第5讲：导数研究函数的最值【7个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第5讲：导数研究函数的最值】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：求不含参数函数的最值】 【练方法】 知识梳理 最值定义：在闭区间上函数的最大值/最小值是所有极值与端点函数值中的最大/最小 核心区别：极值是局部概念最值是全局概念最值可能在极值点或区间端点处取得 前提：函数在区间上连续 解题思路 1.确定函数定义域若为闭区间直接使用若为开区间需额外分析端点极限 2.求导解方程得到驻点 3.分析驻点左右导数符号确定极值类型 4.计算所有极值点和区间端点的函数值 5.比较这些值最大的为最大值最小的为最小值 6.开区间需补充分析端点极限确定是否存在最值 名师点睛 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值 若函数在区间内单调则最值必在区间端点处取得 计算时不要遗漏端点函数值这是最常见的丢分点 若驻点较多可通过列表法清晰对比各点函数值 （25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值． （2026·新疆·模拟预测）函数在区间上的最大值是（    ）经典例题2例题 A．1 B． C． D． （25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，若，则的最小值为________．小试牛刀1 （25-26高二下·全国·课后作业）已知函数的图象分别与直线交于两点，求的最小值．小试牛刀2 （2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B．1 C．2 D． 【题型2：求函数的最值求参数】 【练方法】 知识梳理 已知函数在某区间上的最值（或最值满足某条件）反求参数值 核心：将最值条件转化为关于参数的方程结合单调性求解 关键：先分析函数单调性确定最值可能出现的位置（极值点/端点） 解题思路 1.求导分析导数零点与参数的关系 2.分类讨论参数确定函数在区间上的单调区间 3.根据单调性判断最值可能出现的位置（极值点或端点） 4.计算对应位置的函数值令其等于已知最值建立方程 5.解方程求出参数并检验参数是否符合单调性前提 名师点睛 先判断函数是否单调若单调则最值必在端点可简化计算 若有多个极值点需逐一验证哪个极值点对应已知最值 注意参数对定义域的影响若参数改变定义域需先确定定义域范围 求出参数后要回代验证确保满足题目所有条件 （2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________．经典例题1例题 （25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________．小试牛刀1 （25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则___________小试牛刀2 （2026高三·全国·专题练习）函数，小试牛刀3 (1)若m＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为m，求m的最小值． 【题型3：证明不含参数的函数不等式恒成立问题】 【练方法】 知识梳理 核心转化：证明等价于证明恒成立 本质：求的最小值证明最小值 常见变形：移项构造辅助函数分离函数简化计算 解题思路 1.移项构造辅助函数 2.求导分析的单调区间与极值 3.求在定义域内的最小值 4.证明最小值即可得原不等式恒成立 5.若最小值为0则等号成立的条件可额外写出 名师点睛 优先构造简单易求导的函数避免复杂结构 若最小值不易求可尝试拆分函数或使用切线放缩等不等式 注意不等式定义域不要超出范围证明 若等号取不到要说明最小值大于0而非大于等于0 （23-24高二下·湖北十堰·月考）已知函数．经典例题1例题 (1)求的单调区间； (2)求证：对，恒成立． （2023高三·全国·专题练习）已知，求证：恒成立.经典例题2例题 （2023高三·全国·专题练习）已知函数，求证：当时，.小试牛刀1 （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.小试牛刀2 (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. （2026·安徽芜湖·一模）已知曲线在处的切线为.小试牛刀3 (1)求切线的方程； (2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 【题型4：单调性，极值，最值的综合】 【练方法】 知识梳理 综合考点：同时考查单调性判断、极值点求解、最值计算是导数应用的基础综合题 核心逻辑：单调性决定极值极值和端点决定最值 解题思路 1.求定义域求导并化简分析导数符号 2.确定单调区间标注递增/递减区间 3.找出极值点计算极值 4.结合区间端点计算端点函数值比较得到最值 5.按题目要求回答单调性、极值、最值相关问题 名师点睛 列表法是解决此类问题的最佳工具可清晰展示单调区间、极值、最值 注意极值与最值的区别不要混淆概念 若题目涉及多个小问可利用前一问结论简化后一问计算 计算时要仔细避免符号错误导致后续结论全部偏差 （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． （25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知函数.经典例题2例题 (1)当时，求曲线y=在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若，求a的取值范围. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知函数.小试牛刀2 (1)若，，求函数的单调区间及极值； (2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. （25-26高三上·河南周口·期末）已知函数.小试牛刀3 (1)若，求的图象在点处的切线方程. (2)设在上有且仅有一个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：在上单调递增. 【B·能力提升题型】 【题型1：导数求最值的实际应用】 【练方法】 知识梳理 场景：几何、物理、经济等实际问题中求面积最大、利润最高、成本最低等最优解 核心：将实际问题转化为函数模型再用导数求最值 关键：正确建立函数关系并确定自变量的实际意义范围（定义域） 解题思路 1.审题明确未知量与目标量设自变量和目标函数 2.根据实际问题中的数量关系建立函数解析式 3.确定函数定义域（由实际意义限制如长度>0、时间>0等） 4.求导分析单调性求极值与最值 5.验证最值是否在定义域内并给出实际意义的结论 名师点睛 定义域是实际应用问题的核心忘记定义域会导致结果不符合实际 若函数在定义域内只有一个极值点则该极值点必为最值点（单峰函数） 结果要带单位并回答题目所问的实际问题不要只给函数值 复杂问题可先画示意图帮助理清数量关系 （2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏宿迁·期末）某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米）经典例题2例题 (1)求的表达式； (2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省.小试牛刀2 (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ （25-26高三上·河北·月考）在面积为2的正方形中，不与顶点重合的点分别在上，且，沿折痕将折起为，则五棱锥的最大体积为__________.小试牛刀3 【题型2：由不等式恒成立问题求参数范围】 【练方法】 知识梳理 核心转化：对恒成立（） 常用方法：分离参数法、含参讨论法 分离参数优势：将参数与变量分离转化为求不含参数函数的最值避免复杂讨论 解题思路 方法1分离参数法 1.将不等式变形为（或）分离参数 2.求在定义域内的最大值（或最小值） 3.得到参数范围（或） 方法2含参讨论法 1.构造求导分析单调性与极值 2.分类讨论参数确定的最小值 3.令最小值解不等式得到参数范围 名师点睛 优先尝试分离参数法可大幅简化计算但要注意分离时不等号方向是否改变 分离参数后若无最值需分析极限情况 含参讨论时要先确定导数零点的存在性再分情况讨论 注意边界情况如等号是否可取需单独验证 （25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知，若对任意的，不等式恒成立，则整数的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C．0 D．1 （2026·山东滨州·一模）已知函数．经典例题2例题 (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A （2026·湖北襄阳·一模）已知函数．小试牛刀2 (1)若恒成立，求a的取值集合； (2)当时，证明：当时，恒成立． （25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知，其中．小试牛刀3 (1)讨论的单调性； (2)已知． （i）若在处的切线经过坐标原点，求实数的值与的方程； （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围． 【题型3：用导数研究方程的根/函数的零点】 【练方法】 知识梳理 核心转化：方程的根函数的零点函数图像与轴交点的横坐标 方法：通过导数研究函数单调性、极值、最值结合零点存在定理判断零点个数与位置 关键：找点验证函数值符号（放缩法）确定零点存在 解题思路 1.构造函数求导分析单调区间与极值 2.计算极值与端点函数值分析符号 3.若符号不明确用放缩法找点证明存在函数值正负的点 4.结合单调性与零点存在定理判断零点个数与位置 5.若求参数范围可转化为求值域分析交点个数 名师点睛 大题必须严格找点验证符号不能仅靠极限趋势判断 若函数有多个极值需逐个分析极值符号才能准确判断零点个数 分离参数法是研究零点个数的高效方法可转化为直线与曲线的交点问题 放缩技巧：常用、等切线放缩快速判断函数值符号 （25-26高三下·河北雄安·开学考试）若函数与函数的图象有交点，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数．经典例题2例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)若方程在上恰有2个实数根，求m的取值范围． （2026高三·天津·专题练习）已知函数．小试牛刀1 (1)证明：函数有且只有一个极值点； (2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． （2026·重庆·一模）关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直.小试牛刀3 (1)求的值； (2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二下·湖南·月考）函数的最小值为________. 4．（25-26高三上·江苏宿迁·期中）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 三、解答题 5．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 6．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值. 8．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数， (1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 9．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数，是的导函数. (1)求的值； (2)求的最值. 10．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 11．（25-26高三上·全国·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率最小，求点的坐标； (2)若，不等式恒成立，求的最大值. 12．（25-26高三上·云南曲靖·期中）已知函数，． (1)若函数在处取得极小值，求函数的单调递减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 13．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 14．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知函数，. (1)当时， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求在上的最值； (2)讨论的单调性. 15．（25-26高三上·上海宝山·期中）设，（常数）. (1)若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； (2)若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 16．（25-26高三上·吉林延边·期中）已知函数，. (1)求在区间的最大值和最小值； (2)若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 17．（25-26高三上·辽宁营口·期中）已知是函数的一个极值点. (1)求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)若对恒成立，求的取值范围.（提示：） 18．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第5讲：导数研究函数的最值】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：求不含参数函数的最值】 【练方法】 知识梳理 最值定义：在闭区间上函数的最大值/最小值是所有极值与端点函数值中的最大/最小 核心区别：极值是局部概念最值是全局概念最值可能在极值点或区间端点处取得 前提：函数在区间上连续 解题思路 1.确定函数定义域若为闭区间直接使用若为开区间需额外分析端点极限 2.求导解方程得到驻点 3.分析驻点左右导数符号确定极值类型 4.计算所有极值点和区间端点的函数值 5.比较这些值最大的为最大值最小的为最小值 6.开区间需补充分析端点极限确定是否存在最值 名师点睛 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值 若函数在区间内单调则最值必在区间端点处取得 计算时不要遗漏端点函数值这是最常见的丢分点 若驻点较多可通过列表法清晰对比各点函数值 （25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【详解】（1）因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． （2026·新疆·模拟预测）函数在区间上的最大值是（    ）经典例题2例题 A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，所以， 在区间上，因为，所以， 所以在上单调递增， 所以最大值在处取得，. （25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，若，则的最小值为________．小试牛刀1 【答案】1 【分析】先根据导数的几何意义结合切线方程求得，可得，再利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，得， 由于曲线在点处的切线方程为，即切线斜率为1， 则，所以，则， 当时，，，则，即， 当时，，，则，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则. （25-26高二下·全国·课后作业）已知函数的图象分别与直线交于两点，求的最小值．小试牛刀2 【答案】． 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出的函数关系，再利用导数求出最值即可. 【详解】函数的图象分别与直线交于两点，， 由，得，由，得，， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以当时，取得最小值. （2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件，求出之间的等量关系，进而通过换元法构造函数，根据函数导数与函数单调性和极值之间的关系，求出函数单调区间和极值，判断函数最大值，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以当有唯一解，即，即，可得， 所以， 令，则，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为. 故选：B. 【题型2：求函数的最值求参数】 【练方法】 知识梳理 已知函数在某区间上的最值（或最值满足某条件）反求参数值 核心：将最值条件转化为关于参数的方程结合单调性求解 关键：先分析函数单调性确定最值可能出现的位置（极值点/端点） 解题思路 1.求导分析导数零点与参数的关系 2.分类讨论参数确定函数在区间上的单调区间 3.根据单调性判断最值可能出现的位置（极值点或端点） 4.计算对应位置的函数值令其等于已知最值建立方程 5.解方程求出参数并检验参数是否符合单调性前提 名师点睛 先判断函数是否单调若单调则最值必在端点可简化计算 若有多个极值点需逐一验证哪个极值点对应已知最值 注意参数对定义域的影响若参数改变定义域需先确定定义域范围 求出参数后要回代验证确保满足题目所有条件 （2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________．经典例题1例题 【答案】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. （25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： （25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则___________小试牛刀2 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即. 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. （2026高三·全国·专题练习）函数，小试牛刀3 (1)若m＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为m，求m的最小值． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，求得其单调区间； （2）由题意得，构造函数，题意可转化为，利用导数讨论的单调性，由探究范围，构造函数，分析的单调性及最值，当时，结合求解满足题意的值，进而也得到最小值. 【详解】（1）当时，，定义域为. 则. 令，则 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）依题意可得：，又， 则恒成立，且等号能够取到． 构造函数，则. 由 ， 令，得， 再构造函数， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故， 当时，则， 即，当且仅当时等号成立， 则由，解得， 则当时，，， 在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故， 令， 构造函数， 则，在上单调递减， 故，即当时，， 所以当时，若f(x)的最小值为m，则. 当时，由上可知满足题意，故此时必取不到的最小值. 综上所述，m的最小值为. 【题型3：证明不含参数的函数不等式恒成立问题】 【练方法】 知识梳理 核心转化：证明等价于证明恒成立 本质：求的最小值证明最小值 常见变形：移项构造辅助函数分离函数简化计算 解题思路 1.移项构造辅助函数 2.求导分析的单调区间与极值 3.求在定义域内的最小值 4.证明最小值即可得原不等式恒成立 5.若最小值为0则等号成立的条件可额外写出 名师点睛 优先构造简单易求导的函数避免复杂结构 若最小值不易求可尝试拆分函数或使用切线放缩等不等式 注意不等式定义域不要超出范围证明 若等号取不到要说明最小值大于0而非大于等于0 （23-24高二下·湖北十堰·月考）已知函数．经典例题1例题 (1)求的单调区间； (2)求证：对，恒成立． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断单调性即可； （2）由（1）得函数的最小值，再利用换元法即可证明； 【详解】（1）， 令，则； 令，则． 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． （2）由（1）可得，即 ， 令， 代入可得，即， 所以对，恒成立． （2023高三·全国·专题练习）已知，求证：恒成立.经典例题2例题 【答案】证明见解析 【分析】要证明，只需要证明即可.从而利用导数法判断函数的单调性并求出最小值即可求解. 【详解】证明：，显然在单调递增， 又，，所以存在唯一的使得 即，两边取对数得 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以， 所以恒成立． （2023高三·全国·专题练习）已知函数，求证：当时，.小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】要证当时，，通过化简，即证，令，讨论的单调性，得到在单调递减，可求得，即可证明. 【详解】要证：时，，即证： ， 两边同时乘，则， 即，即证：， 令，， 所以在单调递减， 所以，即，即． （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.小试牛刀2 (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将 转化为 ，令 ，由求解； （2）法一：由(1)知，将问题转化为证 ，即证明；法二：令，，证明即可. 【详解】（1）由 得 ， 。 可化为 ， 令 ，则 。 令  得 ，  得， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ， 所以 ； （2）法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立）， 下证 ，即证 , 因为， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 又不能同时取“”，所以 . 法二：要证明不等式；令，， 只需证， 由，得， 当时，，当时，， 所以在单增，在单减， 所以， ，因为， 所以. （2026·安徽芜湖·一模）已知曲线在处的切线为.小试牛刀3 (1)求切线的方程； (2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明，令，利用导数证明恒成立，即可. 【详解】（1）由，得，所以， 又，所以切线方程为，即； （2）结合（1），令，则， 令，则， 令，得，所以时，时， 所以在上单调递减且恒小于0，在上单调递增， 注意到，所以有唯一根， 时，在上单调递减， 时，在上单调递增， 所以函数 ，则，当且仅当时取等号， 所以切线在曲线的下方（切点除外），得证. 【题型4：单调性，极值，最值的综合】 【练方法】 知识梳理 综合考点：同时考查单调性判断、极值点求解、最值计算是导数应用的基础综合题 核心逻辑：单调性决定极值极值和端点决定最值 解题思路 1.求定义域求导并化简分析导数符号 2.确定单调区间标注递增/递减区间 3.找出极值点计算极值 4.结合区间端点计算端点函数值比较得到最值 5.按题目要求回答单调性、极值、最值相关问题 名师点睛 列表法是解决此类问题的最佳工具可清晰展示单调区间、极值、最值 注意极值与最值的区别不要混淆概念 若题目涉及多个小问可利用前一问结论简化后一问计算 计算时要仔细避免符号错误导致后续结论全部偏差 （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，单调递减，当时，单调递增．. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系求解即可； （3）当时，不等式为：，显然成立，当时，分离参数得，令，利用导数研究的单调性，求出的最大值即可. 【详解】（1）由， 得， 所以切线方程为； （2）当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． （3）由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． （25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知函数.经典例题2例题 (1)当时，求曲线y=在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义得到切线的斜率，再由点斜式即可得到切线方程； （2）由函数在上单调递增，得到在上恒成立，分离参数后构造函数即可求解； （3）由，分离参数即，则利用导数分析得到的最大值，即可得到a的取值范围. 【详解】（1）当时，，. ，. 曲线在点处的切线方程为. （2）. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令函数， 在上恒成立， 所以在上单调递增，， 所以，解得，所以的取值范围为. （3），即. 令函数，则. 令函数，则. 令函数，则. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，即，所以在上单调递减. 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. ，所以. 故的取值范围为. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的奇偶性与单调性，将抽象函数不等式转化为代数不等式，再通过参变分离构造函数求最值，最终得到参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为. 因为 所以是奇函数. . 由基本不等式，，当且仅当时取等号且， 得. 因此在上严格单调递增. 由，得    . 于是， 参变分离得，在上恒成立， 令，利用， 化简得， 设，因，故在上严格单调递增， 因此的取值范围为：， 令， ， 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得最小值： ，即在上的最小值为. 要使恒成立，只需，即的取值范围是. 故选：C （25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知函数.小试牛刀2 (1)若，，求函数的单调区间及极值； (2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是，极大值为，无极小值； (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，求导判断函数的单调性，进而求出极大值，判断无极小值即可； （2）依题求出的值，即得函数解析式，由不等式参变分离可得在上恒成立，令，利用求导判断其单调性求出其最小值，即得参数范围. 【详解】（1）当，时，，函数的定义域为，      所以，令，得，      当时，，在上是增函数；      当时，，在上是减函数，      所以的极大值为，无极小值，      所以函数的单调增区间是，单调减区间是， 极大值为，无极小值； （2）由，，得，则，故，     由，可得，      又∵，由上式可得在上恒成立，     令，可得，      令，解得，      当时，，在上是减函数；     当时，，在上是增函数，      ∴，所以，     故实数b的取值范围是. （25-26高三上·河南周口·期末）已知函数.小试牛刀3 (1)若，求的图象在点处的切线方程. (2)设在上有且仅有一个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）将代入并求导，求出切线斜率即可求得切线方程； （2）（ⅰ）将极值点个数转化成方程在仅有一个实数根的问题，构造函数并求导可知在上单调递减，再根据可得满足题意； （ⅱ）根据（ⅰ）中分析可知，只需证明即可，经分析可知满足题意. 【详解】（1）当时，即切点为, 又， 则点处的切线方程为, 整理可得. （2）（ⅰ）由题意得 又在上有且仅有一个极值点,即在上有且仅有一个变号零点， 即方程在仅有一个实数根， 令， 则； 令，， 则，显然在上单调递减， 且，因此存在唯一使得，即； 所以时，，当时，； 因此在上单调递增，在上单调递减， 可得在处取得极大值，也是最大值； 根据对勾函数性质可知在上的值域为，因此； 所以在上恒成立，因此在上也恒成立， 即可得在上单调递减，由可得满足题意； 因此的取值范围为. （ⅱ）若要证明在上单调递增，则只需证明在上恒成立； 即证明在上恒成立； 由（ⅰ）中分析可知当时，则， 因此在上单调递增，所以，即 所以函数在上单调递减， 所以只需满足即可，又因为，即得出证明， 所以在上单调递增. 【B·能力提升题型】 【题型1：导数求最值的实际应用】 【练方法】 知识梳理 场景：几何、物理、经济等实际问题中求面积最大、利润最高、成本最低等最优解 核心：将实际问题转化为函数模型再用导数求最值 关键：正确建立函数关系并确定自变量的实际意义范围（定义域） 解题思路 1.审题明确未知量与目标量设自变量和目标函数 2.根据实际问题中的数量关系建立函数解析式 3.确定函数定义域（由实际意义限制如长度>0、时间>0等） 4.求导分析单调性求极值与最值 5.验证最值是否在定义域内并给出实际意义的结论 名师点睛 定义域是实际应用问题的核心忘记定义域会导致结果不符合实际 若函数在定义域内只有一个极值点则该极值点必为最值点（单峰函数） 结果要带单位并回答题目所问的实际问题不要只给函数值 复杂问题可先画示意图帮助理清数量关系 （2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用球半径相等条件，建立圆锥母线、高、底面半径的关系等式，再根据侧面积公式，构造函数求导分析最值，确定高和底面半径，最后根据体积公式求得圆锥体积. 【详解】如图，圆锥顶点为，底面圆心为，底面圆周与顶点均在球心为的球面上. 先设参数确定圆锥侧面积，记，，，由，圆锥侧面积为， 由直角三角形和直角三角形可得，， 于是， 令，. 求导，令，解得（舍去），，所以在上单调递增；在上单调递减. 所以时，取得最大值，即圆锥的侧面积最大， 此时，所以圆锥体积. （25-26高二上·江苏宿迁·期末）某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米）经典例题2例题 (1)求的表达式； (2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先根据圆柱体积公式求出高关于底面半径的表达式，再结合不同面的成本，建立总造价关于底面半径的函数； （2）对总成本函数求导，通过导数的正负判断函数单调性，找到极小值点即最小值点，进而求出此时底面半径与高的比值. 【详解】（1）由题意得：，则， 总成本函数为． 所以． （2）因为， ． 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以当时函数有极小值也是最小值为． 此时，则． 答：使得易拉罐总制造成本最低时的底面半径r和高h的比值为． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此，，所以， 令得，当时，；当时，. 所以函数在时单调递增，在时单调递减， 故当时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． 把代入，得， 由，得，即圆心角为弧度时，圆锥形容积最大. 故选：D. （25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省.小试牛刀2 (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【答案】(1) (2)时，用料最省. 【分析】（1）设扇形半径为，根据扇形的面积公式可得，即可得结果； （2）根据（1）可得，构造，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）设扇形半径为，则， 可得，即， 所以. （2）由（1）得：，即， 构造，， 则， 因为，则， 构造，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省. （25-26高三上·河北·月考）在面积为2的正方形中，不与顶点重合的点分别在上，且，沿折痕将折起为，则五棱锥的最大体积为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】设且，并确定平面底面时五棱锥取得最大体积，应用棱锥的体积公式得所求棱锥的体积为，应用导数求体积最大值. 【详解】由题意，正方形的边长为，设，且， 由图，当平面底面时，五棱锥取得最大体积， 所以斜边上的高，即为五棱锥的高，且， 由等面积积法，可得斜边上的高为，即五棱锥的高为， 显然五边形的面积为正方形与的面积之差，所以五边形的面积为， 所以五棱锥的最大体积为，， 所以，则，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故答案为： 【题型2：由不等式恒成立问题求参数范围】 【练方法】 知识梳理 核心转化：对恒成立（） 常用方法：分离参数法、含参讨论法 分离参数优势：将参数与变量分离转化为求不含参数函数的最值避免复杂讨论 解题思路 方法1分离参数法 1.将不等式变形为（或）分离参数 2.求在定义域内的最大值（或最小值） 3.得到参数范围（或） 方法2含参讨论法 1.构造求导分析单调性与极值 2.分类讨论参数确定的最小值 3.令最小值解不等式得到参数范围 名师点睛 优先尝试分离参数法可大幅简化计算但要注意分离时不等号方向是否改变 分离参数后若无最值需分析极限情况 含参讨论时要先确定导数零点的存在性再分情况讨论 注意边界情况如等号是否可取需单独验证 （25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知，若对任意的，不等式恒成立，则整数的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】等价变换给定不等式，结合恒成立构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】不等式， 令，由，得函数在上单调递减， 则，于是对任意的，， 令，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，因此，所以整数的最小值为. （2026·山东滨州·一模）已知函数．经典例题2例题 (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分析的单调性及取值情况，可得有唯一解，从而证得在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）分离参数，构造新函数，通过分析新函数的最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，. 其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等. （2）当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是． （25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况进行讨论，结合导数分析单调性，根据单调性确定最值处理恒成立性问题即可． 【详解】即在时恒成立， 令，， 令，， 在单调递增，， ①当时，，即在单调递增， ，即， 在单调递增， ， 故时，在时恒成立； ②时，，解得, 在单调递增， 时，，单调递减， 此时，即， 在上单调递减，此时， 即时，，，不符合题意； 综上，． （2026·湖北襄阳·一模）已知函数．小试牛刀2 (1)若恒成立，求a的取值集合； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对的正负进行讨论，利用导数求解函数的单调性，求解的最小值，进而构造函数，由导数即可求解， （2）原不等式即为，利用放缩法将问题转化为，构造函数，由导数求解函数的单调性后可证即可. 【详解】（1）的定义域为． ①若，因为，所以不满足题意； ②若，由知，当时，； 当时，，所以在单调递减，在单调递增， 故在时取得最小值，所以， 令，则 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，故，当且仅当时取到等号， 所以的解为，故． （2），且时，则故. 要证明即证， 而， 令，下证即可． ，再令，则， 由于函数在上递增，故在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，得证． （25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知，其中．小试牛刀3 (1)讨论的单调性； (2)已知． （i）若在处的切线经过坐标原点，求实数的值与的方程； （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）1，；（ii）． 【分析】（1）求导，判断导函数的正负进行求函数的单调性； （2）（i）由导函数的几何意义进行求解； （ii），令，由知，现证当时对任意的，恒成立．构造函数，求导进行求解． 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，在上单调递减； 当时，由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上知：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，上单调递增． （2）（i）由题， 则，由于切线过坐标原点， 故有，解得， 此时切点为，故切线的方程为； （ii），令， 由知， 现证当时对任意的有恒成立： 令，其为关于的二次函数，开口向上，对称轴为， ①当即时，要证，只需证， ，令，注意到， ，令， 得，由于， 故，所以单调递增，， 所以上，单调递减，上，单调递增， 所以为的极小值点，所以， 所以当时，对任意的均有； ②当即时，要证，只需证其， ，显然单调递增， 所以， 故，所以当时，对任意的也有． 综上，当时，对任意的都有，所以的取值范围为． 【题型3：用导数研究方程的根/函数的零点】 【练方法】 知识梳理 核心转化：方程的根函数的零点函数图像与轴交点的横坐标 方法：通过导数研究函数单调性、极值、最值结合零点存在定理判断零点个数与位置 关键：找点验证函数值符号（放缩法）确定零点存在 解题思路 1.构造函数求导分析单调区间与极值 2.计算极值与端点函数值分析符号 3.若符号不明确用放缩法找点证明存在函数值正负的点 4.结合单调性与零点存在定理判断零点个数与位置 5.若求参数范围可转化为求值域分析交点个数 名师点睛 大题必须严格找点验证符号不能仅靠极限趋势判断 若函数有多个极值需逐个分析极值符号才能准确判断零点个数 分离参数法是研究零点个数的高效方法可转化为直线与曲线的交点问题 放缩技巧：常用、等切线放缩快速判断函数值符号 （25-26高三下·河北雄安·开学考试）若函数与函数的图象有交点，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象有交点转换成方程在上有解，再通过换元，转换成方程有解，再结合，得到，进而通过在上有解，求解即可. 【详解】函数与函数的图象有交点， 即方程在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，则原问题等价于有解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以原问题等价于在上有解， 即在上有解， 令，则， 由得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又且， 所以，即.则的最小值为. （25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数．经典例题2例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)若方程在上恰有2个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则进行求解即可； （2）把问题转化为直线与函数图象的交点个数问题，结合导数性质、数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）， 因为， 所以函数在处的切线方程为； （2）方程在上恰有2个实数根， 等价于直线与函数的图像在上有两个不同的交点， 由， 所以直线恒过定点，且斜率为， 由（1）可知， 当时，，单调递增， 所以函数的图象如下图所示： 设函数的切线过点，切点为，斜率为， 所以切线的方程为， 把点的坐标代入，得， 因为，所以解得，即斜率为， 由数形结合思想可知：当时，即时，直线与函数有两个不同的交点， 即方程在上恰有2个实数根，此时m的取值范围为. （2026高三·天津·专题练习）已知函数．小试牛刀1 (1)证明：函数有且只有一个极值点； (2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对求导得，利用函数单调性和零点存在性定理即可证明； （2）设，求导得，设，再分和讨论在上的单调性，得到的正负，即的正负情况，从而判断在区间上的零点个数，最终确定实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以. 显然在上单调递增．且． 故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，；在上，. 则在上单调递减，在上单调递增， 即在上有且只有一个极值点. （2）设，则由题可知,在上恰有两个零点. 记， 当时，在单调递增，， 所以恒成立，则函数在上单调递增. 因为，所以在上有且只有一个零点，不合题意； 当时，函数在上单调递减， （i）当时，恒成立，即恒成立， 则函数在上单调递增，此时函数在上有且只有一个零点，不合题意； （ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减， 此时函数在上有且只有一个零点，不合题意； （iii）当时，，，故存在，使得，即， 则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于， 则，若要满足题设，只需，解得， 又因为，所以，所以，所以取值范围是. 综上所述，实数的取值范围为. （2026·重庆·一模）关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. （25-26高三上·安徽·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直.小试牛刀3 (1)求的值； (2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义建立等式求解即可； （2）求导，根据导函数得函数的单调性和极值，结合题意求解即可. 【详解】（1）由题知 所以. 由题意可知， 解得或(舍去)，所以； （2）由(1)知 ， 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 即函数的极大值 ，函数的极小值 .      由于当时，，当 时， ，当时，， 可知当有三个实数根时，. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 2．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，再分别求出两个函数的最大值即可得解. 【详解】，当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，， 而时，， 由题意得，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、填空题 3．（23-24高二下·湖南·月考）函数的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为： 4．（25-26高三上·江苏宿迁·期中）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【分析】将条件变形可得，令，利用导数求得的单调性，可得，即，令，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由题意，，可得， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 又， 所以，对任意的恒成立， 所以，只需即可， 设，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 又，且， 所以， 所以，则实数的最大值为. 故答案为： 三、解答题 5．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)， 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 6．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. 【详解】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）令， 则，在上单调递减， ，即当时， 7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为. 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【详解】（1）依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 8．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数， (1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值； （2）对于分类讨论，构造函数结合导数判断函数单调性，求得参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 得，由，解得. （2）由题意得，在上恒成立. ①当时，不等式可化为， 令，则， 当时， . 所以函数在上单调递增. 所以在处取得最小值 ， 故实数的取值范围. ②当 时，由得， 此时，不符合题意. 综上，的取值范围为 . 9．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数，是的导函数. (1)求的值； (2)求的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，无最大值 【分析】（1）对函数求导得，将与代入即可求解； （2）由（1）知.令，通过求导研究的单调性与正负，进一步确定的单调性即可求解最值. 【详解】（1）∵，∴. ∴，，∴. （2）由（1）知. 令，则，∴在上单调递增. 又， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴在处取极小值也是最小值，无最大值， 即的最小值为，无最大值. 10．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间，，单调递减区间. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. 【详解】（1）因为，所以. 又 ，所以. 所以在处的切线方程为：即. （2）因为. 由 或；由 . 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 11．（25-26高三上·全国·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率最小，求点的坐标； (2)若，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）对求导、化简，将切线斜率的最小值转化为导数的最小值，然后求得结果； （2）通过求导得到函数的单调性，从而得到的最大值和最小值，然后求出的最大值. 【详解】（1）因为， 所以当时，切线斜率可取到最小值为， 因为，所以点的坐标为. （2）， 令，解得或. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以当时，取得极大值，为； 当时，取得极小值，为. 又因为，所以在上有最小值为，最大值为. 所以. 故的最大值为. 12．（25-26高三上·云南曲靖·期中）已知函数，． (1)若函数在处取得极小值，求函数的单调递减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用极值点的意义可得，可求得，进而令，可求单调递减区间； （2）分离参数，得到恒成立，令，利用导数求出函数的最大值，即可求得的范围. 【详解】（1）由，得， 因为函数在处取得极小值， 所以，即，解得， ， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以函数在处取得极小值，故符合题意， 的单调递减区间是. （2）由， 不等式恒成立，即在上恒成立， 整理得对恒成立， 令，， 则， 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； ，所以，即. 所以实数的取值范围为. 13．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负性求出单调区间； （2）根据必要性探路令得出，求证，再构造函数、即可求证. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 则得；得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）即对恒成立， 当时，有，得， 下证：当时，， 只需证， 即证， 令，只需证， 令，则， 由得；得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，即 因，则在上单调递增，则， 故实数的取值范围为. 14．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知函数，. (1)当时， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求在上的最值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（i）；（ii）最大值为，最小值为 (2)答案见解析 【分析】（1）（i）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；（ii）求出函数的单调区间，即可求出函数的极值，再求出端点处的函数值，从而求出函数的最值； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，， 则， （i）因为，， 故在处的切线方程为，即. （ii）在上，令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，， 所以在上的最大值为，最小值为； （2）的定义域为， 又. ①当时，令则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. ②当时，令则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减. ③当时，恒成立，所以在上单调递增. ④当时，令则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③当时，在上单调递增； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 15．（25-26高三上·上海宝山·期中）设，（常数）. (1)若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； (2)若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，结合切线与轴平行（或重合）时斜率为来求解的值； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最小值问题，通过求导分析函数单调性进而求得最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）依题意得：， 曲线在点处的切线与轴平行，即切线斜率为，故， 代入得：，解得； （2）依题意得：， 令，则需对成立， 对求导得：， 令，则，当时，，故在上单调递增； ，因此，即在上单调递增； 在上单调递增，故， 因此，，即实数的取值范围为. 16．（25-26高三上·吉林延边·期中）已知函数，. (1)求在区间的最大值和最小值； (2)若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）对求导，根据导数判断其单调性，进而求出在区间的最值； （2）再根据已知条件得到的最小值与的最小值的关系，最后求解的取值范围. 【详解】（1）， 令，即，解得或， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减； ； ； ； 比较的大小，可得， 所以在区间的最大值为，最小值为； （2）由得， 根据题意，对任意，存在，使得， ， 因时，，故在上单调递减， 由（1）知在的最小值为，故, 由得：，解得：， 结合，得的取值范围为. 17．（25-26高三上·辽宁营口·期中）已知是函数的一个极值点. (1)求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)若对恒成立，求的取值范围.（提示：） 【答案】(1)，极小值点 (2) (3) 【分析】（1）利用导数求出的极小值点可得答案；       （2）利用导数求出曲线在点处的切线方程的答案； （3）设，设，利用导数得出存在唯一的实数，使得，再利用，得出在上单调递增可得答案. 【详解】（1）因为，         所以，解得.         当时，，当时，，         所以是的极小值点； （2）由（1）知，      因为，所以曲线在点处的切线方程为； （3）设，则，    令 ，则 的导函数.设， 则，所以为增函数.         因为，     所以存在唯一的实数，使得. 当时，则，当时，，     所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则，则， 所以在上单调递增.         又因为，所以，即的取值范围是. 18．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性即得； （2）由题意可得，利用（1）的结论，结合特值代入，推得方程有一个根为0，另一个根在区间内，进而得到函数在上的单调性，从而求得其最大最小值，进而求出参数的范围. 【详解】（1）由题意知，则.              . 令，解得，                  . 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）存在，满足，等价于 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 故方程有一个根为0，另一个根在区间内，             . 故当时，，即函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，  . 又因为，                  . 所以在区间内，， 所以， 即的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $