2026年中考数学一轮复习学案 4 二次根式

2026年中考数学一轮复习学案 4.二次根式 ■考点一　二次根式的相关概念► 1.二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。 注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式有意义，则 a≥0 。 2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。 3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。 ■考点二　二次根式的性质与化简► 1.二次根式的性质 （1）双重非负性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）； 2.二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 3.化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。 ■考点三　二次根式的运算► 1.加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。 【口诀】一化、二找、三合并。 2.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。 3.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。 4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分； 即：。 5.混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。 ■易错提示► 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。 2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。 3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。 4. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。 5. 化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。 一、单选题 1． 下列的式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 3．如果，那么（　　） A． B． C． D．为一切实数 4．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 5．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 7．计算 正确的结果是（　　)。 A． B．1 C． D． 8．如下算式： ；；； 其中运算结果为有理数的是（　　） A． B． C． D． 9．下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 10．估计的运算结果应在（　　） A．1到2之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 11．已知，那么的整数部分是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设 ，易知 ，故 ，由 ，解得 ，即 .根据以上方法，化简 后的结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．使函数有意义的的取值范围是　 　． 14．已知1<x<2，则式子化简的结果为　 　. 15．已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 　 　． 16．已知 ，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y值的总和是　 　. 17．若 ，则 　 　． 18．人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 　 　. 三、计算题 19．计算：． 20．计算：． 四、解答题 21．先阅读，后解答： （1）由根式的性质计算下列式子得：．由上述计算，请写出_____．（为任意实数）． （2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①_____； ②化简：_____． （3）应用：请根据（1）中结论化简（x为任意实数）． 22．我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． （1）当时，的最小值为　 　；当时，的最大值为　 　； （2）当时，求的最小值； （3）如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积． 23．解决问题“已知 求 的值”时，小明是这样分析与解答的：， 。 即 4a l。 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： （1）化简： （2）若 求 的值。 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵x是变量，x+1的值可能为正、零或负，无法保证恒为非负，因此不一定是二次根式，则本项不符合题意； B、∵π≈3.14，∴3−π≈-0.14为负数，不符合二次根式的条件，则本项不符合题意； C、3是正数，始终满足非负条件，因此一定是二次根式，则本项符合题意； D、-1是负数，不符合二次根式的定义，则本项不符合题意； 故答案为： C. 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式， ∴此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式， ∴此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式， ∴此选项不符合题意； D、与，是同类二次根式， ∴此选项符合题意； 故答案为：D． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意； 故选：A． 7．【答案】A 【解析】【解答】解： 故答案为：A. 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】C 【解析】【解答】解：， ∵， ∴，即， 故答案为：C 11．【答案】C 12．【答案】D 【解析】【解答】解：设 ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴原式 。 故答案为：D。 13．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，得： ， 解得：． 故答案为：． 14．【答案】1 【解析】【解答】解：∵ 1<x<2， ∴x-1>0，x-2<0， ∴， ∴==x-1+2-x=1， 故答案为：1. 15．【答案】2 【解析】【解答】解： 因为最简二次根式 与 可以合并 ， 所以 与 是同类根式， 所以4a+3=2a-b+6，且b+1=2 所以b=1，a=1 所以a+b=2 故答案为：2. 16．【答案】2032 【解析】【解答】 当 时， 当 时， 则所求的总和为 故答案为：2032. 17．【答案】1002 【解析】【解答】∵ ， ∴ ． 由 ，得 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故答案是：1002． 18．【答案】5050 【解析】【解答】解：∵a=，b=， ∴ab==1， 又∵S1=+==1， S2=+==2， ∴Sn=n， ∴S100=+=100， ∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050. 故答案为：5050. 19．【答案】 20．【答案】解： ． 21．【答案】（1）或 （2）， （3） 22．【答案】（1）2；-2 （2）∵. ∴。 ∵， ∴。 ∴当时，的最小值为． （3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ， ∴， ， 因此四边形的面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为 ． 【解析】【解答】（1）解：∵当时，，即， ∴的最小值为； ∵当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最大值为. 故填：；. 23．【答案】（1）解： （2）解： 即 1-1=2 【解析】【分析】(1)将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； (2)将a分母有理化得移项并平方得到 变形后代入求值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $