、对应图形全等。正方形中的折叠问题常常考类型有： 1. 一个顶点落在正方形的对角线上（或一边的中垂线上）； 2. 折叠后构成十字架模型； 3. 折叠后构成半角模型. 【典例1】如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【变式1】数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． (1)如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； (2)在（1）的条件下，求的长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，，根据折叠的性质得，求出，即可得到答案； （2）由正方形的性质和折叠的性质得到，求出，得到，即可得到 （3）延长，交的延长线于点，设，由正方形的性质和折叠的性质得到，继而得到，求出，得到，证明，得到，由求出． 【详解】（1）解：正方形， ，， 根据折叠的性质得，， 故答案为：； （2）解：如图，由折叠的性质，得，， 正方形的边长为6， ，，， ，， ， ， ； 【变式2】【问题情境】 小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 （1）如图1，在正方形中，小颖在边上取点（不与、重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上，则此时线段的长是________． 【深入探究】 （2）小颖继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，准确利用知识点进行计算是解题的关键． （1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； 【详解】解：（1）连接，如图所示： 正方形边长为， ，， ， 沿翻折得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案是：． （2）①当时，如图，作于点，延长交于点， 则四边形为矩形， ，， ， ， 又由折叠性质可得：， ，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点， 则，四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，， 由折叠可知，，， 则在中，， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理，得：， 解得， ， 综上所述，线段的长为或； 【典例2】如图，在正方形中，为中点，沿直线翻折，使点的对应点恰好落在线段上．___________； 【答案】 【分析】由对折可知DF⏊AE，根据十字架模型的性质可证明，得到，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折可得， ∴， ∴， ， ∵为中点，， ， ∴； 【变式3】（1）如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为______；说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析； 【分析】（1）由全等三角形的“十字架”模型，结合两个三角形全等的判定定理可证，进而得解； （2）先证，再利用全等三角形的“十字架”模型构造全等，过点作，结合两个三角形全等的判定定理可证，进而得解； 【详解】解：（1）， 理由如下： 如图所示： 将沿翻折得到，则垂直平分， ∴， 在正方形中，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴； 故答案为：； （2）猜想线段之间的数量关系：， 证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 将四边形沿所在直线翻折得到四边形，则， ∴， 过点作，垂足为点，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【典例3】如图所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．则______； 【答案】 【分析】根据正方形的性质可证，从而得到半角模型，即∠EFG=45，可得解； 【详解】解：四边形是正方形， ， 将沿翻折到处， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【变式4】如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ） A．3.8 B．3.6 C．3.5 D．3.4 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．连接交于点，根据翻折的性质知，垂直平分，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：连接交于点， 如图， 由折叠的性质可得，垂直平分，即， ， 为的中点， ， ∴在中，， ， ，即 ， 解得 ， ∵垂直平分， ， ， ， ， ∴在中，， 故选： B． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $